通過向球體上的曲線增加無限多的扭曲，可以將其壓成一個(gè)小球，而不會(huì)扭曲其距離。
作者：Mordechai Rorvig 量子雜志Quanta Magazine 2021-6-3 譯者：zzllrr小樂 2021-6-5數(shù)學(xué)科普翻譯與數(shù)學(xué)科普原創(chuàng)一樣都不易，尤其圖文公式，歡迎分享轉(zhuǎn)載并注明本文來源頭條號(hào)/公眾號(hào)，zzllrr小樂。
在 1950 年代，也就是在他因?qū)Σ┺恼摰呢暙I(xiàn)獲得諾貝爾獎(jiǎng)以及他的故事啟發(fā)了書和電影“美麗心靈”的四年前，數(shù)學(xué)家John Nash約翰·納什證明了所有幾何學(xué)中最杰出的成果之一。其中有一亮點(diǎn)，它暗示可以將一個(gè)球體揉成任何大小的球，而無需將其弄皺。他通過發(fā)明一種稱為“嵌入”的新型幾何對(duì)象使這成為可能，該對(duì)象將形狀置于更大的空間內(nèi)——與將二維海報(bào)裝入三維管沒什么不同。有多種嵌入形狀的方法。有些保留了形狀的自然形式——比如將海報(bào)卷成圓柱體——而另一些則將其折皺或撕裂以使其適合不同的方式。納什的技術(shù)出人意料地涉及為形狀的所有曲線添加扭曲，使其結(jié)構(gòu)有彈性，表面起皺。他證明，如果你添加無數(shù)次這樣的扭曲，你可以把球體揉成一個(gè)小球。結(jié)果震驚了數(shù)學(xué)家，他們以前認(rèn)為以這種方式弄皺球體需要脆性的折疊。從那時(shí)起，數(shù)學(xué)家一直試圖準(zhǔn)確了解納什開創(chuàng)性技術(shù)的局限性。他展示了你可以使用扭曲將球體弄皺，但他沒有確切證明你至少需要多少扭曲才能得到這個(gè)結(jié)果。換句話說，納什之后的數(shù)學(xué)家想要量化平坦度和扭曲度之間的確切閾值，或者更一般地說，平滑度和粗糙度之間的確切閾值，在這個(gè)閾值下，像球體這樣的形狀開始皺縮。在最近的兩篇論文中，至少對(duì)于位于更高維空間中的球體而言，該閾值被找到了。在 2018 年 9 月發(fā)布并于 2020 年 3 月出版的一篇論文中，新澤西州普林斯頓高等研究院的 Camillo De Lellis與 萊比錫大學(xué)的 Dominik Inauen 確定了一個(gè)特定形狀的確切閾值。2020 年 10 月，北京首都師范大學(xué)的 Inauen 和 Wentao Cao 的后續(xù)工作證明，該閾值適用于某種一般類型的所有形狀。這兩篇論文顯著提高了數(shù)學(xué)家對(duì)納什嵌入的理解。它們還在嵌入和流體流動(dòng)之間建立了一種不太可能的聯(lián)系。“我們發(fā)現(xiàn)了這兩個(gè)問題之間的這些驚人的聯(lián)系點(diǎn)，”De Lellis說。翻滾的河流似乎與皺巴巴的形狀只有模糊的關(guān)系，但數(shù)學(xué)家在 2009 年發(fā)現(xiàn)，它們實(shí)際上可以使用相同的技術(shù)進(jìn)行研究。三年前，包括 De Lellis 在內(nèi)的數(shù)學(xué)家使用納什的想法來理解流動(dòng)變成湍流的點(diǎn)。他們的工作將流體重新想象為由扭曲的流動(dòng)組成——他們證明，如果你在這些流動(dòng)中添加足夠多的扭曲，流體會(huì)突然呈現(xiàn)湍流的關(guān)鍵特征。關(guān)于嵌入的新工作建立在早期湍流工作的重要經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)之上，這表明數(shù)學(xué)家現(xiàn)在有了一個(gè)通用框架來識(shí)別一系列數(shù)學(xué)環(huán)境中的急劇轉(zhuǎn)變點(diǎn)。保持長(zhǎng)度今天的數(shù)學(xué)家考慮形狀，例如球體，具有自己固有的幾何特性：無論你在哪里找到球體，球體都是一個(gè)球體。但是你可以拿一個(gè)抽象形狀并將其嵌入更大的幾何空間中。當(dāng)你嵌入它時(shí)，可能希望保留有關(guān)它的所有性質(zhì)?；蛘?，你可能只要求某些屬性保持不變——例如，其曲面上的曲線長(zhǎng)度保持不變。這種嵌入被稱為“等距”。等距嵌入保持長(zhǎng)度，但仍然可以以重要的方式改變形狀。例如，從一張帶有垂直線網(wǎng)格的方格紙開始。隨意折疊多次。這個(gè)過程可以被認(rèn)為是一個(gè)等距嵌入。生成的形狀看起來與你開始時(shí)的平滑平面完全不同，但網(wǎng)格線的長(zhǎng)度不會(huì)改變。 納什的扭曲嵌入保留了令人驚訝的平滑度，即使它們可以從根本上改變表面。很長(zhǎng)一段時(shí)間，數(shù)學(xué)家認(rèn)為尖銳的折疊是同時(shí)兼得這兩種特征的唯一方法：保持長(zhǎng)度的皺折形狀。普林斯頓大學(xué)的特里斯坦·巴克馬斯特 (Tristan Buckmaster) 說：“如果允許拐角發(fā)生，那么問題就會(huì)容易得多。”但是在 1954 年，John Nash 發(fā)現(xiàn)了一種截然不同的等距嵌入類型，可以實(shí)現(xiàn)相同的技巧。它使用螺旋扭曲而不是尖銳的折痕和角。為了對(duì)納什的想法有一個(gè)直觀的了解，請(qǐng)?jiān)俅螐那蝮w的光滑表面開始。該曲面由許多曲線組成。取每條曲線并將其擰成彈簧狀的螺旋線。像這樣重新制作所有曲線后，就可以壓縮球體了。然而，這樣的過程似乎違反了等距嵌入的規(guī)則——畢竟，兩點(diǎn)之間的曲線路徑總是比直線路徑長(zhǎng)。但是，值得注意的是，納什展示了一種嚴(yán)格的保持長(zhǎng)度的方法，即使你對(duì)扭曲的線重新制作曲線也是如此。首先，像放氣的氣球一樣均勻地收縮球體。然后為每條曲線添加越來越緊密的螺旋線。通過添加無限多的此類扭曲，最終可以將每條曲線恢復(fù)到其原始長(zhǎng)度，即使原始球體已被弄皺。納什的工作需要進(jìn)一步探索。從技術(shù)上講，他的結(jié)果意味著只有當(dāng)球體存在于四個(gè)空間維度時(shí)，才能將球體弄皺。但在 1955 年，尼古拉斯·柯伊伯Nicolaas Kuiper推廣了納什的工作，使其適用于標(biāo)準(zhǔn)的三維球體。如果將球體的曲線扭曲得足夠多，數(shù)學(xué)家想確切了解多到哪種程度，可以使其坍塌。平滑度折疊和扭曲的形狀在一個(gè)關(guān)鍵方面彼此不同。要了解其中的原理，你需要了解數(shù)學(xué)家所說的“平滑”是什么意思。平滑度的一個(gè)經(jīng)典例子是正弦波的上升和下降形狀，這是數(shù)學(xué)中最常見的曲線之一。表達(dá)這種平滑度的一種數(shù)學(xué)方法是說你可以計(jì)算波在每個(gè)點(diǎn)的“導(dǎo)數(shù)”。導(dǎo)數(shù)可以測(cè)量曲線在某一點(diǎn)的斜率，即它傾斜或下降的程度。事實(shí)上，你可以做的不僅僅是計(jì)算正弦波的導(dǎo)數(shù)。你還可以計(jì)算導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即“二階”導(dǎo)數(shù)，它捕獲斜率的變化率。這個(gè)量可以確定曲線的曲率——曲線在某個(gè)點(diǎn)附近是凸還是凹，以及彎曲到什么程度。沒有理由止步于此。你還可以計(jì)算導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)（“三次”導(dǎo)數(shù)），依此類推。這個(gè)無限的導(dǎo)數(shù)塔使正弦波在精確的數(shù)學(xué)意義上完美平滑。但是當(dāng)你折疊一個(gè)正弦波時(shí)，導(dǎo)數(shù)塔就會(huì)倒塌。沿著折痕曲線的斜率沒有明確定義，這意味著甚至無法計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)。在納什之前，數(shù)學(xué)家認(rèn)為失去一階導(dǎo)數(shù)是在保持長(zhǎng)度的同時(shí)將球體弄皺的必然結(jié)果。換句話說，他們認(rèn)為皺巴巴和光滑是不相容的。 約翰納什在 1954 年震驚了數(shù)學(xué)界，當(dāng)時(shí)他證明了可以在保持距離的同時(shí)揉皺一個(gè)球體，而不需要折疊它。使用他的方法，可以在不折疊任何曲線的情況下將球體弄皺。納什所需要的只是光環(huán)的扭曲。然而，他的嵌入所需的無限微小扭曲使得曲率的二階導(dǎo)數(shù)概念變得荒謬，就像折疊破壞了斜率的一階導(dǎo)數(shù)概念一樣。在一個(gè)納什曲面上，曲線是凹的還是凸的，這一點(diǎn)永遠(yuǎn)都不清楚。每增加一次扭曲，形狀就會(huì)有越來越多的波紋和凹槽，無限凹槽的表面變得粗糙。里昂大學(xué)的文森特·博雷利 (Vincent Borrelli) 說：“如果你是曲面上的滑雪者，那么到處都會(huì)感覺到顛簸，”他在 2012 年與合作者合作創(chuàng)建了納什嵌入的第一個(gè)準(zhǔn)確的可視化。這項(xiàng)新工作解釋了一個(gè)曲面可以在多大程度上保持導(dǎo)數(shù)，即使它的結(jié)構(gòu)坍塌。尋找邊界數(shù)學(xué)家有精確的符號(hào)來描述可以在曲線上計(jì)算的導(dǎo)數(shù)的數(shù)量。折疊形狀的嵌入稱為 C?。C 代表連續(xù)性continuity，上標(biāo)零表示嵌入曲面上的曲線沒有導(dǎo)數(shù)，甚至沒有一階導(dǎo)數(shù)。 還有帶有分?jǐn)?shù)上標(biāo)的嵌入，例如 C?,1/2，它們?nèi)匀粫?huì)產(chǎn)生折痕，但不那么尖銳。 然后是納什的 1嵌入，它僅通過應(yīng)用平滑扭曲來擠壓曲線，從而保留一階導(dǎo)數(shù)。在納什的工作之前，數(shù)學(xué)家主要關(guān)注具有一定標(biāo)準(zhǔn)光滑度 C2 及以上的等距嵌入。這些 C2 嵌入可能會(huì)扭曲或彎曲曲線，但只是輕輕地。1916 年，有影響力的數(shù)學(xué)家赫爾曼·外爾 (Hermann Weyl) 猜測(cè)，無法在不破壞距離的情況下使用如此溫和的彎曲來改變球體的形狀。1940 年代，數(shù)學(xué)家解決了 Weyl 問題，證明 C2 等距嵌入無法使球體皺縮。在 1960 年代，Yurii Borisov 發(fā)現(xiàn) C1,1/3嵌入仍然可以弄皺球體，而 C1,2/3 嵌入則不能。因此，在納什的 C1嵌入和輕輕彎曲的C2 嵌入之間的某處，揉皺成為可能。但是在Borisov的工作之后的幾十年里，數(shù)學(xué)家們并沒有更接近于找到一個(gè)確切的邊界——如果一個(gè)邊界存在的話。雖然數(shù)學(xué)家無法取得進(jìn)展，但他們確實(shí)為納什的想法找到了其他應(yīng)用。在 1970 年代，Mikhael Gromov 將它們重新定義為一種稱為“凸積分”的通用工具，它允許數(shù)學(xué)家通過使用扭曲子結(jié)構(gòu)來構(gòu)建許多問題的解。在一個(gè)最終與新成果相關(guān)的例子中，凸積分使得可以將流動(dòng)的流體視為由許多扭曲的子流組成。幾十年后的 2016 年，Gromov 回顧了球體嵌入的漸進(jìn)進(jìn)展，并推測(cè)實(shí)際上存在一個(gè)閾值，即 C1,1/2。問題是，在那個(gè)閾值上，現(xiàn)有的方法就失效了。為了取得進(jìn)展，數(shù)學(xué)家需要一種新方法來區(qū)分不同平滑度的嵌入。De Lellis 和 Inauen 的靈感來自一種完全不同的現(xiàn)象：湍流。消失的能量所有接觸的材料都有摩擦力，我們認(rèn)為摩擦力是減慢速度的原因。但多年來，物理學(xué)家已經(jīng)觀察到湍流的一個(gè)顯著特性：即使沒有內(nèi)部摩擦或粘度，它們也會(huì)減慢速度。1949 年，Lars Onsager 提出了一個(gè)解釋。他猜測(cè)無摩擦耗散與湍流的極端粗糙度（或缺乏平滑性）有關(guān)：當(dāng)流動(dòng)變得足夠粗糙時(shí)，它開始耗盡自己。2018 年，Philip Isett 證明了 Onsager 的猜想，Buckmaster、De Lellis、László Székelyhidi 和 Vlad Vicol 在另一項(xiàng)工作中做出了貢獻(xiàn)。他們使用凸積分來構(gòu)建與 C? 一樣粗糙及更高可高達(dá) C?,1/3（比 C1 更粗糙）的滾動(dòng)流。這些流動(dòng)違反了稱為動(dòng)能守恒的正式規(guī)則，并且完全通過其粗糙度來減慢自己的速度。“能量在有限的時(shí)間內(nèi)被發(fā)送到無限小的尺度，零長(zhǎng)度尺度，然后消失，”巴克馬斯特Buckmaster說。早在1994 年的工作已經(jīng)確定，比 C?,1/3更光滑（具有更大的上標(biāo)）的無摩擦流動(dòng)確實(shí)節(jié)約了能量。總之，這兩個(gè)結(jié)果在湍流、耗能流和非湍流、節(jié)能流之間確定了一個(gè)尖銳的閾值。Onsager 的工作還提供了一種原理證明，即凸積分可以揭示尖銳的閾值。關(guān)鍵之處似乎在于找到在閾值的一側(cè)成立而在另一側(cè)失敗的正確規(guī)則。De Lellis 和 Inauen 注意到了。“我們想也許你有一個(gè)額外的定律，比如 [動(dòng)能定律]，”伊諾恩說。 “高于某個(gè)閾值的等距嵌入滿足它，低于該閾值則會(huì)違反它?！?/section>保持加速他們最終研究的規(guī)則與曲面上曲線的加速度值有關(guān)。要理解它，首先想象一個(gè)人在嵌入之前沿著球形滑冰。當(dāng)他們擺動(dòng)轉(zhuǎn)彎處并在山坡上滑行時(shí)，他們會(huì)感覺到加速（或減速）感。他們的軌跡形成了一條曲線。現(xiàn)在想象一下滑冰者在嵌入后沿著相同的形狀比賽。對(duì)于足夠光滑的等距嵌入，不會(huì)使球體皺縮或以任何方式變形，滑冰者應(yīng)該沿著嵌入的曲線感受到相同的力。認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)后，De Lellis 和 Inauen 需要證明這一點(diǎn)：比 C1,1/2 更光滑的嵌入可以保持加速度。2018 年，他們將這種視角應(yīng)用于稱為極冠polar cap的特定形狀，它是球體的截頂。他們研究了使帽的底部保持固定位置的帽的嵌入。由于帽子的底部是固定的，因此只有在其上方的帽子形狀發(fā)生變化（例如，通過向內(nèi)或向外扣緊）時(shí)，繞其運(yùn)動(dòng)的曲線才能改變加速度。他們證明了比 C1,1/2 更光滑的嵌入——甚至是納什嵌入——不會(huì)改變加速度，因此不會(huì)扣住帽子。“它提供了一個(gè)非常漂亮的幾何畫面，”Inauen 說。另一方面，他們使用凸積分來構(gòu)建比C1,1/2 更粗糙的帽子嵌入。這些納什嵌入扭曲了曲線，以至于它們失去了加速度的概念，這是一個(gè)二階導(dǎo)數(shù)。但是圍繞底座的曲線的加速度仍然是合理的，因?yàn)樗俏恢霉潭ǖ?。他們表明，低于閾值的嵌入可以改變這條曲線的加速度，這意味著它們也會(huì)扣住帽子（因?yàn)槿绻弊硬豢?，加速度保持恒定；如果加速度不恒定，這意味著帽子必須扣?。?。兩年后，Inauen 和 Cao 推廣了之前的論文，并證明了 Gromov 的 C1,1/2 預(yù)測(cè)值確實(shí)是一個(gè)適用于任何形狀或具有固定邊界的“流形”的閾值。在它上面，形狀不會(huì)彎曲，在它下面它們會(huì)彎曲。 “我們概括了結(jié)果，”曹說。Cao 和 Inauen 論文的一個(gè)關(guān)鍵限制是它需要將一個(gè)形狀嵌入到 8 維空間中，而不是 Gromov 心目中的 3 維空間。有了額外的維度，數(shù)學(xué)家獲得了更多的空間來添加扭曲，這使問題變得更容易。雖然結(jié)果并不能完全回答 Gromov 的猜想，但它們提供了迄今為止對(duì)光滑度和起皺之間關(guān)系的最佳洞察。 “他們給你一個(gè)我們真正看到這種二分法的第一個(gè)例子，”德萊利斯De Lellis說。從這里開始，數(shù)學(xué)家有許多路徑可以遵循。 一方面，他們想在三個(gè)維度上解決這個(gè)猜想。 同時(shí)，他們想更好地理解凸積分的力量。今年秋天，高等研究院將開始舉辦有關(guān)該主題的全年計(jì)劃。 它將匯集來自廣泛領(lǐng)域的研究人員，目的是更好地理解納什發(fā)明的想法。 正如格羅莫夫在他 2016年的論文中指出的那樣，納什扭曲的形狀不僅僅是幾何的一部分。 現(xiàn)在已經(jīng)很清楚，他們?yōu)橥ㄍ鶖?shù)學(xué)的全新“新土地”鋪平了道路，許多地方都出現(xiàn)了尖銳的閾值。
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