湖北陽新縣高級中學      鄒生書

      在立體幾何線線、線面、面面的平行和垂直的證明中，面面垂直是重中之重，是立體幾何考查的重點難點和熱點。本文僅從一個典型題目的解法來管窺立體幾何面面垂直的向量證法，與讀者朋友交流分享。

一、題目與解法

題目：如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，

PC＝2,在四邊形ABCD中,∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，

點M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°的角．

求證：

(1)CM∥平面PAD；

(2)平面PAB⊥平面PAD.

(2)方法一：法向量垂直推出面面垂直

點評：這種方法在建立空間直角坐標系后，分別求出兩個平面的法向量，然后證明這兩個法向量互相垂直即可。方法特點是以算代證，就是運算量有點大，算的多想的少。相反，多思少算。我們可以用面面垂直的判定定理,通過線面垂直來證明面面垂直。思考在其中的一個平面內(nèi)找一條直線與另一個平面垂直，這條直線往往與這兩個平面的交線相關(guān)，由面面垂直的性質(zhì)定理知道，如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)與交線垂直的直線必與另一個平面垂直。兩線垂直問題又常常運用等腰三角形底邊上的中線以是底邊的高來獲得。對于本題在這種思路的引領(lǐng)下我們有如下兩種解法。

方法二：線面垂直推出面面垂直（一）

方法三：線面垂直推出面面垂直（二）

二、配套練習：

如圖所示，已知四棱錐P－ABCD的底面是直角梯形，

∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，

平面PBC⊥底面ABCD.求證：

(1)PA⊥BD；

(2)平面PAD⊥平面PAB.

三、思維升華，方法小結(jié)：

(1)用向量證明平行的方法

①線線平行，只需證明兩直線的方向向量是共線向量．

②線面平行，證明直線的方向向量能用平面的兩個基底表示，或證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．

③面面平行，證明兩平面的法向量是共線向量．

(2)用向量證明垂直的方法

①線線垂直，只需證明兩直線的方向向量互相垂直．

②線面垂直，證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量．

③面面垂直，證明兩平面的法向量互相垂直，或在其中一個平面內(nèi)找一條直線，證明這條直線的方向量與另一個平面垂直.