作者：Steve Nadis 2021-8-5 譯者：zzllrr小樂 2021-8-6

如果你對(duì)生長(zhǎng)在特定地區(qū)的所有植物進(jìn)行普查，而不是統(tǒng)計(jì)每一種植物，你可能會(huì)決定按物種組織它們。都靈大學(xué)數(shù)學(xué)家 Gianluca Paolini 說，在托斯卡納海岸的某些地方這樣做不會(huì)太困難，因?yàn)槟銜?huì)發(fā)現(xiàn)主要是一種植物——海松（pinus pinaster）。相比之下，如果你在亞馬遜熱帶雨林中，試圖找出在那里扎根的所有物種的名稱和數(shù)量，你將面臨更大的挑戰(zhàn)。完全這樣做很可能是不可能的。

數(shù)學(xué)家在試圖理解數(shù)學(xué)對(duì)象的廣闊景觀時(shí)，可能會(huì)面臨類似的挑戰(zhàn)。對(duì)于描述性集合理論領(lǐng)域的從業(yè)者來說尤其如此，他們?cè)噲D對(duì)分類問題的難度進(jìn)行評(píng)級(jí)——有時(shí)會(huì)得出結(jié)論認(rèn)為給定的分類任務(wù)相對(duì)容易執(zhí)行，有時(shí)（就像亞馬遜一樣）發(fā)現(xiàn)它太難了。這門學(xué)科只是集合論的一個(gè)分支，研究對(duì)象的集合——它們可以是數(shù)字、圖形、空間中的點(diǎn)、向量，任何東西——稱為集合。實(shí)數(shù)、有理數(shù)、虛數(shù)等都是數(shù)學(xué)家們常研究的對(duì)象的集合。

幾十年來，一個(gè)分類問題——涉及一組特定的無限大對(duì)象，稱為無扭阿貝爾群（TFAB，Torsion-Free Abelian Groups）——一直困擾著研究人員。這個(gè)問題最早是由數(shù)學(xué)家 Harvey Friedman 和 Lee Stanley 于 1989 年在一篇論文中提出的，根據(jù) Paolini 的說法，“介紹了一種對(duì)可數(shù)結(jié)構(gòu)分類問題難度進(jìn)行比較的新方法，表明有些事情比其他事情更復(fù)雜。”

如今，在今年早些時(shí)候在線發(fā)布的一篇論文中，Paolini 和他的前博士后導(dǎo)師、耶路撒冷希伯來大學(xué)的 Saharon Shelah 終于解決了有關(guān) TFAB 的問題。

“這無疑是一篇重要的論文，它解決了 30 多年前的一個(gè)老問題，”加州理工學(xué)院的 Alexander Kechris 說。

都靈大學(xué)的 Gianluca Paolini（上）和耶路撒冷希伯來大學(xué)的 Saharon Shelah （下）已經(jīng)回答了幾十年前的問題，即對(duì)某些被稱為無扭阿貝爾群的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行分類是多么困難。

“[他們的策略顯示]在將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)單的問題方面具有難以置信的聰明才智，”馬里蘭大學(xué)的 Chris Laskowski 補(bǔ)充道，他與 Shelah 合作了大約 12 篇論文（盡管不是這一篇）?！霸S多人嘗試過但沒有成功。能解決這個(gè)問題真是太好了?！?/p>

對(duì)無窮大計(jì)數(shù)

由于 Friedman 和 Stanley 提出的問題涉及一類無限可數(shù)的結(jié)構(gòu)，因此有助于理解數(shù)學(xué)家如何處理這些看似笨拙的數(shù)量。首先，結(jié)構(gòu)集合“可數(shù)”意味著什么？自然數(shù) (0, 1, 2, 3 ...) 是無限的，但仍被認(rèn)為是可數(shù)的，原因與它們有時(shí)被稱為計(jì)數(shù)數(shù)的原因相同。如果你按順序說出這些數(shù)字，他們幾乎會(huì)數(shù)出自己個(gè)數(shù)。（當(dāng)然，你會(huì)花上一段時(shí)間。）自然數(shù)集合中的元素?cái)?shù)，或者它的“基數(shù)”，被標(biāo)記為 aleph-0。數(shù)學(xué)家認(rèn)為任何與自然數(shù)的無限集大小相同的集合也是可數(shù)的。

相比之下，實(shí)數(shù)——包含了自然數(shù)以及有理數(shù)和無理數(shù)——也是無限的，但它們被歸類為不可數(shù)。主要原因是它們實(shí)在是太多了：我們從 1800 年代后期就知道，塞在 0 和 1 之間的實(shí)數(shù)比所有自然數(shù)加起來還要多。換句話說，并非所有無窮大都生而平等，有些比其他的要大。實(shí)數(shù)集比自然數(shù)具有更大的基數(shù)，因?yàn)樗鼈兏?。任何可?shù)的集合要么是有限的，要么是無限的，而如果是無限的，則其基數(shù)為 aleph-0。

那么數(shù)學(xué)家可以用這些想法做什么呢？Friedman-Stanley 的論文以及 Paolini 和 Shelah 的新工作重點(diǎn)關(guān)注結(jié)構(gòu)之間的等價(jià)關(guān)系——稱為同構(gòu)（isomorphism）。例如，讓我們考慮兩個(gè)無限但可數(shù)的數(shù)字群：

… ?3, ?2, ?1, 0, 1, 2, 3 …
… ?6, ?4, ?2, 0, 2, 4, 6 …

第一組由整數(shù)組成；第二個(gè)僅由偶數(shù)組成。這兩組彼此同構(gòu)，因?yàn)樗鼈兙哂邢嗤瑪?shù)量的元素，也就是說它們的無窮大是相同的。并且一個(gè)群中的每個(gè)元素都對(duì)應(yīng)于——或者，正如數(shù)學(xué)家所用的術(shù)語(yǔ)，“映射到”——另一群中的一個(gè)元素。此外，用于從一個(gè)群映射到另一個(gè)群的函數(shù)還必須保留群的運(yùn)算和屬性（例如加法結(jié)合律）。

什么是同構(gòu)（isomorphism）?

盡管某些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是本性是無窮的，仍能夠研究它們，并與其他對(duì)象比較，判斷是否同構(gòu)或粗略認(rèn)為相等。

例1：數(shù)字集合

整數(shù)集合與偶數(shù)集合同構(gòu)。一個(gè)集合的元素與另一個(gè)集合的元素一一對(duì)應(yīng)。兩個(gè)集合有相同多的無窮大數(shù)量。

例2：圖

同構(gòu)圖的頂點(diǎn)之間一一對(duì)應(yīng)。且一個(gè)圖中的兩個(gè)頂點(diǎn)通過一條邊相連，則另一個(gè)圖中，相應(yīng)兩個(gè)頂點(diǎn)也被一條邊連接。

像這樣的同構(gòu)群并不等同，因?yàn)樗鼈儧]有相同的元素，但它們確實(shí)具有平行結(jié)構(gòu)：一個(gè)群中的每個(gè)元素都與另一個(gè)群中的單個(gè)元素直接對(duì)應(yīng)。函數(shù)可以將第一個(gè)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為第二個(gè)結(jié)構(gòu)，如上例所示，只需將第一個(gè)結(jié)構(gòu)的每個(gè)元素乘以 2。同構(gòu)結(jié)構(gòu)具有 Paolini 所說的“相同形狀”（如果不是內(nèi)容完全相同）。

“說兩個(gè)結(jié)構(gòu)是同構(gòu)的意味著它們本質(zhì)上是相同的，”Laskowski 說?！澳憧梢杂幸粋€(gè)紅色的或一個(gè)藍(lán)色的，但從深層次而言，它們是一樣的。”

這種同構(gòu)的概念是這個(gè)幾十年前問題的核心。

復(fù)雜程度有多復(fù)雜？

在他們 1989 年的論文中， 弗里德曼（Friedman）和斯坦利（Stanley）主要想知道一件事：給定一個(gè)可數(shù)結(jié)構(gòu)族——無論它們是否數(shù)字無限群（如上面提到的整數(shù)）還是圖（可以通過邊連接的各種各樣的頂點(diǎn)）——找出該族中的對(duì)象是否彼此同構(gòu)有多難？

弗里德曼和斯坦利舉出的一個(gè)案例涉及一系列圖，每個(gè)圖都有無限（盡管可數(shù)）的頂點(diǎn)數(shù)。對(duì)于要標(biāo)記為同構(gòu)的兩個(gè)可數(shù)圖，一個(gè)圖中的頂點(diǎn)和另一個(gè)圖中的頂點(diǎn)之間必須再次存在一對(duì)一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。如果一個(gè)圖中的兩個(gè)頂點(diǎn)由一條邊連接，則另一個(gè)圖中相應(yīng)的頂點(diǎn)也必須由一條邊連接。

弗里德曼和斯坦利表明，回答兩個(gè)可數(shù)圖是否同構(gòu)的問題是極其復(fù)雜的——極可能地困難。這使所有可數(shù)圖的族都成為“Borel 完備的”。（兩人在 1989 年的論文中創(chuàng)造了這個(gè)術(shù)語(yǔ)，因?yàn)樗麄円蕾囉谟蓴?shù)學(xué)家émile Borel（埃米爾·博雷爾）設(shè)計(jì)的所謂的博雷爾函數(shù)。）

弗里德曼和斯坦利接著想知道：還有哪些類別的可數(shù)對(duì)象是 Borel 完備的？拉斯科夫斯基說，這個(gè)簡(jiǎn)單的問題“是描述性集合論的核心主題之一?！?/p>

從那以后的幾年里，弗里德曼、斯坦利和其他人已經(jīng)確定了幾類滿足 Borel 完備性標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)對(duì)象，包括樹——一種簡(jiǎn)化的圖——和線序，一組數(shù)字（自然或?qū)崝?shù)），字面上是順序排列，就像數(shù)軸上的數(shù)字一樣。

但在 1989 年的論文中考慮的許多不同情況中，只有一個(gè)——關(guān)于上述無扭阿貝爾群——拒絕通過同構(gòu)進(jìn)行分類。為了一步一步地描述這個(gè)令人生畏的術(shù)語(yǔ)，TFAB 群從根本上說是數(shù)字的群。每個(gè) TFAB 由遵循某些群規(guī)則的實(shí)數(shù)的可數(shù)子集組成，例如在加減下封閉（因此對(duì)于該群中的任何數(shù)字 p 和 q，p + q 和 p - q 也出現(xiàn)在群中）。它還遵守交換律（意味著 p + q = q + p），這是阿貝爾群的標(biāo)志。最后，術(shù)語(yǔ)無扭轉(zhuǎn)（torsion-free）意味著如果 g 是群中的非零元素，則 g + g 永遠(yuǎn)不能等于零，g + g + g 也不能，g + g + g +g 也不能，依此類推。

Shelah 說，30 年來，數(shù)學(xué)家一直想知道：“如果我們有兩個(gè) [可數(shù)] 無扭阿貝爾群，我們問它們是否同構(gòu)，這是一個(gè)簡(jiǎn)單的問題，一個(gè)中等難度問題還是最難的問題？”

Kechris 說，在 Friedman-Stanley 論文中提出的所有問題中，這個(gè)問題解決的時(shí)間最長(zhǎng)?！八哉f它最具挑戰(zhàn)性是合理的?！痹谒a(chǎn)生效果之前需要一種新的方法。

Shelah 和 Paolini 終于在今年早些時(shí)候找到了突破的方法。

跨結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換

他們通過使用經(jīng)典數(shù)學(xué)家的技巧做到了這一點(diǎn)：將一個(gè)頑固的問題簡(jiǎn)化為一個(gè)更易于駕馭的問題。如果他們能夠證明 TFAB 與另一個(gè)已知的 Borel 完備結(jié)構(gòu)族（例如可數(shù)圖族）一樣復(fù)雜，那么將證明 TFAB 也是如此?！叭绻阆胫酪粋€(gè)人是否是世界上最高的人，有什么聰明的方法呢？”Paolini問道。“與其和地球上的每個(gè)人都核對(duì)，不如去找被認(rèn)為最高的人，看看誰(shuí)更高?！?/p>

Shelah 解釋說，在決定使用可數(shù)圖作為衡量標(biāo)準(zhǔn)后，他們面臨著關(guān)鍵的下一步：創(chuàng)建一個(gè)函數(shù)（具體來說是一種 Borel 函數(shù)），它可以“將一個(gè)圖轉(zhuǎn)換成一個(gè)無扭阿貝爾群”。他們的函數(shù)需要接受一個(gè)圖作為它的輸入并產(chǎn)生一個(gè) TFAB 作為它的輸出，在這個(gè)過程中將信息從圖傳遞到群。更具體地說，函數(shù) f 必須滿足以下關(guān)系：兩個(gè)可數(shù)圖 G 和 H 彼此同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng) f(G) 和 f(H) 是可數(shù)的 TFAB，它們也彼此同構(gòu)。

這項(xiàng)任務(wù)并不容易，因?yàn)樗麄儧]有可用的“技術(shù)”來連接如此不同的數(shù)學(xué)對(duì)象。他們不得不為這個(gè)問題發(fā)明它。

“整個(gè)游戲歸結(jié)為構(gòu)建這個(gè)函數(shù)，”Laskowski 說?！斑@就像比較蘋果和橙子。圖和群沒有相同的詞匯。因此，在這種情況下，你所做的就是創(chuàng)建對(duì)應(yīng)?！?/p>

再說一次，他們真的是在比較無限群的蘋果和無限群的橙子。幸運(yùn)的是，Shelah 說，他們找到了一種簡(jiǎn)化事情的方法。“你可以[使用]一個(gè)通用的圖而不是處理所有的圖”——一個(gè)非常龐大的圖，它的子圖，其中包含較小的圖，包括所有可能的可數(shù)圖。

兩個(gè)TFAB是同構(gòu)的嗎？

問題：判定兩個(gè)無扭阿貝爾群（TFAB）是否同構(gòu)的困難程度如何？

策略：將TFAB與另一結(jié)構(gòu)比較，例如可數(shù)圖（其同構(gòu)性我們已經(jīng)知道極其困難）

解：因?yàn)閿?shù)學(xué)家已經(jīng)知道可數(shù)圖族同構(gòu)性極其復(fù)雜，那么可數(shù)TFAB族也必有這種困難性。

Laskowski 說，這是一個(gè)令人印象深刻的策略?！拔也粫?huì)直接嘗試解決這個(gè)問題，這會(huì)涉及大量的圖和群，我只會(huì)選擇這個(gè)母可數(shù)圖，每個(gè)可數(shù)圖都出現(xiàn)在它的保護(hù)傘下?！?/p>

通過這種方式，Paolini 和 Shelah 能夠構(gòu)建必要的函數(shù)，從而證明圖和 TFAB 處于一種平等的地位。“我們找到了一種將無扭阿貝爾群與圖相關(guān)聯(lián)的方法，以便保留同構(gòu)，”Paolini 說。

并且由于數(shù)學(xué)家已經(jīng)知道可數(shù)圖族是 Borel 完備的——也就是說，在同構(gòu)方面是最復(fù)雜的——這意味著可數(shù) TFAB 族也必須是 Borel 完備的。他們終于有了答案。

新叢林探索

這個(gè)結(jié)果會(huì)導(dǎo)致更普遍的事情嗎？“這還有待觀察，”Kechris 說，“但很有可能?！?/p>

事實(shí)上，Paolini 和 Shelah 已經(jīng)在考慮推廣他們的結(jié)果。Shelah 說，在解決了可數(shù) TFAB 的情況后，他們現(xiàn)在正在研究更大的不可數(shù) TFAB 群，它們“可能有不同的答案”。

有理由認(rèn)為他們可能會(huì)發(fā)現(xiàn)。“Shelah 有一個(gè)理論，”Laskowski 說，“當(dāng)你將某些問題推到更高的基數(shù)時(shí)，某些問題會(huì)變得更容易”——更高的無窮級(jí)——因?yàn)楫?dāng)數(shù)字變得非常大時(shí)，重要數(shù)字之間的距離會(huì)增加，比如質(zhì)數(shù)和整數(shù)的平方。結(jié)果，Shelah 告訴 Laskowski，“空氣變得更清新”，這可能使數(shù)學(xué)家更容易看清事物。

與此同時(shí)，他們關(guān)于可數(shù) TFAB 的論文已經(jīng)具有一些直接的實(shí)際意義?！拔覀儸F(xiàn)在知道你的能力受到限制，”Shelah 說。例如，你永遠(yuǎn)找不到這個(gè)群族的區(qū)別屬性（稱為不變量），它會(huì)自動(dòng)告訴你兩個(gè) TFAB 是否同構(gòu)。這是可數(shù) TFAB 集合是Borel 完備這一事實(shí)的直接結(jié)果。

“我們證明根本沒有簡(jiǎn)單的方法來確定 [同構(gòu)]，”Paolini 說?！皼]有回旋的余地。極可能地困難?！?/p>

這是有用的知識(shí)，因?yàn)閷ふ也蛔兞渴菙?shù)學(xué)家的主要關(guān)注點(diǎn)。“這有點(diǎn)像說人們不應(yīng)該花很多時(shí)間來嘗試發(fā)明永動(dòng)機(jī)，”Shelah 說，“鑒于我們現(xiàn)在知道這樣的機(jī)器無法制造?！?/p>

展望未來，數(shù)學(xué)家可能會(huì)發(fā)現(xiàn)其他類別的無限可數(shù)結(jié)構(gòu)，例如圖和 TFAB，它們?cè)诖_定同構(gòu)時(shí)最為復(fù)雜。同樣，Paolini 說，“可以想象，我們可以在地球上找到其他像亞馬遜一樣復(fù)雜的叢林。” 但在這個(gè)類比中當(dāng)然沒有比這更復(fù)雜的了。

僅僅知道這個(gè)事實(shí)，并且知道 TFAB 極可能地復(fù)雜，就可以將分類學(xué)家和描述性集合理論家關(guān)心的圖景進(jìn)行簡(jiǎn)化或去復(fù)雜化。