作者：David S. Richeson是狄金森學院（Dickinson College）的數學教授 2021-1-27

譯者：zzllrr小樂 2021-1-27

如果你想挑事打個架，只需問問朋友，“冥王星是行星嗎？” 或“熱狗是三明治嗎？” 或“吸管有幾個洞？” 前兩個問題會讓他們爭論是或否，而第三個問題會提出兩個，一個甚至為零的主張。

這些問題都取決于定義。行星的確切定義是什么？一個三明治？一個洞？我們會將前兩個留給您的朋友討論。但是，可以通過數學視角來查看第三個。數學家（尤其是研究空間關系的拓撲學家）如何看待孔洞？

在日常語言中，我們以各種非等效的方式使用“空洞”。一個就像一個洞，就像在地下挖的坑一樣。另一個是物體上的開口或孔，例如穿過山的隧道或三環(huán)裝訂紙上的沖頭。還有一個是完全封閉的空間，例如瑞士奶酪中的氣袋。拓撲學家會說，除了第一個例子以外，其他所有東西都是孔。但是要了解為什么-以及為什么數學家首先關心孔-我們必須遍歷拓撲的歷史，從拓撲與其近親——幾何的區(qū)別開始。

在幾何學中，圓形和多邊形等形狀是剛性對象。衡量的工具是長度，角度和面積。但是在拓撲學中，形狀是柔性的，就像橡膠制成的一樣。拓撲學家可以自由拉伸和扭曲形狀。只要精確地確定了切口，就可以進行切割和粘合。球體和立方體是不同的幾何對象，但是對于拓撲學家而言，它們是無法區(qū)分的。如果您想從數學上證明T恤和一條褲子不同，則應求助于拓撲學家，而不是幾何學家。證明內容是：它們具有不同數量的孔。

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）在18世紀開始了形狀的拓撲研究。您可能會認為，那時數學家?guī)缀趿私馑嘘P于多面體的知識。但是在1750年，歐拉發(fā)現了我認為是有史以來最偉大的定理之一：如果一個多面體具有F個多邊形面，E個邊和V個頂點，則V – E + F=2。例如，一個足球有20個白色六邊形和12個黑色五角形小塊，總共32個面，90個邊和60個頂點。的確是60 – 90 + 32 =2。這個基本的觀察與數學的許多領域都有著深厚的聯系，但足夠簡單，可以向幼兒園的學生講授。但是它避開了像歐幾里得，阿基米德和開普勒這樣的幾個世紀的幾何學家，因為結果不取決于幾何形狀。它僅取決于形狀本身：它是拓撲。

歐拉隱含地假設他的多面體是凸面的，這意味著連接任意兩個點的線段完全位于多面體之內。不久之后，學者發(fā)現了歐拉公式的非凸的例外情況。例如，在1813年，瑞士數學家西蒙·呂利埃（Simon Lhuilier）認識到，如果我們在多面體上打一個孔以使其更呈甜甜圈形，改變其拓撲，則V – E + F = 0。

塞繆爾·維拉斯科/ Quanta雜志

有趣的是，雖然Euler和Lhuilier認為它們的多面體為實體，但是Euler的公式僅使用零維頂點，一維邊和二維面來計算。因此，歐拉數（V – E + F）實際上是從多面體的二維表面得出的。今天，我們將這些形狀想象為空心殼。

此外，重要的是對象的拓撲。如果我們用粘土制作多面體，用記號筆標記邊緣，然后將其滾動成球狀，則面和邊緣會彎曲，但其數量不會改變。因此，對于在拓撲上是球體的任何形狀，其歐拉數均為2；對于甜甜圈狀的圓環(huán)，為0；對于平盤，它是1；等等。每個表面都有自己的歐拉數。這種對Euler公式的拓撲理解（形狀是橡膠狀而不是剛性的）首先由Johann Listing在1861年發(fā)表。盡管今天在很大程度上被遺忘了，Listing還因莫比烏斯環(huán)（M?bius Ring）而著稱（4年8月前的文章）。并創(chuàng)造了一個術語拓撲學Topologie。

球的歐拉數 V  –  E  +  F為2，圓環(huán)為0，圓盤為1，雙圓環(huán)為–2。

大約在同一時間，伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）正在研究在他的復數研究中出現的曲面。他觀察到計數孔的一種方法是查看物體不被切割開兩塊時可以切割多少次。對于具有邊界的表面（例如帶有兩個邊界圓的稻草），每個切割必須在邊界處開始和結束。根據黎曼所說，因為一根吸管只能被切割一次（從一端到另一端），所以它只有一個孔。如果曲面沒有圓環(huán)之類的邊界，則第一次切割必須在同一點開始和結束?？梢詫⒖招膱A環(huán)切割兩次-一次繞管切割，然后沿所得圓柱體切割-因此根據此定義，它有兩個孔。

可以將一根稻草切開一次而不斷開它，而空心花托可以切割兩次。

亨利·龐加萊（Henri Poincaré）在1895年發(fā)表了開創(chuàng)性的123頁的開篇文章“ Anatus Situs”（拓撲學）之后，便在此基礎上進行了進一步發(fā)展，并極大地擴展了拓撲學。在其中及其五篇續(xù)篇中，他種植了許多可以生長的拓撲種子，開花并結出數十年的果實。其中值得注意的是同源性概念，龐加萊引入了homology同調概念，將黎曼的思想推廣到更高的維度。通過同調性，龐加萊（Poincaré）的目標是捕捉一切，從黎曼在吸管或裝訂紙上的一維圓形洞，到瑞士奶酪內部的二維腔狀洞，再到更高維度。為了紀念恩里克·貝蒂（Enrico Betti）（曾嘗試進行類似工作的黎曼的朋友），這些孔的數量（每個維度一個）被稱為物體的貝蒂數。

同調的現代定義相當復雜，但是它大致是一種將每個數學對象與每個形狀相關聯的方法。從該對象中，我們可以提取有關形狀的更簡單信息，例如其貝蒂數或歐拉數。

為了了解同調性和貝蒂數是什么，讓我們集中在第一維上。我們將從查看曲面上的環(huán)開始。規(guī)則很簡單：環(huán)可以滑動和到處移動，甚至可以交叉，但不能離開表面。在某些表面上，例如圓盤或球體，任何環(huán)都可以縮小到單個點。這樣的空間具有平凡的同調性。但是其他表面，例如稻草或圓環(huán)，則有環(huán)繞其孔的環(huán)。這些具有不平凡的同調性。

圓環(huán)向我們展示了如何可視化貝蒂數。我們可以在一個環(huán)上產生無限多個非平凡的環(huán)，它們可以纏繞，折返并環(huán)繞多次，然后在其起點處結束。但是，這些環(huán)并沒有產生混沌的混亂，而是擁有優(yōu)雅的數學結構。我們稱一個穿過中心孔并圍繞管的環(huán)稱為“ a”。現在，它可以作為更多環(huán)的基礎。由于回路可以繞管一次，兩次或任意多次，并且方向很重要，因此我們可以將回路表示為a，2a，– a等。但不是每個回路都是a的倍數，例如沿著管的長圓周且圍繞中心孔的環(huán)，我們可以將其稱為“ b”。從這一點來說，此時不再有獨特的行程了：圓環(huán)上的任何環(huán)都可以變形成環(huán)a和b的整數倍。有兩個一維環(huán)可用于構建所有其他環(huán)，這意味著一維圓環(huán)的貝蒂數為2，與黎曼切割數相同。

圓環(huán)在其表面上具有無限多個不同的環(huán)。定向的環(huán) a，  b和 c 都不同，但是 c 可以變形以獲得環(huán) a 和b的并集 。

如果環(huán)c等效于環(huán)a與環(huán)b的組合，則我們將c = a + b寫成。這種表達不僅僅是符號上的方便?？梢允惯@種算法（環(huán)的加法和減法）嚴格。在數學術語中，允許加減的集合稱為群。因此，在圓環(huán)上，例如，一維同調群由諸如7 a + 5 b，2 a – 3 b等表達式組成。

恰當地，同調的群結構是在1920年代由艾米·諾特（Emmy Noether）發(fā)現的，她是研究群和其他代數結構的先驅。由于Noether的觀察，數學家現在可以利用代數的力量，結構和定理來理解拓撲。例如，我們可以在數學上確定地說，稻草，T恤和一條褲子在拓撲上都是不同的對象，因為它們的同調群不同。特別是，它們具有不同數量的孔。

那么，最后，拓撲學家如何計算孔？使用貝蒂數。第零個Betti數b?是一種特殊情況。它只是計算對象的數量。因此，對于單個連通的形狀，b? =1。正如我們剛剛看到的那樣，第一個貝蒂數b?是形狀中的圓形孔的數量，例如圓柱吸管周圍的圓形，裝訂紙中的三個孔和圓環(huán)的兩個圓形方向。龐加萊（Poincaré）向我們展示了如何計算同調，以及更高維度上的相關貝蒂數：第二貝蒂數b?是空腔的數量-像球形，圓環(huán)和瑞士奶酪中的空腔。一般而言，bn計算n維孔的數量。

值得注意的是，龐加萊的同調性使我們回到了歐拉身上。正如可以使用頂點數，邊數和面數來計算曲面的歐拉數一樣，也可以使用其Betti數來計算：b? – b? + b?。例如，圓環(huán)，是連通的，因此b? = 1; 如我們所見（圓形孔的數量），它的b? = 2；并且，因為它具有一個內部空腔，所以b? =1。正如Lhuilier指出的那樣，圓環(huán)的歐拉數為1 - 2 + 1 = 0。

盡管數學家已經有近一個世紀對同調性的基本理解，但是代數拓撲仍然是一個活躍的，將代數和拓撲進一步結合在一起的研究領域。研究人員還向其他方向開辟分支，發(fā)展了用數字表示各形狀的同調性所必需的定理和算法，建立了識別大型數據集（通常位于高維空間）的底層形狀的工具，等等。

還有其他人已經將這些理論工具應用于真實世界。例如，想象一下，分散的小型，低成本傳感器集合，它們在一定的半徑覆蓋范圍內檢測到某些東西，例如運動，火災，氣體排放。傳感器不知道它們的位置，但是他們知道附近還有哪些其他傳感器。2007年，Vin de Silva和Robert Ghrist展示了如何基于這種粗糙的信息，利用同調性檢測傳感器覆蓋范圍中的孔。在更近的一篇論文中，米歇爾·馮（Michelle Feng）和梅森·波特（Mason Porter）在2016年總統(tǒng)大選期間的加州，使用了一種稱為持久同調性的新技術來檢測政治孤島（支持一個候選人的地理空缺，支持了另一個候選人）。

因此，就像許多純粹的數學領域只是從理論上開始思考一樣，拓撲已經證明了其現實價值，而不僅僅是解決稻草有多少個孔的問題。