拓撲是“不量尺寸的幾何學”，那么它的核心內(nèi)容，主要方法是什么？

如果你問羅巴切夫斯基，他會說“附貼性是物體的一個特殊的屬性。如果我們把這個性質(zhì)掌握，而把物體其他的一切屬性，不問是本質(zhì)的或偶然出現(xiàn)的，均不予考慮，那么就說所考慮的是幾何物體?！?/p>

01

拓撲的研究對象

拓撲學研究幾何圖形的拓撲性質(zhì)，即在雙向連續(xù)變換保持不變的性質(zhì)，它允許拉伸、扭曲，但不能切斷和黏合。如果從羅巴切夫斯基的視角看，就是不改變（不破壞也不增添）各部分的附貼關(guān)系。這一學科本質(zhì)上是屬于20世紀的抽象學科，過去一個長時期中叫做位置分析，現(xiàn)在叫做拓撲。但其思想萌芽卻可以追溯到歐拉的哥尼斯堡七橋問題（1736年，如圖1）、地圖四色問題（1852年）和莫尼烏斯帶（1858年）等問題的研究。

七橋問題要求設計一條散步路線，使河上每個橋都只走過一次，這樣的路徑稱為歐拉路徑，其存在性依賴于圖的整體連接方式和各頂點的度數(shù)，這些都是拓撲性質(zhì)。

奇妙的是拓撲學在20世紀的發(fā)展，卻分裂成兩個有些分立的部分：點集拓撲和組合拓撲。實際上，這兩個分支從看待幾何圖形的觀點到發(fā)展動力都不相同。前者把幾何圖形看作是點的集合，又常把這整個集合看作是一個空間。后者把幾何圖形看作是由較小的構(gòu)件組成的，正如墻壁是用磚砌成的一樣。

到現(xiàn)在，拓撲學又有點集拓撲、代數(shù)拓撲、微分拓撲、幾何拓撲等不同的分支，簡要介紹下它們分別在研究什么。

點集拓撲的主要目的是對拓撲學進行公理化，通過最一般的框架（如開集公理）抽象化“鄰近性”和“連續(xù)性”，為其他分支提供基礎。

代數(shù)拓撲從組合拓撲發(fā)展而來，現(xiàn)在主要是通過代數(shù)結(jié)構(gòu)和代數(shù)不變量區(qū)分拓撲空間，例如二維緊曲面分類。

微分拓撲研究微分流形及其光滑映射的整體性質(zhì)，討論拓撲流形上微分結(jié)構(gòu)的存在唯一性、光滑映射的性質(zhì)和流形的整體不變量等問題。

幾何拓撲通過幾何方法（如曲率、度量），研究低維流形（如二維曲面、三維和四維流形）的幾何結(jié)構(gòu)及分類。由佩雷爾曼證明的三維龐加萊猜想，便是其中一個著名問題。

下面我們主要介紹20世紀發(fā)展起來的點集拓撲和代數(shù)拓撲，以它們的研究思路為例，體會整個拓撲學的關(guān)注點。

02

點集拓撲

注意到拓撲變換就是雙向連續(xù)的一一映射，那么下個問題就是怎么刻畫連續(xù)變換？

連續(xù)性到底是什么？要怎么刻畫連續(xù)性？這是個非常深刻而又重要的問題。當時的數(shù)學家認識到點集論是連續(xù)性研究中的基本途徑。點集只是互不相關(guān)的一堆點，而空間則通過某種捆扎的概念使點與點之間發(fā)生關(guān)系；這是空間不同于點集的關(guān)鍵。例如歐氏空間中距離這一概念就表明點與點之間有多遠，尤其是使我們能定義一個點集的極限點，進而可以刻畫連續(xù)。

由于想把康托爾的集合論和函數(shù)空間的研究統(tǒng)一起來，弗雷歇首先在1906年發(fā)動了抽象空間的研究。弗雷歇指出，這捆扎概念不必是歐幾里得的距離函數(shù)。他提取距離這一概念的核心內(nèi)容，引進了度量的概念。對于度量空間，說到一個點的鄰域時，指的是離開這點不到某個量epsilon那么遠的全部點。對于一個給定的點集，甚至不必引進度量，還能用一些方式來確定某些子集作為鄰域。這樣的空間叫做具有鄰域拓撲的空間。無論是距離、度量還是鄰域，都是在刻畫“附貼性”。如果用萊布尼茨在微積分中的觀點看，就是在刻畫“點的相鄰”。

正是豪斯多夫1914年在他的著作《點集論綱要》中使用了鄰域概念，并且根據(jù)這個概念建立了抽象空間的完整理論。有了鄰域的概念就可以定義開集、閉集、緊集、連通，還能引進連續(xù)變換和同胚等一系列的概念，并去發(fā)現(xiàn)在連續(xù)變換和同胚下保持不變的性質(zhì)。所以《點集論綱要》也標志著點集拓撲學的正式誕生。

隨后波蘭學派和蘇聯(lián)學派對拓撲空間的一些拓撲性質(zhì)（緊致性、可分性、連通性等）進行了深入考察。20世紀30年代中期起，法國布爾巴基學派的系統(tǒng)研究更使點集拓撲學趨于成熟，成為二戰(zhàn)后數(shù)學的基礎學科。

但點集拓撲學發(fā)展的主要動力是公理化，希望直接用公理法來定義附貼性，進而引出拓撲空間的概念——近代拓撲學中最一般的空間概念。這是20世紀數(shù)學抽象化的一個碩果，是19世紀末康托的集合論觀點和希爾伯特的公理化方法相互結(jié)合所引出的一大抽象分支。（在20世紀上半葉，實變函數(shù)論、泛函分析、拓撲學和抽象代數(shù)等具有標志性的四大抽象分支崛興。）

03

組合拓撲

組合拓撲要怎么去研究拓撲性質(zhì)呢？幾何圖形的第一個組合性質(zhì)是歐拉公式，即大家熟悉的V-E+F=2。它屬于拓撲性質(zhì)，因為在凸多面體受到任意拓撲變換時，這個公式仍然成立。

但真正給拓撲研究提出恰當思路的是莫比烏斯，他在1863年強調(diào)把一個多面體的表面看成二維多邊形的一個集合，既然多邊形能剖分成三角形，那原圖形是三角形的一個集合。曲面拓撲學的組合方法就在于用對三角剖分的研究來代替對曲面的研究。當然關(guān)注的是不依賴于三角剖分的選取的那種性質(zhì)。

引入三角剖分后有什么好處呢？以前只有凸多面體有歐拉示性數(shù)，現(xiàn)在任意曲面都可以有它的三角剖分的歐拉示性數(shù)了，例如球面的三角剖分的歐拉示性數(shù)是2（讀者可以自己驗證）。三角剖分還有一個重要性質(zhì)，即可定向性。歐拉示性數(shù)和可定向/不可定向性給出了關(guān)于閉曲面的所謂拓撲不變量的一個完全系，即兩個閉曲面同胚當且僅當它們的三角剖分具有相同的歐拉示性數(shù)，并且同為可定向或不可定向的。這樣可以感受到，點集拓撲和組合拓撲用不同的想法去確定一個變換是否為拓撲變換，以及研究拓撲性質(zhì)。

如果能夠把閉曲面某個三角剖分里所有的三角形都給以定向，使得每兩個具有公共邊的三角形都具有相符的定向，則這個三角剖分叫作可定向的。如果兩個三角形所取定的定向在公共邊上所誘導的定向相反，則這兩個三角形所取的定向是相符的。

實際上，雙側(cè)曲面的任何三角剖分是可定向的，單側(cè)曲面的任何三角剖分是不可定向的。

組合方法更大的意義，在于它開辟了應用某些代數(shù)方法來解決拓撲問題的可能性。為什么從單純的幾何視角向代數(shù)視角轉(zhuǎn)變？一是直觀的幾何方法在高維空間中難以操作，而代數(shù)方法則不受維度限制；二是通過抽象化統(tǒng)一處理不同的幾何對象，可以系統(tǒng)地計算拓撲不變量。因此將拓撲學的研究對象和研究方法代數(shù)化，就顯得格外重要。

從三角剖分這個組合方法出發(fā)，龐加萊首先定義了圖形的邊緣、閉鏈、同調(diào)等概念。用“邊緣”來描述高維流形的邊界，用“閉鏈”來描述在同調(diào)論中沒有“邊緣”的鏈，用“同調(diào)”描述定向圖形的邊緣關(guān)系。簡單來說，這些概念都是為了刻畫一個拓撲的“洞”的結(jié)構(gòu)。因為最先系統(tǒng)地一般地探討幾何圖形的組合理論，龐加萊被公認為是組合拓撲的奠基者。

而后1926年諾特首先洞察到群論在組合拓撲學研究中的重要意義。在她的影響下，霍普夫1928年定義了同調(diào)群。同調(diào)群的引進就將拓撲問題轉(zhuǎn)化為抽象代數(shù)問題，同調(diào)論則提供了拓撲學中易于計算的、常用的不變量。從拓撲到代數(shù)過渡的另一條途徑是同倫理論，是與流形之間的連續(xù)映射的連續(xù)變形有關(guān)的研究。同調(diào)論與同倫論一起推動組合拓撲學逐步演變成主要利用抽象代數(shù)方法的代數(shù)拓撲學。

04

總結(jié)

面對點集拓撲學的公理化思想，我們不由得進一步思考公理化的意義何在？一方面是它賦予了公理系統(tǒng)的最大的一般性，一方面是人們覺得抽象而難以理解。面對組合拓撲學的代數(shù)方法，我們不由得進一步思考代數(shù)何以巧妙地成為研究拓撲的重要方法？代數(shù)、分析、幾何三大數(shù)學領(lǐng)域之間何以產(chǎn)生如幾何數(shù)論、代數(shù)拓撲、解析數(shù)論等等眾多的交叉分支？

END