在數(shù)學(xué)的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們?cè)趺粗朗裁??！呥_(dá)哥拉斯

盡管古代希臘的數(shù)學(xué)起源晚于美索不達(dá)米亞和古埃及，盡管泰勒斯可謂古代希臘第一位數(shù)學(xué)家，但真正意義上把數(shù)學(xué)作為一個(gè)學(xué)科研究是始于畢達(dá)哥拉斯，他也被譽(yù)為“數(shù)學(xué)之父”。

羅素《西方哲學(xué)史》：“數(shù)學(xué)，在證明式的演繹推論的意義上的數(shù)學(xué)，是從他開始的；而且數(shù)學(xué)在他的思想中乃是與一種特殊形式的神秘主義密切地結(jié)合在一起的。自從他那時(shí)以來，而且一部分是由于他的緣故，數(shù)學(xué)對(duì)于哲學(xué)的影響一直都是既深刻而又不幸的?！?/p>

一、畢達(dá)哥拉斯生平

畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，約公元前580年—約公元前497年）出生于米利都附近的薩摩斯島（Samos Island）的一個(gè)貴族家庭，自幼聰明好學(xué)，尤其對(duì)幾何學(xué)、自然科學(xué)以及哲學(xué)非常感興趣。

1955年希臘郵票：薩摩斯古地圖

九歲時(shí)畢達(dá)哥拉斯被富商父親送到提爾（古代腓尼基人的城市，今屬黎巴嫩），在閃族敘利亞學(xué)者那里學(xué)習(xí)并接觸了東方的宗教和文化。后來，他在薩摩斯的詩人克萊非洛斯那里學(xué)習(xí)了詩歌和音樂。

公元前551年，畢達(dá)哥拉斯來到米利都成為泰勒斯的學(xué)生。學(xué)了一段時(shí)期之后就到處游歷，包括埃及、巴比倫和印度，并可能在那里學(xué)到一些數(shù)學(xué)和神秘主義的教條。

畢達(dá)哥拉斯在49歲時(shí)返回家鄉(xiāng)薩摩斯，創(chuàng)辦哲學(xué)學(xué)校。他認(rèn)為婦女也和男人一樣有求知的權(quán)利，允許她們來聽講。

公元前520年左右，因?yàn)檎卧?，畢達(dá)哥拉斯離開薩摩斯，移居西西里島，后來定居在克羅托內(nèi)（Crotone，今屬意大利南部）。在那里他廣收門徒，建立了一個(gè)宗教、科學(xué)和哲學(xué)性質(zhì)的秘密社團(tuán)——畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。

這個(gè)社團(tuán)里有男有女，一切財(cái)產(chǎn)公有。每個(gè)學(xué)員都要在學(xué)術(shù)上達(dá)到一定的水平，加入組織還要經(jīng)歷一系列神秘的儀式，以求達(dá)到“心靈的凈化”。他們要接受長(zhǎng)期的訓(xùn)練和考核，遵守很多的規(guī)范和戒律（最出名的是禁食豆子），并且宣誓永不泄露學(xué)派的秘密和學(xué)說。畢達(dá)哥拉斯自稱是神的兒子，可以在死后不斷轉(zhuǎn)世，他的門徒尊他為圣人。

據(jù)信畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的人參與政治活動(dòng)，與貴族黨派結(jié)盟，因此被民主黨派驅(qū)逐。畢達(dá)哥拉斯被迫移居梅塔蓬圖姆（Metapontum，今意大利南部塔蘭托Taranto），并于公元前497年被害于此。

他的門人散居到希臘其它學(xué)術(shù)中心，繼續(xù)進(jìn)行數(shù)學(xué)、哲學(xué)研究，以及政治方面的活動(dòng)，直到公元前4世紀(jì)中葉。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派持續(xù)繁榮了兩個(gè)世紀(jì)之久。

二、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)

1、創(chuàng)立純數(shù)學(xué)

畢達(dá)哥拉斯將數(shù)視為心智想象出的東西，這是數(shù)學(xué)研究對(duì)象抽象化的開端，是對(duì)數(shù)學(xué)的重大影響之一。畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為，研究數(shù)學(xué)的目的并不在于使用而是為了探索自然的奧秘，對(duì)幾何形式和數(shù)字關(guān)系的沉思能達(dá)到精神上的解脫。

畢達(dá)哥拉斯率先對(duì)純數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)作了區(qū)分，其中純數(shù)學(xué)包括算術(shù)與幾何，研究心智想象出的東西；應(yīng)用數(shù)學(xué)包括音樂和天文，研究感官探知到的東西。歐德摩斯（Eudemus）說，畢達(dá)哥拉斯創(chuàng)立了純數(shù)學(xué)，把它變成一門高尚的藝術(shù)。

2、萬物皆數(shù)

在畢達(dá)哥拉斯學(xué)派看來，數(shù)為宇宙提供了一個(gè)概念模型，數(shù)量和形狀決定一切自然物體的形式，數(shù)不但有量的多寡，而且也具有幾何形狀。在這個(gè)意義上，他們把數(shù)理解為自然物體的形式和形象，是一切事物的總根源。因?yàn)橛辛藬?shù)，才有幾何學(xué)上的點(diǎn)，有了點(diǎn)才有線、面和立體，有了立體才有火、氣、水、土這四種元素，從而構(gòu)成萬物，所以數(shù)在物之先。自然界的一切現(xiàn)象和規(guī)律都是由數(shù)決定的，都必須服從“數(shù)的和諧”，即服從數(shù)的關(guān)系。

他們賦予數(shù)字不同的含義和神秘主義的宗教色彩：

“1”是數(shù)的第一原則，萬物之母，也是智慧；

“2”是對(duì)立和否定的原則，是意見；

“3”是萬物的形體和形式；

“4”是正義，是宇宙創(chuàng)造者的象征；

“5”是奇數(shù)和偶數(shù)，雄性與雌性和結(jié)合，也是婚姻；

“6”是神的生命，是靈魂；

“7”是機(jī)會(huì)；

“8”是和諧，也是愛情和友誼；

“9”是理性和強(qiáng)大；

“10”包容了一切數(shù)目，是完滿和美好。

后世學(xué)者曾對(duì)算術(shù)、幾何、音樂、天文四大領(lǐng)域在畢達(dá)哥拉斯學(xué)說中的地位作過有趣的概括：算術(shù)是數(shù)的本身，幾何是空間中的數(shù)，音樂是時(shí)間上的數(shù)，天文是時(shí)空里的數(shù)。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派徽標(biāo)：圣十(Tetractys)

3、 數(shù)論研究

畢達(dá)哥拉斯對(duì)數(shù)論作了許多研究，將自然數(shù)區(qū)分為奇數(shù)、偶數(shù)、素?cái)?shù)、三角形數(shù)、正方形數(shù)（平方數(shù)）、多角數(shù)、完全數(shù)和親和數(shù)等。

1，3，6，10這些數(shù)叫三角形數(shù)，因?yàn)橄鄳?yīng)的點(diǎn)子能排列成正三角形（上圖）。第四個(gè)三角形數(shù)10特別使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派神往，因?yàn)榇硗隄M和美好。并且這個(gè)三角形的每邊有4點(diǎn)，而4代表正義。他們認(rèn)識(shí)到1，1+2，1+2+3等這些和數(shù)都是三角形數(shù)，并且知道：1+2+...+n=n（n+1）/2。

1，4，9，16這些數(shù)他們稱之為正方形數(shù)（下圖），因?yàn)橛命c(diǎn)表示時(shí)可以排成正方形。合數(shù)中凡不恰好是正方形數(shù)的，叫做長(zhǎng)方形數(shù)。相鄰兩個(gè)三角數(shù)之和是正方形數(shù)，即：

n（n+1）/2+（n+1）（n+2）/2=（n+1）2

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派再用下圖所示方案從一個(gè)正方形數(shù)得出下一個(gè)正方形數(shù)，即：

n2+（2n+1）=（n+1）2

也意味著：1+3+5+...+（2n-1）=n2 。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派還研究多角數(shù)，如五邊形數(shù)、六邊形數(shù)和其它多邊形數(shù)。從下圖可知，第n個(gè)五邊形數(shù)是（3n2-n）/2，第n個(gè)六邊形數(shù)是2n2-n。

若一數(shù)等于它的所有因數(shù)（包括1但不包括自身）之和，則稱之為完全數(shù)，如6，28和496。數(shù)本身大于其因數(shù)之和的叫盈數(shù)，小于其因數(shù)之和的叫虧數(shù)。

【注】直到1952年人們才發(fā)現(xiàn)12個(gè)完全數(shù)。歐幾里德的《原本》第九卷的最后一個(gè)命題是，證明：如果2^n-1是一個(gè)質(zhì)數(shù)，則2^(n-1)·(2^n-1)是一個(gè)完全數(shù)。由這個(gè)公式所給出的完全數(shù)都是偶數(shù)。后來大數(shù)學(xué)家歐拉證明了每一個(gè)偶完全數(shù)必定是這種形式的。人們自然會(huì)問，是否還有其他的完全數(shù)？即有沒有奇完全數(shù)？但至今還沒有人能夠回答這個(gè)問題。

若有兩數(shù)彼此等于另一數(shù)的因子之和，則稱這兩數(shù)為親和數(shù)。

【注】220與284是畢達(dá)哥拉斯最早發(fā)現(xiàn)的一對(duì)親和數(shù)，同時(shí)也是最小的一對(duì)親和數(shù)。1636年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)了第二對(duì)親和數(shù)，它們是17962與18416。兩年后笛卡兒找出了第三對(duì)親和數(shù)9437056和9363584。瑞士的大數(shù)學(xué)家歐拉曾系統(tǒng)地去尋找親和數(shù)，1747年他一下子找出了30對(duì)，3年后他又把親和數(shù)增加到了60對(duì)。令人驚奇的是，除去220與284之外最小的一對(duì)親和數(shù)1184與1210竟然被這些數(shù)學(xué)大師們漏掉了。它被一個(gè)16歲的意大利男孩帕加尼尼在1886年發(fā)現(xiàn)。至今，已經(jīng)知道的親和數(shù)已有1000對(duì)以上。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派還研究了質(zhì)數(shù)、遞進(jìn)數(shù)列，以及他們認(rèn)為美的一些比和比例關(guān)系。一般認(rèn)為，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是西方研究和聲（五度相生律）的始祖。他們發(fā)現(xiàn)弦樂發(fā)出的聲音取決于弦長(zhǎng)，而兩根長(zhǎng)度成整數(shù)比的同質(zhì)料繃緊的弦會(huì)發(fā)出諧音。例如，他們知道截取一根弦的2/3可以得到一個(gè)五度音，截取同一根弦的一半可得到一個(gè)八度音，由此得到一個(gè) “和諧比例”（Harmonic proportion），因?yàn)?:1/2 = (1-2/3):(2/3-1/2)。調(diào)和級(jí)數(shù)的名稱也由此研究而來。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為由太陽、月亮、星辰的軌道和地球的距離之比，分別等于三種協(xié)和的音程，即八度音、五度音、四度音。

4、畢達(dá)哥拉斯定理

該定理早已為巴比倫人所知（在中國(guó)叫勾股定理，由周朝商高提出），不過最早的證明歸功于畢達(dá)哥拉斯。他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。滿足該定理的三個(gè)整數(shù)叫三元組數(shù)。

【故事】相傳畢達(dá)哥拉斯應(yīng)邀到朋友家做客，被地面上的正方形大理石吸引，醉心思考大理石彼此間產(chǎn)生的數(shù)的關(guān)系。他在4塊大理石拼成的大正方上，以每塊大理石的對(duì)角線為邊，畫出一個(gè)新的正方形，發(fā)現(xiàn)這個(gè)正方形的面積正好等于2塊大理石的面積；他又以2塊大理石組成的矩形對(duì)角線為邊，畫成一個(gè)更大的正方形，而這個(gè)正方形正好等于5塊大理石的面積。畢達(dá)哥拉斯定理由此證明。為了慶賀，畢達(dá)哥拉斯宰了一百頭牛，所以也叫百牛定理。

畢達(dá)哥拉斯定理是歐氏幾何的基礎(chǔ)定理，被譽(yù)為“幾何學(xué)的基石”，而且在高等數(shù)學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。它是歷史上第一個(gè)把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來的定理，也是歷史上第—個(gè)給出了完全解答的不定方程，并引出了費(fèi)馬大定理。畢達(dá)哥拉斯定理的證明是論證幾何的發(fā)端，目前有超過500種證明方法。

5、無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)

畢達(dá)哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中的一個(gè)成員希帕索斯（Hippasus）發(fā)現(xiàn)：邊長(zhǎng)為1的正方形其對(duì)角線長(zhǎng)度√2既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個(gè)新數(shù)（無理數(shù)Irrational number，不可公度比）來表示。這直接否定了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條：宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比（可公度比，即有理數(shù)rational number）。就因這一發(fā)現(xiàn)希帕索斯被扔進(jìn)海里淹死了。

無理數(shù)的誕生，并引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。直到1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的

第一次大危機(jī)。

【注】有理數(shù)和無理數(shù)的區(qū)別并非是否“有道理”，而是能否表示為整數(shù)比。rational的詞根是ratio，即比率的意思。

歐幾里得《幾何原本》中提出了一種證明無理數(shù)的經(jīng)典方法（歸謬法，即反證法）：

證明: √2是無理數(shù)

假設(shè)√2不是無理數(shù)

∴√2是有理數(shù)

令√2 =p/q（p、q互質(zhì)且q≠0）

兩邊平方得2=p2/q2

通過移項(xiàng)，得到：2q2=p2

∴p2必為偶數(shù)

∴p必為偶數(shù)

令p=2m

則p2=4m2

∴2q2=4m2

化簡(jiǎn)得q2=2m2

∴q2必為偶數(shù)

∴q必為偶數(shù)

綜上，p和q都是偶數(shù)

∴p、q互質(zhì)，且p、q為偶數(shù)（）

矛盾原假設(shè)不成立

∴√2為無理數(shù)

6、其它幾何學(xué)貢獻(xiàn)

• 三角形內(nèi)角之和等于兩個(gè)直角
• 黃金分割
• 正五角形和相似多邊形的作法
• 平面可被等邊三角形、正方形和正六邊形填滿
• 證明了正多面體只有五種——正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體

7、開創(chuàng)演繹邏輯

畢達(dá)哥拉斯堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)論證必須從“假設(shè)”出發(fā)，從已知的事物開始演繹、推斷，得出新的理論。這種演繹推理的方法對(duì)后來西方哲學(xué)和科學(xué)的發(fā)展起到了很大的影響。

畢達(dá)哥拉斯是歷史上最有趣味而又最難理解的人物之一......簡(jiǎn)單地說來，可以把他描寫成是一種愛因斯坦與艾地夫人（十九世紀(jì)美國(guó)基督教科學(xué)會(huì)的創(chuàng)辦人）的結(jié)合。——羅素