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作者：七是 數(shù)學是唯一有用的的形而上學——L.開爾文勛爵 這是微積分的勝利——海灣戰(zhàn)爭時美國一網(wǎng)友的評論 希臘以后人類經(jīng)歷了漫長的思想停滯終于迎來了偉大的文藝復興和啟蒙運動而步入現(xiàn)代。但丁、達.芬奇、哥白尼、伽利略、開普勒、笛卡爾……這些名字不僅代表著一個個獨立而不屈服的靈魂，還代表著那個時代的輝煌。他們共同吹響了人類航船駛入現(xiàn)代化的起航號角。人們急切地等待聆聽這序曲之后的樂章；等待著劃分古代與現(xiàn)代的原點式的人物的出現(xiàn)以及他所開創(chuàng)的事業(yè)——艾薩克.牛頓、萊布尼茨和微積分，他們和他們所代表的成就注定成為人類告別舊世界的終點和開創(chuàng)新未來的起點！微積分的發(fā)明除了能推導出已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的宇宙定律之外，還為創(chuàng)立許多新的科學領域提供了動力。
微積分的創(chuàng)始人牛頓和萊布尼茲 17世紀三位偉大的思想家，費馬、牛頓和G.W.萊布尼茨的微積分思想不但被迅速的接受而且其思想的傳播與應用迅速形成了勢不可擋的時代潮流。 一般認為卓越人物從根本上來說和所處的時代勢不兩立，“開放性”是現(xiàn)代理論的基礎之一。不隨波而行的思想和人格，冷峻而嚴厲的審視目光是檢驗剖析新思想的真?zhèn)蔚慕馄实?，是磨礪思想之劍的砥石。同樣，微積分思想也是在討論與質疑中成長起來的，新理論是在拷問與辯駁中由嬌艷的溫室花朵成長為風姿綽約的大樹。 站在巨人肩膀上微積分的創(chuàng)立，首先是為了解決17世紀重點科學問題。1、已知物體運動的“距離——時間”函數(shù)關系求任意時刻的速度和加速度?！叭我粫r刻”的時間間距是0，那么他的位移量也必然是0，這就出現(xiàn)了v=0/0的困難；2、求曲線的切線，研究成像光學不能回避的“切線、法線”如果沒有理論突破，應用技術也會出現(xiàn)“營養(yǎng)不良”而不能發(fā)展；3、求函數(shù)的最大、最小值。例如，“彈道學”就必然涉及此類問題；4、求曲線的長、曲線圍出的面積、曲面圍出的體積、物體的重心問題。 牛頓、萊布尼茨是站在“巨人肩膀上”的求知者，我們下面大略列出他們之前的先行者的腳步：
…… 經(jīng)過漫長的積累，時代呼喚具有足夠洞察力的人將這些研究碎片統(tǒng)一起來；此人還需要非常的想象力從紛亂的猜測中挖掘出有價值的思想并能夠完成宏大的計劃，牛頓、萊布尼茨站了出來！ 牛頓從物理方面著手考察運動的速度、加速度等概念；萊布尼茨則從哲學方面的“最終微?！獑巫印比〉?。他們共同打開了微積分的大門。他們的工作主要是鑿開前人頑固的“幾何腦袋”摒棄了諸如“特征三角形”的笨拙方法，采用了代數(shù)方式處理了導數(shù)與積分，完成了微積分方法從“特殊到一般”的升華；他們以深刻的洞察力發(fā)現(xiàn)了微分與積分是互逆運算，以此提出了“微積分基本定理”。微積分基本定理是微積分思想走向成熟的閘門，打開了這道閘門，微積分思想?yún)R入了“人類科學理性思想”的滾滾洪流中。 第二次數(shù)學危機——“邏輯”！要命的邏輯！由于微積分的誕生不是嚴格按照“邏輯線路”生成的，包括牛頓和萊布尼茨本人都對微積分的那個“微小量”的處理是否合法也產(chǎn)生過懷疑，很快，許多人也發(fā)現(xiàn)了那個“微小量”在邏輯中產(chǎn)生的悖論。 為了方便讀者，下面我們以牛頓的流數(shù)法為典型，舉個特殊的簡單的例子來看看問題出在哪里：（用現(xiàn)代代數(shù)符號列出） “如果一個物體的運動方程是y=x2（y表示位置，x表示任一時刻），那么它在任一時刻的速率是怎樣的？”（脫離開“運動”的概念，將y=x2看作函數(shù)也可。） 解：第一步：欲求速度v，有一個求平均速率公式： 第二步：根據(jù)運動方程y=x2我們給出一段“微小”運動時間△x=h；那么這段時間位移量就是 第三步：平均速度 第四步： 第五步：消去h得 第六步：當這個“微小時間增量h趨近于0時，我們就可以把平均速率看成瞬時速率v”那么v=2x+0； 得出結論：瞬時速率v=2x 這樣，只要給出任意時刻x，我們就可以很方便的求出任意時刻的瞬時速率v了！ 但是，以上計算出現(xiàn)了一個明顯的邏輯悖論——“微小量h”是什么？ “如果h是0，那么第三步中不能做分母；如果h不是0，第六步怎么又等于0了？” 牛頓使用了“最初比與最終比”來解釋這個悖論；萊布尼茨的追隨者使用“無窮小的非0量”以求過關。但追究起來，這些說法無非是“文字花招”不但不能解決悖論，甚至帶來更多的混亂。 那么，在微積分的基礎上出現(xiàn)了如此大的“漏洞”情況下，牛頓和萊布尼茨怎么還會相信其方法的正確性呢？ 指引牛頓、萊布尼茨沿著一條正確道路前進的正是直覺和物理上的結論，而不是邏輯。一個個“物理事實”堅定了二人的信心，也給這兩個思想巨人指明了行動的方向。 后來數(shù)學家甚至評論說“如果牛頓知道連續(xù)函數(shù)并不都是可導的，（如f(x)=|x|,在原點就不可導）那么微積分就不會誕生了”。 由于早期微積分的研究缺乏嚴密性，所以在整個這門學科內(nèi)部爭吵聲連綿不絕。牛頓同時代數(shù)學家M.羅爾就帶嘲諷意味的說微積分是“精巧機智謬論”的匯編。牧師貝克萊更是出版了一本頗具影響的小冊子，把“微小增量”嘲諷的稱之為“無窮小精靈”。 這些早期微積分的發(fā)明者問題出在哪里呢？ 現(xiàn)在我們已經(jīng)知道，問題在于“怎樣定義無窮小?！庇捎谂ｎD時期數(shù)學家把“無窮∞”當作了一個明確的“數(shù)”來對待，這樣用“無窮小是無窮大的倒數(shù)”定義就必然走入歧途。 盡管牛頓、萊布尼茨在微積分技術方面做出了具有深遠意義的的進展，但他們?yōu)檫@門學科建立在嚴格基礎上方面卻沒有貢獻，他們的相關著作中，圍繞當時還沒有受到重視的極限概念的正確性相互詆毀、辯論，甚至多次否定自己先前的說法。在處理極限理論方面兩人不但都沒有成功，還給同時代的人甚至他們的多數(shù)后繼者帶來了混亂。 數(shù)學家的工作就是在自圓其說。 從“不用馬拉的車”的概念到“現(xiàn)代汽車”的概念，兩者之間的空白是由100多項重大發(fā)明、數(shù)百項小的發(fā)明才能填補起來。牛頓、萊布尼茨的微積分與現(xiàn)代被認為“令人滿意”的微積分，兩者之間空白也是由數(shù)百名偉大的或名不見經(jīng)傳的數(shù)學家的工作才填補起來的，經(jīng)過150年，才大體產(chǎn)生出一門邏輯相對完備和嚴密的微積分。 現(xiàn)代理論的特點之一就是“敘述邏輯清晰，概念內(nèi)涵明確，不能有含糊”，一個新的理論誕生并不是嚴格按照“邏輯射線”指向單向發(fā)展的，理論的完善就是把一個個“模糊點”清晰化，通俗化。 牛頓去世后不久首先站出來決心克服“無窮小精靈”危機的人是C.麥克勞林，1742年出版了這方面的著作，之后人們寫出了許多想利用邏輯使微積分達到嚴密性這一目的著作；在牛頓和萊布尼茨去世大約100年后J.L朗格朗日和L.歐拉做出了杰出的貢獻，并且他們都看到“基礎不穩(wěn)固的微積分之所以得到正確的結果僅僅是因為在邏輯過程中錯誤相互抵消了”。 …… 徹底解決疑問的數(shù)學家主要是柯西和魏爾斯特拉斯等人。 1821年卓越的法國數(shù)學家A.L.柯西出版了著作《分析教程》（至今仍是流行的分析學教科書之一?。┲谐晒Φ挠矛F(xiàn)代極限理論來說明導數(shù)的本質。他將導數(shù)明確定義如下：
“現(xiàn)代分析學之父”魏爾斯特拉斯又用了“ε-δ”語言一舉克服了“l(fā)im困難”，他將極限定義如下： 設函數(shù)f（x）在x0的某個“去心領域”內(nèi)有定義，則任意給定一個ε大于0，存在一個δ大于0，使得當
則稱A是函數(shù)f（x）當x趨近于x0時的極限，記成
至此！第二次數(shù)學危機算是圓滿度過。 部分大一的學生對現(xiàn)代極限理論的“ε-δ”語言表述不容易接受，似乎好像存在天生的反感，使學習數(shù)學分析課程出現(xiàn)了一些困難。 中國數(shù)學家近年來采取“不等式”初等方法來解決“極限問題”并取得了一些初步成果，有興趣的讀者可以參看張景中《直來直去的微積分》，但是由于“極限理論體系”涉及到高等數(shù)學方方面面，要解決函數(shù)論、復變函數(shù)等的全部基礎問題“不等式方法”還遠不能勝任。 微積分不是現(xiàn)代高等數(shù)學的巔峰，而是分析學的基礎。 如讀者覺得本文“數(shù)學部分”有困難，可以直接跳過，文字部分也大體可以了解本文含義，關于微積分思想和發(fā)展歷程筆者準備以后再和讀者交流。 |
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來自： 老莊. > 《邏輯 數(shù)學》
