數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，因此在認(rèn)識(shí)數(shù)之前，首先要認(rèn)識(shí)數(shù)量。但是，無(wú)論是認(rèn)識(shí)數(shù)量還是認(rèn)識(shí)數(shù)都不是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是：在認(rèn)識(shí)數(shù)量的同時(shí)認(rèn)識(shí)數(shù)量之間的關(guān)系，在認(rèn)識(shí)數(shù)的同時(shí)認(rèn)識(shí)數(shù)之間的關(guān)系。數(shù)量之間最基本的關(guān)系是多與少，與此對(duì)應(yīng)，數(shù)之間最基本的關(guān)系是大與小。從零開始，依據(jù)數(shù)之間的大小關(guān)系就產(chǎn)生了自然數(shù)，表示自然數(shù)的關(guān)鍵在于十個(gè)符號(hào)和數(shù)位。

問題1 數(shù)量是什么？數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是什么？

數(shù)量是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中事物量的抽象。從遠(yuǎn)古時(shí)代開始，在日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中，人們就需要?jiǎng)?chuàng)造出一些語(yǔ)言來(lái)表達(dá)事物（事件與物體）量的多少，比如，狩獵收獲的多少，祭祀犧牲的多少等等。在古代中國(guó)，這樣的表述可以追溯到商代的甲骨文，參見附錄的話題1。雖然在這樣的表達(dá)中出現(xiàn)了數(shù)字，但這些數(shù)字都是有具體背景的：在這樣的表達(dá)中，數(shù)字后面都有后綴名詞。在現(xiàn)代漢語(yǔ)中，一些表示數(shù)量的后綴名詞的具體形式已經(jīng)被根深蒂固地保留下來(lái)了，比如，一粒米、兩條魚、三只雞、四個(gè)蛋、五匹馬、六頭牛、七張紙、八頂帽子、九件衣服、十條褲子等等。我們稱這種有實(shí)際背景的、關(guān)于量的多少的表達(dá)為數(shù)量。

史寧中. 2013. 基本概念與運(yùn)算法則——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題[M].高等教育出版社 第10頁(yè)

問題2 如何認(rèn)識(shí)自然數(shù)？

數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，數(shù)的關(guān)系是對(duì)數(shù)量關(guān)系的抽象。在問題1中已經(jīng)談到，為了更好地研究現(xiàn)實(shí)世界中量的關(guān)系，就必須對(duì)數(shù)量進(jìn)行更一般的抽象。抽象的結(jié)果就是自然數(shù)。在這個(gè)抽象過程中，人們把數(shù)量關(guān)系也一并抽象出來(lái)，形成數(shù)的關(guān)系。數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是多與少，與此對(duì)應(yīng)，數(shù)的關(guān)系的本質(zhì)是大與小。因此，自然數(shù)是對(duì)數(shù)量、以及數(shù)量關(guān)系的抽象?？梢杂袃煞N方法實(shí)現(xiàn)這種抽象，或者說(shuō)，可以有兩種方法認(rèn)識(shí)自然數(shù)。

一種方法是基于對(duì)應(yīng)的。基于對(duì)應(yīng)的抽象過程大概是這樣的：首先利用圖形對(duì)應(yīng)表示事物數(shù)量的多少，然后再對(duì)圖形的多少進(jìn)行命名，最后把命名了的東西符號(hào)化。比如，

□□ ←→ 2，

□□□ ←→ 3，

??

（1）

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一種方法是基于定義的。數(shù)的定義緊緊地依賴于數(shù)的關(guān)系、即大小關(guān)系。通過大小關(guān)系定義自然數(shù)的方法在本質(zhì)上是利用了“后繼”的概念。比如，先有1；稱1的后繼為2，2比1大1，表示為2 = 1 + 1；稱2的后繼為3，3比2大1，表示為3 = 2 + 1；??，通過這樣的后繼關(guān)系，人們就得到了自然數(shù)。最初規(guī)定自然數(shù)是從1開始的，后來(lái)為了更一般的表示，又規(guī)定自然數(shù)從0開始。關(guān)于定義自然數(shù)的詳細(xì)討論參見附錄的話題6。

可以看到，通過定義認(rèn)識(shí)自然數(shù)的方法完全排除了現(xiàn)實(shí)背景，這樣的方法過于抽象，不適于小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)。但是，作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)知道這樣的方法，并且要理解其中的邏輯關(guān)系，因?yàn)閿?shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性是從數(shù)的定義開始的。

在教學(xué)過程中還應(yīng)當(dāng)注意到，讀數(shù)和用符號(hào)表示數(shù)是有所不同的，用符號(hào)表示數(shù)比讀數(shù)更加抽象。在讀數(shù)的過程中，人們只需要用一個(gè)詞與數(shù)量的多少對(duì)應(yīng)起來(lái)就可以了，比如，用“十”對(duì)應(yīng)于“十個(gè)”那么多、用“百”對(duì)應(yīng)“百個(gè)”那么多。但是，這樣的方法對(duì)于符號(hào)表示是不可能的，因?yàn)椴豢赡軇?chuàng)造出無(wú)窮多個(gè)符號(hào)來(lái)表示數(shù)。

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問題3 表示自然數(shù)的關(guān)鍵是什么？

表示自然數(shù)的關(guān)鍵是十個(gè)符號(hào)和數(shù)位。十個(gè)符號(hào)是與十進(jìn)制聯(lián)系起來(lái)的，因?yàn)樵谑褂枚M(jìn)制時(shí)只需要兩個(gè)符號(hào)。人們?cè)谌粘Ｉ钪兄圆捎檬M(jìn)制，大概與人有十個(gè)手指頭有關(guān)，正如前面問題所討論的那樣，人們?cè)谝?guī)定“數(shù)”的時(shí)候考慮到了對(duì)應(yīng)，而十進(jìn)制就是對(duì)應(yīng)于人的

十個(gè)手指頭。在現(xiàn)實(shí)生活中，與數(shù)量有關(guān)的規(guī)定還有十二進(jìn)制和六十進(jìn)制，這些規(guī)定大多與時(shí)間有關(guān)、與古代歷法有關(guān)，參見附錄的話題5。

自然數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，可是，為什么用十個(gè)符號(hào)就能夠表示所有的自然數(shù)呢？關(guān)鍵在于數(shù)位：在個(gè)位上的2與在十位上的2所表示的自然數(shù)是不同的，在表示過程中0起到了重要的作用，參見附錄的話題4。從小到大，十進(jìn)位的數(shù)位法則是依次相差十倍。即十個(gè)“個(gè)”是“十”、十個(gè)“十”是“百”、十個(gè)“百”是“千”，十個(gè)“千”是“萬(wàn)”等等。在現(xiàn)行小學(xué)教科書中，解釋如何認(rèn)識(shí)一萬(wàn)時(shí)說(shuō)：一萬(wàn)是由十個(gè)一千產(chǎn)生的。這樣的解釋是不合適的，事實(shí)上，是“萬(wàn)”這個(gè)數(shù)位是十個(gè)“千”，而不是說(shuō)一萬(wàn)這個(gè)數(shù)是十個(gè)“千”，數(shù)與數(shù)位是不同的1。在問題2中已經(jīng)討論過，數(shù)是一個(gè)一個(gè)大起來(lái)的，據(jù)此可以這樣認(rèn)識(shí)一萬(wàn)這個(gè)數(shù)：已經(jīng)知道用千位表示的最大數(shù)是9999，現(xiàn)在又多了1，那么，應(yīng)當(dāng)如何稱呼這個(gè)新的數(shù)是什么呢？在中國(guó)稱這個(gè)數(shù)為“一萬(wàn)”，在西方稱這個(gè)數(shù)為“十千”，但符號(hào)表示是一樣的：10000。

有了十個(gè)符號(hào)與數(shù)位，讀自然數(shù)的法則是：符號(hào) + 數(shù)位。比如，下面的形式

十 個(gè)

2 3

表示的是兩個(gè)“十”和三個(gè)“個(gè)”，在通常情況下讀為二十三，符號(hào)表示為23。同樣的道理，把兩個(gè)“十”和零個(gè)“個(gè)”讀為二十，符號(hào)表示為20。進(jìn)一步，

千 百 十 個(gè)

3 0 0 2

表示的是三個(gè)“千”零個(gè)“百”零個(gè)“十”和兩個(gè)“個(gè)”，可以直接讀為：三千零百零十二，在通常情況下可以簡(jiǎn)約讀為：三千零二，符號(hào)表示為3002。更為詳細(xì)的討論可以參見附錄的話題4。

數(shù)位的名稱。因?yàn)楦髅褡鍌鹘y(tǒng)文化的不同，對(duì)于數(shù)位的讀法也不盡相同。比如，基于漢語(yǔ)1 大多數(shù)教科書已經(jīng)改過來(lái)了，但有些教科書似乎仍然沒有理解這個(gè)問題的本質(zhì)，沒有理解數(shù)位與數(shù)是不同的。事實(shí)上，這種基于十的數(shù)位概念已經(jīng)滲透到了現(xiàn)實(shí)生活中的各種數(shù)量單位：元、角、分；米、分米、厘米；等等。

的東亞語(yǔ)言系統(tǒng)的數(shù)位基礎(chǔ)是四，即數(shù)位是

個(gè) 十 百 千；萬(wàn) 十萬(wàn) 百萬(wàn) 千萬(wàn)； 億 十億 百億 千億； 兆 ??

其中個(gè)、萬(wàn)、億、兆所代表的數(shù)位分別是第1、5、9、13，差為4。與此不同的是，基于拉丁語(yǔ)的歐洲語(yǔ)言系統(tǒng)的數(shù)位基礎(chǔ)是三，即數(shù)位是

個(gè) 十 百；千 十千 百千；百萬(wàn)、十百萬(wàn)、百百萬(wàn)；十億 ??

其中個(gè)（ones）、千（thousands）、百萬(wàn)（millions）、十億（billions）所代表的數(shù)位（digit）分別是1、4、7、10，差為3。雖然數(shù)位的讀法不同，但用符號(hào)表示出來(lái)的“數(shù)”是一致的。現(xiàn)代會(huì)計(jì)系統(tǒng)源于西方，因此，所有會(huì)計(jì)報(bào)表中記賬數(shù)字的數(shù)位基礎(chǔ)是三。

自然數(shù)集合?；谑畟€(gè)符號(hào)與數(shù)位就可以用符號(hào)表示所有的自然數(shù)，一般用N表示自然數(shù)集合：

N = { 0, 1, 2, 3, ? }。

這種表示顯示了自然數(shù)的序有開頭無(wú)結(jié)尾。

人類發(fā)明十進(jìn)位的自然數(shù)計(jì)數(shù)系統(tǒng)實(shí)在是一件非常了不起的事情，這個(gè)發(fā)明經(jīng)歷了相當(dāng)漫長(zhǎng)的抽象過程，甚至現(xiàn)今仍然有一些原始部落還沒有抽象出完整的數(shù)字概念，那里的人們只能分辨一、二和許多，詳細(xì)討論參見附錄中的話題4。因此，在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，不可能讓學(xué)生完全理解數(shù)的抽象過程，但是，應(yīng)當(dāng)努力創(chuàng)設(shè)出一些情景讓學(xué)生清晰地感悟到這個(gè)抽象過程，比如，在問題2中曾經(jīng)強(qiáng)調(diào)過的利用對(duì)應(yīng)的方法。

32

2 在中國(guó)，關(guān)于“萬(wàn)”這個(gè)數(shù)位的記載可以追溯到殷墟甲骨文。

參見《天空中的圓周率》，巴羅著，苗華建譯，中國(guó)對(duì)外翻譯出版公司，20xx年。 3

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數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，因此在認(rèn)識(shí)數(shù)之前，首先要認(rèn)識(shí)數(shù)量。但是，無(wú)論是認(rèn)識(shí)數(shù)量還是認(rèn)識(shí)數(shù)都不是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是：在認(rèn)識(shí)數(shù)量的同時(shí)認(rèn)識(shí)數(shù)量之間的關(guān)系，在認(rèn)識(shí)數(shù)的同時(shí)認(rèn)識(shí)數(shù)之間的關(guān)系。數(shù)量之間最基本的關(guān)系是多與少，與此對(duì)應(yīng)，數(shù)之間最基本的關(guān)系是大與小。從零開始，依據(jù)數(shù)之間的大小關(guān)系就產(chǎn)生了自然數(shù)，表示自然數(shù)的關(guān)鍵在于十個(gè)符號(hào)和數(shù)位。

問題1 數(shù)量是什么？數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是什么？

數(shù)量是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中事物量的抽象。從遠(yuǎn)古時(shí)代開始，在日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中，人們就需要?jiǎng)?chuàng)造出一些語(yǔ)言來(lái)表達(dá)事物（事件與物體）量的多少，比如，狩獵收獲的多少，祭祀犧牲的多少等等。在古代中國(guó)，這樣的表述可以追溯到商代的甲骨文，參見附錄的話題1。雖然在這樣的表達(dá)中出現(xiàn)了數(shù)字，但這些數(shù)字都是有具體背景的：在這樣的表達(dá)中，數(shù)字后面都有后綴名詞。在現(xiàn)代漢語(yǔ)中，一些表示數(shù)量的后綴名詞的具體形式已經(jīng)被根深蒂固地保留下來(lái)了，比如，一粒米、兩條魚、三只雞、四個(gè)蛋、五匹馬、六頭牛、七張紙、八頂帽子、九件衣服、十條褲子等等。我們稱這種有實(shí)際背景的、關(guān)于量的多少的表達(dá)為數(shù)量。

史寧中. 2013. 基本概念與運(yùn)算法則——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題[M].高等教育出版社 第10頁(yè)

問題2 如何認(rèn)識(shí)自然數(shù)？

數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，數(shù)的關(guān)系是對(duì)數(shù)量關(guān)系的抽象。在問題1中已經(jīng)談到，為了更好地研究現(xiàn)實(shí)世界中量的關(guān)系，就必須對(duì)數(shù)量進(jìn)行更一般的抽象。抽象的結(jié)果就是自然數(shù)。在這個(gè)抽象過程中，人們把數(shù)量關(guān)系也一并抽象出來(lái)，形成數(shù)的關(guān)系。數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是多與少，與此對(duì)應(yīng)，數(shù)的關(guān)系的本質(zhì)是大與小。因此，自然數(shù)是對(duì)數(shù)量、以及數(shù)量關(guān)系的抽象。可以有兩種方法實(shí)現(xiàn)這種抽象，或者說(shuō)，可以有兩種方法認(rèn)識(shí)自然數(shù)。

一種方法是基于對(duì)應(yīng)的?；趯?duì)應(yīng)的抽象過程大概是這樣的：首先利用圖形對(duì)應(yīng)表示事物數(shù)量的多少，然后再對(duì)圖形的多少進(jìn)行命名，最后把命名了的東西符號(hào)化。比如，

□□ ←→ 2，

□□□ ←→ 3，

??

（1）

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一種方法是基于定義的。數(shù)的定義緊緊地依賴于數(shù)的關(guān)系、即大小關(guān)系。通過大小關(guān)系定義自然數(shù)的方法在本質(zhì)上是利用了“后繼”的概念。比如，先有1；稱1的后繼為2，2比1大1，表示為2 = 1 + 1；稱2的后繼為3，3比2大1，表示為3 = 2 + 1；??，通過這樣的后繼關(guān)系，人們就得到了自然數(shù)。最初規(guī)定自然數(shù)是從1開始的，后來(lái)為了更一般的表示，又規(guī)定自然數(shù)從0開始。關(guān)于定義自然數(shù)的詳細(xì)討論參見附錄的話題6。

可以看到，通過定義認(rèn)識(shí)自然數(shù)的方法完全排除了現(xiàn)實(shí)背景，這樣的方法過于抽象，不適于小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)。但是，作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)知道這樣的方法，并且要理解其中的邏輯關(guān)系，因?yàn)閿?shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性是從數(shù)的定義開始的。

在教學(xué)過程中還應(yīng)當(dāng)注意到，讀數(shù)和用符號(hào)表示數(shù)是有所不同的，用符號(hào)表示數(shù)比讀數(shù)更加抽象。在讀數(shù)的過程中，人們只需要用一個(gè)詞與數(shù)量的多少對(duì)應(yīng)起來(lái)就可以了，比如，用“十”對(duì)應(yīng)于“十個(gè)”那么多、用“百”對(duì)應(yīng)“百個(gè)”那么多。但是，這樣的方法對(duì)于符號(hào)表示是不可能的，因?yàn)椴豢赡軇?chuàng)造出無(wú)窮多個(gè)符號(hào)來(lái)表示數(shù)。

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問題3 表示自然數(shù)的關(guān)鍵是什么？

表示自然數(shù)的關(guān)鍵是十個(gè)符號(hào)和數(shù)位。十個(gè)符號(hào)是與十進(jìn)制聯(lián)系起來(lái)的，因?yàn)樵谑褂枚M(jìn)制時(shí)只需要兩個(gè)符號(hào)。人們?cè)谌粘Ｉ钪兄圆捎檬M(jìn)制，大概與人有十個(gè)手指頭有關(guān)，正如前面問題所討論的那樣，人們?cè)谝?guī)定“數(shù)”的時(shí)候考慮到了對(duì)應(yīng)，而十進(jìn)制就是對(duì)應(yīng)于人的

十個(gè)手指頭。在現(xiàn)實(shí)生活中，與數(shù)量有關(guān)的規(guī)定還有十二進(jìn)制和六十進(jìn)制，這些規(guī)定大多與時(shí)間有關(guān)、與古代歷法有關(guān)，參見附錄的話題5。

自然數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，可是，為什么用十個(gè)符號(hào)就能夠表示所有的自然數(shù)呢？關(guān)鍵在于數(shù)位：在個(gè)位上的2與在十位上的2所表示的自然數(shù)是不同的，在表示過程中0起到了重要的作用，參見附錄的話題4。從小到大，十進(jìn)位的數(shù)位法則是依次相差十倍。即十個(gè)“個(gè)”是“十”、十個(gè)“十”是“百”、十個(gè)“百”是“千”，十個(gè)“千”是“萬(wàn)”等等。在現(xiàn)行小學(xué)教科書中，解釋如何認(rèn)識(shí)一萬(wàn)時(shí)說(shuō)：一萬(wàn)是由十個(gè)一千產(chǎn)生的。這樣的解釋是不合適的，事實(shí)上，是“萬(wàn)”這個(gè)數(shù)位是十個(gè)“千”，而不是說(shuō)一萬(wàn)這個(gè)數(shù)是十個(gè)“千”，數(shù)與數(shù)位是不同的1。在問題2中已經(jīng)討論過，數(shù)是一個(gè)一個(gè)大起來(lái)的，據(jù)此可以這樣認(rèn)識(shí)一萬(wàn)這個(gè)數(shù)：已經(jīng)知道用千位表示的最大數(shù)是9999，現(xiàn)在又多了1，那么，應(yīng)當(dāng)如何稱呼這個(gè)新的數(shù)是什么呢？在中國(guó)稱這個(gè)數(shù)為“一萬(wàn)”，在西方稱這個(gè)數(shù)為“十千”，但符號(hào)表示是一樣的：10000。

有了十個(gè)符號(hào)與數(shù)位，讀自然數(shù)的法則是：符號(hào) + 數(shù)位。比如，下面的形式

十 個(gè)

2 3

表示的是兩個(gè)“十”和三個(gè)“個(gè)”，在通常情況下讀為二十三，符號(hào)表示為23。同樣的道理，把兩個(gè)“十”和零個(gè)“個(gè)”讀為二十，符號(hào)表示為20。進(jìn)一步，

千 百 十 個(gè)

3 0 0 2

表示的是三個(gè)“千”零個(gè)“百”零個(gè)“十”和兩個(gè)“個(gè)”，可以直接讀為：三千零百零十二，在通常情況下可以簡(jiǎn)約讀為：三千零二，符號(hào)表示為3002。更為詳細(xì)的討論可以參見附錄的話題4。

數(shù)位的名稱。因?yàn)楦髅褡鍌鹘y(tǒng)文化的不同，對(duì)于數(shù)位的讀法也不盡相同。比如，基于漢語(yǔ)1 大多數(shù)教科書已經(jīng)改過來(lái)了，但有些教科書似乎仍然沒有理解這個(gè)問題的本質(zhì)，沒有理解數(shù)位與數(shù)是不同的。事實(shí)上，這種基于十的數(shù)位概念已經(jīng)滲透到了現(xiàn)實(shí)生活中的各種數(shù)量單位：元、角、分；米、分米、厘米；等等。

的東亞語(yǔ)言系統(tǒng)的數(shù)位基礎(chǔ)是四，即數(shù)位是

個(gè) 十 百 千；萬(wàn) 十萬(wàn) 百萬(wàn) 千萬(wàn)； 億 十億 百億 千億； 兆 ??

其中個(gè)、萬(wàn)、億、兆所代表的數(shù)位分別是第1、5、9、13，差為4。與此不同的是，基于拉丁語(yǔ)的歐洲語(yǔ)言系統(tǒng)的數(shù)位基礎(chǔ)是三，即數(shù)位是

個(gè) 十 百；千 十千 百千；百萬(wàn)、十百萬(wàn)、百百萬(wàn)；十億 ??

其中個(gè)（ones）、千（thousands）、百萬(wàn)（millions）、十億（billions）所代表的數(shù)位（digit）分別是1、4、7、10，差為3。雖然數(shù)位的讀法不同，但用符號(hào)表示出來(lái)的“數(shù)”是一致的。現(xiàn)代會(huì)計(jì)系統(tǒng)源于西方，因此，所有會(huì)計(jì)報(bào)表中記賬數(shù)字的數(shù)位基礎(chǔ)是三。

自然數(shù)集合。基于十個(gè)符號(hào)與數(shù)位就可以用符號(hào)表示所有的自然數(shù)，一般用N表示自然數(shù)集合：

N = { 0, 1, 2, 3, ? }。

這種表示顯示了自然數(shù)的序有開頭無(wú)結(jié)尾。

人類發(fā)明十進(jìn)位的自然數(shù)計(jì)數(shù)系統(tǒng)實(shí)在是一件非常了不起的事情，這個(gè)發(fā)明經(jīng)歷了相當(dāng)漫長(zhǎng)的抽象過程，甚至現(xiàn)今仍然有一些原始部落還沒有抽象出完整的數(shù)字概念，那里的人們只能分辨一、二和許多，詳細(xì)討論參見附錄中的話題4。因此，在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，不可能讓學(xué)生完全理解數(shù)的抽象過程，但是，應(yīng)當(dāng)努力創(chuàng)設(shè)出一些情景讓學(xué)生清晰地感悟到這個(gè)抽象過程，比如，在問題2中曾經(jīng)強(qiáng)調(diào)過的利用對(duì)應(yīng)的方法。

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2 在中國(guó)，關(guān)于“萬(wàn)”這個(gè)數(shù)位的記載可以追溯到殷墟甲骨文。

參見《天空中的圓周率》，巴羅著，苗華建譯，中國(guó)對(duì)外翻譯出版公司，20xx年。 3

史寧中. 2013. 基本概念與運(yùn)算法則——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題[M].高等教育出版社 第13頁(yè)