我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過了勾股定理。在國外，尤其在西方，勾股定理通常被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，這是由于，他們認(rèn)為最早發(fā)現(xiàn)直角三角形具有“勾²+股²=弦^2”這一性質(zhì)并且最先給出嚴(yán)格證明的是古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，約公元前580~前500年）。

　　實際上，在更早期的人類活動中，人們就已經(jīng)認(rèn)識到這一定理的某些特例。除我國在公元前1000多年前發(fā)現(xiàn)勾股定理外，據(jù)說古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法則來確定直角。但是，這一傳說引起過許多數(shù)學(xué)史家的懷疑。比如說，美國的數(shù)學(xué)史家M·克萊因教授曾經(jīng)指出：“我們也不知道埃及人是否認(rèn)識到畢達(dá)哥拉斯定理。我們知道他們有拉繩人（測量員），但所傳他們在繩上打結(jié)，把全長分成長度為3、4、5的三段，然后用來形成直角三角形之說，則從未在任何文件上得證實?！辈贿^，考古學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了幾塊大約完成于公元前2000年左右的古巴比倫的泥板書，據(jù)專家們考證，其中一塊上面刻有如下問題：“一根長度為30個單位的棍子直立在墻上，當(dāng)其上端滑下6個單位時，請問其下端離開墻角有多遠(yuǎn)？”這是一個三邊為3:4:5三角形的特殊例子；專家們還發(fā)現(xiàn)，在另一塊泥板上面刻著一個奇特的數(shù)表，表中共刻有四列十五行數(shù)字，這是一個勾股數(shù)表：最左右一列為從1到15的序號，而左邊三列則分別是股、股、弦的數(shù)值，一共記載著15組勾股數(shù)。這說明，勾股定理實際上早進(jìn)入了人類知識的寶庫。

　　無論是古埃及人、古巴比倫人還是我們中國人誰最先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，我們的先人在不同的時期、不同的地點發(fā)現(xiàn)的這同一性質(zhì)，顯然不僅僅是哪一個民族的私有財產(chǎn)而是我們?nèi)祟惖墓餐敻?，值得一提的是：在發(fā)現(xiàn)這一共同性質(zhì)后的收獲卻是不完全相同的。下面以“畢達(dá)哥拉斯定理”和“勾股定理”為例，做一簡單介紹：

一、畢達(dá)哥拉斯定理

　　畢達(dá)哥拉斯是一個古希臘人的名字。生于公元前6世紀(jì)的畢達(dá)哥拉斯，早年曾游歷埃及、巴比倫（另一種說法是到過印度）等地，后來移居意大利半島南部的克羅托內(nèi)，并在那里組織了一個集政治、宗教、數(shù)學(xué)于一體的秘密團(tuán)體--畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，這個學(xué)派非常重視數(shù)學(xué)，企圖用數(shù)來解釋一切。他們宣稱，數(shù)是宇宙萬物的本原，研究數(shù)學(xué)看法的一個重大貢獻(xiàn)是有意識地承認(rèn)并強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)上的東西如數(shù)和圖形是思維的抽象，同實際事物或?qū)嶋H形象是截然不同的。有些原始文明社會中的人（如埃及人和巴比倫人）也知道把數(shù)脫離實物來思考，但他們對這種思考的抽象性質(zhì)所達(dá)到的自覺認(rèn)識程度，與畢達(dá)哥拉斯學(xué)派相比，是有相當(dāng)差距的。而且在希臘人之前，幾何思想是離不開實物的。例如，埃及人認(rèn)為，直線就是拉緊的繩或田地的一條邊；而矩形則是田地的邊界。這個學(xué)派還有一個特點，就是將算術(shù)和幾何緊密聯(lián)系起來。

　　正因為如此，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在他們的探索中，發(fā)現(xiàn)了既屬于算術(shù)又屬于幾何的用三個整數(shù)表示直角三角形邊長的公式：若2n+1，2n²+2n分別是兩直角邊，則斜邊是2n²+2n+1（不過這法則并不能把所有的整勾股數(shù)組表示出來）。也正是由于上述原因，這個學(xué)派通過對整勾股數(shù)的尋找和研究，發(fā)現(xiàn)了所謂的“不可通約量”--例如，等腰直角三角形斜邊與一直角邊之比即正方形對角線與其一邊之比不能用整數(shù)之比表達(dá)。為此，他們把那些能用整數(shù)之比表達(dá)的比稱做“可公度比”，意即相比兩量可用公共度量單位量盡，而把不能這樣表達(dá)的比稱做“不可公度比”。像我們今日寫成√2：1的比便是不可公度比。至于√2與1不能公度的證明也是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派給出的。這個證明指出：若設(shè)等腰直角三角形斜邊能與一直角邊公度，那么，同一個數(shù)將既是奇數(shù)又是偶數(shù)。證明過程如下：設(shè)等腰直角三角形斜邊與一直角邊之比為a：b，并設(shè)這個比已表達(dá)成最小整數(shù)之比。根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理a²=b²+b²，有a²=2b²。由于2b²為偶數(shù)即x²為偶數(shù)，所以a必然也是偶數(shù)，因為任一奇數(shù)的平方必是奇數(shù)（任一奇數(shù)可表示為2n+1，于是（2n+1）²=4n²+4n+1，這仍是一個奇數(shù)。但是比a：b是既約的，因此，b必然不是偶數(shù)而是奇數(shù)，a既然是偶數(shù)，故可設(shè)a=2g。于是a²=4g²=2b²。因此，b²=2g²，這樣，b²是偶數(shù)，于是b也是偶數(shù)，但是b同時又是個奇數(shù)，這就產(chǎn)生了矛盾。

　　關(guān)于對畢達(dá)哥拉斯定理的證明，現(xiàn)在人類保存下來的最早的文字資料是歐幾里得（公元前300年左右）所著的《幾何原本》第一卷中的命題47：“直角三角形斜邊上的正方形等于兩直角邊上的兩個正方形之和”。其證明是用面積來進(jìn)行的。
如下圖，可證

　　　　　　　　△ABD≌△FBC，
　　　　　　　　矩形BL=2△ABD，
　　　　　　　　正方形GB=2△FBC。
　　　　　　　　于是 矩形BL=正方形GB。
　　　　　　　　同樣有 矩形CL=正方形AK。
　　　　　　　　所以 正方形GB+正方形AK=正方形BE。


　　畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對勾股定理的研究及其收獲由此可見一般。實際上，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派關(guān)心得更多的是數(shù)學(xué)問題本身的研究；以畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為代表的古希臘數(shù)學(xué)是以空間形式為主要研究對象，以邏輯上的演繹推理為主要的理論形式。而畢達(dá)哥拉斯定理的發(fā)現(xiàn)（關(guān)于可公度比與不可公度比的研究、討論），實際上導(dǎo)致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，盡管畢達(dá)哥拉斯學(xué)派不愿意接受這樣的數(shù)，并因此造成了數(shù)學(xué)史上所謂的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，但是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的探索仍然是功不可沒的。

二、我國的勾股定理

　　在我國，至今可查的有關(guān)勾股定理的最早記載，是大約公元前1世紀(jì)前后成書的《周髀算經(jīng)》，其中有一段公元前1千多年前的對話：“昔者周公問于商高曰：竊聞乎大夫善數(shù)也，請問古者包犧立周天歷度，夫天不可階而升，地不可得尺寸而度。請問數(shù)安從出？商高曰：數(shù)之法，出于圓方。圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五?！?br>
　　《周髀算經(jīng)》中還有“陳子測日”的記載：根據(jù)勾股定理，周子可以測出日高及日遠(yuǎn)。例如，當(dāng)求得了日高及測得了測量人所在位置到日下點的距離之后，計算日遠(yuǎn)的方法是：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股自乘，并開方而除之，得邪至日者?！?/p>

　　《周髀算經(jīng)》是我國流傳至今的一部最早的數(shù)學(xué)著作。書中主要講述了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法以及用勾股定理來計算高深遠(yuǎn)近和比較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)計算等。在唐代，《周髀算經(jīng)》與其他九部陸續(xù)出現(xiàn)在我國漢唐兩代千余年間的數(shù)學(xué)著作一起，被國子監(jiān)算學(xué)館定為課本，后世通稱這十本書為《算經(jīng)十書》?！端憬?jīng)十書》較全面地反映了自先秦至唐初我國的數(shù)學(xué)成就。其中許多書中都涉及到了勾股定理的內(nèi)容，尤其《九章算術(shù)》（《算經(jīng)十書》之一）第九章“勾股”專門講解有關(guān)直角三角形的理論，所討論的主要內(nèi)容就是勾股定理及其應(yīng)用。該章共有設(shè)問24題，提出22術(shù)，其中第6題是有名?
　　我的的先輩們還根據(jù)勾股定理發(fā)明了一種由互相垂直的勾尺和股尺構(gòu)成的測量工具--矩。如，《周髀算經(jīng)》中記載了商高對用矩之道的論述：“平矩以正繩，偃矩以望高，復(fù)矩以測深，臥矩以知遠(yuǎn)。”又如，我國魏晉間杰出的數(shù)學(xué)家劉徽在他的名著《海島算經(jīng)》（《算經(jīng)十書》之一）中共列出了9個有代表 性的可用矩解決的測望問題，其中第4個問題是：“今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺，從勾端望谷底，入下股九尺一寸，又設(shè)重矩于上，其矩間相去三丈，更從勾端望谷底，入上股八尺五寸，問谷深幾何?！?br>
　　我國最早的關(guān)于勾股定理的證明，目前人們認(rèn)為是漢代趙爽對《周髀算經(jīng)》的注釋。見下圖（勾股圓方圖），圖中的四個直角三角形的面積，加上最小的正方形的面積，等于介于大正方形與小正方形之間的那個正方形的面積。
　　　　即 ，
　　　　化簡得: a²+b²=c²。
　　　　

　　可以看出，我國古代的數(shù)學(xué)與古希臘的數(shù)學(xué)不大一樣，實際上，我國數(shù)學(xué)的主要研究對象不是空間形式，而是數(shù)量關(guān)系；其理論形式不是邏輯演繹體系，而是以題解為中心的算法體系。與古希臘數(shù)學(xué)采取層層論證的思維方式不同，我國古代數(shù)學(xué)家的思維方式是以直覺思維為主，又以類比為發(fā)現(xiàn)和推論結(jié)果的主要手段。

　　對于勾股定理，我國古代的數(shù)學(xué)家沒有把主要精力放在僅僅給嚴(yán)格的邏輯推理證明上，也沒有在不可通約量究竟是什么性質(zhì)的數(shù)上面作文章，而是立足于對由此可以解決的一類實際問題算法的深入研究。通過在直角三角形范圍內(nèi)討論與勾股定理、相似直角三角形性質(zhì)定理有關(guān)的命題，他們推出了一種組合比率算法--勾股術(shù)。勾股術(shù)把相似直角三角形的概念作為基本概念，把相似直角三角形的性質(zhì)作為基本性質(zhì)，使相似直角三角形之間的相似比率構(gòu)成的勾股的核心。勾股術(shù)用比率表達(dá)相似勾股對應(yīng)邊成比例的原理，勾股整數(shù)和勾股兩容（容圓、容方）問題的求解；建立了勾股測量的理論基礎(chǔ)。后來，劉徽實際上把相似勾股形理論確定為勾股比率論，并明確提出了“不失本率原理”，又把這個原理與比例算法結(jié)合起來，去論證各種各樣的勾股測量原理，從而為我國古代的勾股測望術(shù)建立了堅實的理論基礎(chǔ)。

　　有的專家還提出：勾股定理在我國古代數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，千百年來逐漸形成了一門以勾股定理及其應(yīng)用為核心的中國式的幾何學(xué)。