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利用空間向量證明平行與垂直,用向量證明立體幾何問題有兩種思路

 昵稱47813312 2019-08-26

【考試要求】

1.理解直線的方向向量及平面的法向量;

2.能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系;

3.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理;

4.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題;

5.能用向量方法解決點(diǎn)到平面、相互平行的平面的距離問題;

6.并能描述解決夾角和距離的程序,體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用.

【知識(shí)梳理】

1.直線的方向向量和平面的法向量

利用空間向量證明平行與垂直,用向量證明立體幾何問題有兩種思路

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【微點(diǎn)提醒】

1.平面的法向量是非零向量且不唯一.

2.建立空間直角坐標(biāo)系要建立右手直角坐標(biāo)系.

3.線面角θ的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對(duì)值,即sin θ=|cos〈a,n〉|,不要誤記為cos θ=|cos〈a,n〉|.

4.二面角與法向量的夾角:利用平面的法向量求二面角的大小時(shí),當(dāng)求出兩半平面α,β的法向量n1,n2時(shí),要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向,來(lái)確定二面角與向量n1,n2的夾角是相等,還是互補(bǔ).

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【規(guī)律方法】

(1)恰當(dāng)建立坐標(biāo)系,準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo),是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵.

(2)證明直線與平面平行,只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零,或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面,或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行,然后說明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.

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【規(guī)律方法】

(1)利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系,準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.

(2)用向量證明垂直的方法

①線線垂直:證明兩直線所在的方向向量互相垂直,即證它們的數(shù)量積為零.

②線面垂直:證明直線的方向向量與平面的法向量共線,或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示.

③面面垂直:證明兩個(gè)平面的法向量垂直,或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?

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考點(diǎn)三 用空間向量解決有關(guān)位置關(guān)系的探索性問題

角度1 與平行有關(guān)的探索性問題

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【規(guī)律方法】 解決立體幾何中探索性問題的基本方法

(1)通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立),然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理.

(2)探索性問題的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn):①空間中的點(diǎn)可設(shè)為(x,y,z);②坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)其中一個(gè)坐標(biāo)為0,如xOy面上的點(diǎn)為(x,y,0);③坐標(biāo)軸上的點(diǎn)兩個(gè)坐標(biāo)為0,如z軸上的點(diǎn)為(0,0,z);④直線(線段)AB上的點(diǎn)P,可設(shè)為=λ,表示出點(diǎn)P的坐標(biāo),或直接利用向量運(yùn)算.

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【反思與感悟】

1.用向量法解決立體幾何問題,是空間向量的一個(gè)具體應(yīng)用,體現(xiàn)了向量的工具性,這種方法可把復(fù)雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算,降低了空間想象演繹推理的難度,體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想.

2.用向量知識(shí)證明立體幾何問題有兩種基本思路:一種是用向量表示幾何量,利用向量的運(yùn)算進(jìn)行判斷;另一種是用向量的坐標(biāo)表示幾何量,共分三步:(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系,用空間向量(或坐標(biāo))表示問題中所涉及的點(diǎn)、線、面,把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;(2)通過向量運(yùn)算,研究點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系;(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來(lái)解釋相關(guān)問題.

3.用向量的坐標(biāo)法證明幾何問題,建立空間直角坐標(biāo)系是關(guān)鍵,以下三種情況都容易建系:(1)有三條兩兩垂直的直線;(2)有線面垂直;(3)有兩面垂直.

【易錯(cuò)防范】

1.用向量知識(shí)證明立體幾何問題,仍然離不開立體幾何中的定理.如要證明線面平行,只需要證明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,即化歸為證明線線平行,用向量方法證明直線a∥b,只需證明向量a=λb(λ∈R)即可.若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來(lái)證明線面平行,仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外.

2.用向量證明立體幾何問題,寫準(zhǔn)點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵,要充分利用中點(diǎn)、向量共線、向量相等來(lái)確定點(diǎn)的坐標(biāo).

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