漫談自然數(shù)的倒數(shù)和

自然數(shù)的倒數(shù)和,從吃貨開始:

1.小明愛吃火腿腸,假設(shè)每天他有一根火腿腸,第一天他獨(dú)享一根火腿腸,但從第二天開始,以后的每天他都會(huì)多一個(gè)朋友和他分享, 若每天按人數(shù)均分火腿腸請(qǐng)問他在以后的日子里,累計(jì)吃到的火腿腸會(huì)有10根之多嗎?

到底能不能達(dá)到呢?乍一看是不行,因?yàn)樾∶髌椒值降幕鹜饶c越來越少,最后趨近于0,怎么會(huì)達(dá)到10根呢?你覺得呢?是不是達(dá)到兩根都懸?

好吧,我們來分析一下:

達(dá)到兩根還是容易呢!因?yàn)樾∶鞯谝惶炀统粤艘桓?第二天會(huì)有半根,第三天會(huì)有1/3根,第四天會(huì)有1/4根,你看這時(shí)他吃了多少?

1+1/2+1/3+1/4=25/12,是不是大于2了?

那么他能不能吃到的總和多于3塊呢?

如果一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)地往后硬算,會(huì)很麻煩是不是?那么怎么來解決這個(gè)問題呢?事實(shí)上,數(shù)學(xué)家的思維不是一個(gè)個(gè)地累加,而是用估計(jì)的方式來完成就行了:

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+…+1/16=1+(1/2)+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+1/10+…+1/16)

>1+(1/2) +(1/4)×2+ (1/8)×4+ (1/16)×8=3,

也就是說,至多到第16天,小明累計(jì)吃到的火腿腸就會(huì)超過3根.

那么按此算法,小明累計(jì)吃到了10根火腿腸的天數(shù)就不難得出:

把原數(shù)列的和:

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+…

其項(xiàng)數(shù)由結(jié)合律進(jìn)行分組:1+1+2+4+8+16+…+m,則必有

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+…>1+m/2,

要求1+M/2>10,只要m>18,即可,那就是說要達(dá)18個(gè)括號(hào)分組,那究竟至多是第幾項(xiàng)呢?

這樣來算:

=524 288,

哇!50萬項(xiàng)之后呢?實(shí)際上,也可以對(duì)2的19次方進(jìn)行如下估計(jì):

如果沒有計(jì)算器的話,還是下面的估計(jì)快些.

注意,這里是至多喲,因?yàn)槭枪浪?說不定前面的某項(xiàng)已經(jīng)達(dá)到了呢.那么我們能不能找到一個(gè)辦法精確地算出是第幾項(xiàng)呢?

這個(gè)可是因難呢,可以說到目前為止,也沒有很好的辦法達(dá)到精確的估計(jì),不過有我們可以對(duì)這個(gè)問題的一般情形,可以找到較為精確的估計(jì):

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+…

通過繪制y=ln(1+x)和y=x的圖象,不難發(fā)現(xiàn)x>ln(1+x)

則有

S=1+1/2+1/3+…+1/n

>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+...+ln(1+1/n)

=ln2+ln3/2+ln4/3+...+ln((n+1)/n)

=ln(2*3/2*4/4*...(n+1)/n)=ln(1+n),

實(shí)際上,還可以證明:

S=1+1/2+1/3+…+1/n<lnn+1,

可以看出,

ln(n+1)<1+1/2+1/3+…+1/n <lnn+1,

那就是說1+1/2+1/3+…+1/n與lnn接近,兩者會(huì)不會(huì)有差別,差別有多大呢?

Euler第一個(gè)證明,即使n充分大,兩者也不會(huì)相等,會(huì)差著一個(gè)常數(shù)C,這個(gè)常數(shù)是

C=0.57721566490153286060651209......

吊詭的是,直到今天,人們還沒有弄清這個(gè)Euler常數(shù)C是什么樣的數(shù)?它是無理數(shù)還是有理數(shù)不清楚(一般傾向認(rèn)為C是無理數(shù)),更遑論代數(shù)數(shù)及超越數(shù)的判定了!

目前尚不知道歐拉常數(shù)是否為有理數(shù)，但是分析表明如果它是一個(gè)有理數(shù)，那么它的分母位數(shù)將超過10的242080次方.

上述問題被稱為調(diào)和數(shù)列的求和,由此派生出來的Euler常數(shù),在高等數(shù)學(xué)中甚有作用.

看下一個(gè)問題:

2.小紅愛吃披薩餅,第一天她獨(dú)享一只披薩,但以后每天來的人按天數(shù)的平方遞增(即第n天來了n×n人), 若每天按人數(shù)均分披薩,問小紅累計(jì)吃到的披薩會(huì)超過兩只嗎?

乍看一下,好象可以用調(diào)和數(shù)列求和的方法來解決小紅的問題,果真是這樣嗎?

小紅獲得的蛋糕:

1+1/(2×2)+1/(3×3)+1/(4×4)+…+1/(n×n)+…> 1+[1/(2×2)+1/(3×3)]+[1/(4×4)+ [1/(8×8)]+…

我們立即發(fā)現(xiàn),中括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)分母是不連續(xù),無法象上面一樣進(jìn)行放縮估計(jì),所以是行不通的!

實(shí)際上,我們嘗試一下逐項(xiàng)計(jì)算:

記S(n)=1+1/(2×2)+1/(3×3)+1/(4×4)+…+1/(n×n),

則有

S(1)=1,S(2)= 1+1/(2×2)=5/4=1.25,S(3)= 1+1/(2×2)+1/(3×3) =49/36≈1.36,S(4)=1+1/(2×2)+1/(3×3)+1/(4×4)≈1.42,

S(5)=1+1/(2×2)+1/(3×3)+1/(4×4)+1/(5×5)≈1.46,

什么感覺,好象是越往后增加的越慢,是不是?這說明,這個(gè)數(shù)列的和可能是有界的!

事實(shí)果真如此:

S(n)=1+1/(2×2)+1/(3×3)+1/(4×4)+…+1/(n×n)

<1+1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+…+1/[(n-1)×n]

=1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+…+[1/(n-1)-1/n]

=2-1/n,

顯然,無論n如何,2-1/n總小于2,那么可以看出,按這樣的分法,小紅永遠(yuǎn)吃到的披薩都不會(huì)多于兩塊!

問題來了,既然這里的S(n)=1+1/(2×2)+1/(3×3)+1/(4×4)+…+1/(n×n),單調(diào)有界,那么它必有極限,它的極限是多少呢?

事實(shí)上,我們可以通過級(jí)數(shù)或二重積分證明,這個(gè)極限值是

猜一猜這個(gè)發(fā)現(xiàn)是誰最先給出的?

猜到了嗎,就是上面提到的那人大名鼎鼎的Euler,真是神一樣的Euler!

平方倒數(shù)求和最早出現(xiàn)于17世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家蒙哥利(Mengoli P,1626一1686）的《算術(shù)求和新法》（1650).

無窮級(jí)數(shù)

是書中所論形數(shù)倒數(shù)求和問題中的一個(gè)特殊情形。

在發(fā)表于19年的論文“具有有限和的無窮級(jí)數(shù)的算術(shù)命題”中，瑞士著名數(shù)學(xué)家雅各．伯努利(Jacob.Bernoulli，1654一1705）部分重復(fù)了蒙哥利的無窮級(jí)數(shù)工作，在論文最后，伯努利稱，盡管級(jí)數(shù)

的求和問題易如反掌，但奇怪的是，ζ（2）的和卻難以求出．他說:”如果有誰解決了這個(gè)迄今讓我們束手無策的唯題，并告知我們，我們將十分感激他．”

實(shí)際上，當(dāng)時(shí)歐洲的一流數(shù)學(xué)家，如約翰．伯努利(Bernoulli J,1667-1748）及其子丹尼爾．伯努利(Bernoulli D,1700-1782）、哥德巴赫（Goldbach C 1690-1764）、萊布尼茨（Leibniz G W，1646-1716）、棣莫佛（Moivre A De，1667-1754）、斯特林(Stirling J,1692-1770）等都未能成功解決這一難題，其中哥德巴赫在與丹尼爾的通信（1729）中給出和的上、下限1．644和1．645；斯特林在其《微分法》中給出近似值

1.644934066.

瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉(Euler L，1707-1783〕最早于1735年解決了這個(gè)所謂的“巴塞爾難題”，這是他年輕時(shí)期最著名的成果之一．但證明不是很完善,及至后來二重積分及級(jí)數(shù)的發(fā)展,才最終完善了這個(gè)極限的證明.

由于π是超越數(shù)(林德曼定理),故ζ(2)也是超越數(shù).

再提一個(gè)問題:

3.小英愛吃蛋糕, 第一天她獨(dú)享一只蛋糕,但以后每天來的人按天數(shù)的立方遞增(即第n天來了n×n×n人),若每天按人數(shù)均分蛋糕,問小紅累計(jì)吃到的披薩會(huì)超過一只嗎?

乍看一下,這個(gè)問題也第二個(gè)問題相同,但有沒有不同的的地方呢?

小英獲得的蛋糕:

按上述第二種思路,證明數(shù)列:

單調(diào)有界沒有問題,存在極限也是顯然的,只是至今為止,我們并不知道這個(gè)極限的精確表達(dá)式,是不是與已知的超越數(shù),比如π,e,甚至C有關(guān),現(xiàn)在統(tǒng)統(tǒng)不知道!

這個(gè)問題的解決,估計(jì)非常困難!