考慮這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的矩形函數(shù)：

現(xiàn)在，讓這個(gè)矩形圖形的底邊長對(duì)稱地向坐標(biāo)軸的原點(diǎn)趨近，同時(shí)讓函數(shù)值隨之增加，但保持函數(shù)值曲線下的面積不變。顯然，當(dāng)?shù)走呴L趨于零時(shí)，為了保持函數(shù)值曲線下的面積不變，函數(shù)值必須趨于無窮大。在這種情況下，除了原點(diǎn)之外，其余位置的函數(shù)值等于零。我們把具有這種性質(zhì)的函數(shù)稱為δ-函數(shù)，并用δ(x)標(biāo)記：

由δ-函數(shù)的定義馬上可以得到這個(gè)函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)：

其中的積分區(qū)間[a,b]是跨越原點(diǎn)的一個(gè)任意區(qū)間，這樣的一個(gè)區(qū)間當(dāng)然也包括無窮區(qū)間。

其中的積分區(qū)間是跨越對(duì)稱點(diǎn)的一個(gè)任意區(qū)間。由于原點(diǎn)與數(shù)軸上的任意點(diǎn)之間的差別僅僅是做了一個(gè)在數(shù)軸上的平移而已，相應(yīng)的函數(shù)具有類似的性質(zhì)，因此，下面我們只討論以原點(diǎn)為對(duì)稱點(diǎn)的δ-函數(shù)，所得到的結(jié)論完全可以直接推廣到一般情況。

由于這個(gè)函數(shù)在原點(diǎn)不連續(xù)，它的一階導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)一定是奇異的：

另一方面，如果我們對(duì)這個(gè)一階導(dǎo)數(shù)做一個(gè)跨越原點(diǎn)的積分：

結(jié)果發(fā)現(xiàn)，階梯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)具有δ-函數(shù)的性質(zhì)：。

對(duì)這個(gè)函數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)：

在利用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行理論推導(dǎo)的過程中，按這樣的方式處理不連續(xù)函數(shù)是比較方便的。

這就是說，|c|δ(cx)具有δ-函數(shù)的性質(zhì)，因此

三維δ-函數(shù)的性質(zhì)可以從一維δ-函數(shù)的性質(zhì)直接得到，這里只給出幾個(gè)常用的性質(zhì)：

其中的積分區(qū)域是包圍對(duì)稱點(diǎn)的一個(gè)任意空間區(qū)域。