話題10：用符號表示分類

在這個話題，嘗試用符號來表示分類。我們將會看到，用符號表示分類，不僅能夠更加清晰的表達(dá)分類，而且能夠更加深刻的理解分類的標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)而能夠更加深刻的理解所要研究問題的性質(zhì)。在問題4中曾經(jīng)談到。凡是不能用于構(gòu)建分類標(biāo)準(zhǔn)的性質(zhì)都是不重要的，或者說，凡是重要的性質(zhì)必須是那些能夠成為構(gòu)建分類標(biāo)準(zhǔn)的性質(zhì)。我們來分析這個問題。

用X表示所要研究的東西，稱為元素，用Ω表示所有元素構(gòu)成的集合。這樣集合X∈Ω，就表示X是一個屬于集合Ω的元素。例如，要研究非0的自然數(shù)（除去0以外的自然數(shù)），那么X就表示任意一個非0的自然數(shù)，Ω就表示所有非0自然數(shù)構(gòu)成的集合.

令P表示一個與元素X有關(guān)的命題，為了討論問題的方便，有時也用P表示性質(zhì)或者標(biāo)準(zhǔn)；用A和B表示基于標(biāo)準(zhǔn)得到的兩個集合，其中A表示滿足標(biāo)準(zhǔn)P的那些元素構(gòu)成的集合，B表示不滿足標(biāo)準(zhǔn)P的那些元素構(gòu)成的集合。例如，要進(jìn)一步討論所有非0自然數(shù)的問題（集合Ω），如果用P表示命題：能被2整除，那么集合。集合A就包含所有能被2整除的非0自然數(shù)集合，B就包含所有不能被2整除的非0自然數(shù)。上面的例子為直觀背景，我們可以給出“分類標(biāo)準(zhǔn)”的定義：性質(zhì)P是分類標(biāo)準(zhǔn)的充分必要條件是，集合A和B滿足下面兩個條件：

A∪B=Ω和A∩B=?，

其中?表示空的集合，即不存在的元素。在這個表達(dá)中，符號“∪”稱為“并”，表示“或者”的意思，因此第一個等式表示：如果元素X∈A或者X∈B，則X∈Ω；反之，如果X∈Ω，則X∈A或者X∈B。符號“∩”稱為“交”，表示“同時”的意思，?表示空集合。因此，第二個等式表示：“屬于集合A同時屬于集合B”的元素不存在。

可以看到，前面例子中的集合A和B滿足上面的式子，因為：一個非0自然數(shù)能被2整除或者不能被2整除，二者必居其一，這是第一個等式；一個非0自然數(shù)不可能同時被2整除，又不被2整除，這是第二個等式。因此對于集合Ω，命題“能被2整除”，可以作為分類的標(biāo)準(zhǔn)。因此，對于非0自然數(shù)而言，這個命題是一個非常重要性質(zhì)。幾乎所有的古代文明，人們都重視對自然數(shù)的分類，并且利用這個性質(zhì)定義了奇數(shù)和偶數(shù)，古代中國稱之為單數(shù)和雙數(shù)。

有興趣的讀者可以嘗試一下，小學(xué)數(shù)語教育中常見的性質(zhì)，都能按照這個方法進(jìn)行分類。