隨著中信出版社引進(jìn)出版 的《長尾理論》，關(guān)于這一Web 2.0以來最重要的概念又被大家如火如荼地炒作起來。概念是模糊的，科學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。雖然我之前就某些問題質(zhì)疑過長尾理論，本文試圖通過數(shù)學(xué)方法來看看長尾理論是否真的徹底顛覆了二八法則？

長尾理論通常使用左邊這張長尾曲線圖來解釋，頭部是大熱門，流行度曲線陡然下墜，但一直沒有到零點。這個長長尾巴的價值就是長尾理論通篇講述的核心。

《長尾理論》書中第110頁中講到“長尾就是一種冪率(power-law)曲線”，學(xué)過中學(xué)數(shù)學(xué)的都知道，冪率曲線就是類似f(x)=c/x的曲線，其中c為常量。大家看看確實和Chris Anderson描述的長尾曲線一模一樣。

有了這個前提，我們來看看長尾理論是否真的徹底顛覆了二八法則？首先，了解一下“二八法則”，“二八法則”又稱“帕累托法則”，是意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家帕累托在19世紀(jì)末發(fā)現(xiàn)的經(jīng)濟(jì)規(guī)律，他發(fā)現(xiàn)在經(jīng)濟(jì)活動中，少數(shù)群體顯得更為重要，比如：20%的人口掌握80%的財富、20%的產(chǎn)品產(chǎn)生80%的銷售額等等。因此這個法則也稱為“重要少數(shù)法則”。

我們在任何一個地方截斷長尾，比如x=5n的地方，這時候20%多數(shù)是x=n之前的部分。2個部分的總量分別是：

總量 = c+c/2+c/3+c/4+...+c/5n
頭部 = c+c/2+c/3+c/4+...+c/n

1+1/2+1/3+1/4+...+1/n = ln(n+1)+r

頭部/總量 = (ln(n)+r) / (ln(5n)+r) = (ln(n)+r) / (ln(n)+ln5+r)

其實Chris Anderson也承認(rèn)：“真正的80/20法則只是承認(rèn)帕累托分布的有效性，承認(rèn)某些東西賣得遠(yuǎn)比其他東西要好，這在長尾市場和傳統(tǒng)市場中都是成立的。”所以，長尾理論徹底顛覆了二八法則是沒有根據(jù)的。

長尾理論不是顛覆性的概念，更多地是指導(dǎo)我們在豐饒經(jīng)濟(jì)的條件下，尋找合適的長尾市場，開拓新的銷售渠道。所以Chris Anderson也重點談到“即使有二八法則的統(tǒng)治，在豐饒經(jīng)濟(jì)環(huán)境下，我們也沒有理由不去經(jīng)營其它的80%產(chǎn)品”?；蛟S，這就是對長尾理論最深刻的注解。

數(shù)學(xué)小知識：歐拉常數(shù)的由來

對于今天我們稱為調(diào)和級數(shù)的

1+1/2+1/3+1/4+...

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+...
1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...

隨后很長一段時間，人們無法使用公式去逼近調(diào)合級數(shù)，直到無窮級數(shù)理論逐步成熟。1665年Newton(牛頓)在他的著名著作《流數(shù)法》中推導(dǎo)出第一個冪級數(shù)：

ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - ...

Euler(歐拉)在1734年，利用Newton的成果，首先獲得了調(diào)和級數(shù)有限多項和的值。結(jié)果是：

1+1/2+1/3+1/4+...+1/n = ln(n)+r (r為常量)

他的證明是這樣的：
根據(jù)Newton的冪級數(shù)有：

ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x² + 1/3x³ - ...

1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x² - 1/3x³ + ...

1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...
1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...
......
1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n² - 1/3n³ + ...

1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n²) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n³) + ......

1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r