·極限概念和積分思想

古希臘的阿基米德，對“無窮” 的概念進(jìn)行了許多超前研究，他通過分析幾何物體的不同切面，成功地計(jì)算出物體的面積和體積。例如，他把球體體積看作無窮個(gè)圓的相加，成功地計(jì)算了這個(gè)無窮級數(shù)之和而得出了正確的答案。

比阿基米德還要早上七、八十年，中國春秋戰(zhàn)國時(shí)期的莊子（約前369年—前286年），在其哲學(xué)名著《莊子》中，記載了惠施的一句名言“一尺之錘，日取其半，萬事不竭。”這句話充分體現(xiàn)了中國古代哲人的極限思想。

惠施（約前370年-前310年）是戰(zhàn)國時(shí)期的一位政治家、辯客和哲學(xué)家。莊周和惠施，既是朋友又是對手。他們兩人都博學(xué)多才、犀利無比，經(jīng)常調(diào)侃爭辯、相互挖苦。之間的樁樁趣事，傳為千古佳話。

其中最有趣的是兩人有關(guān)“魚之樂”的對話，令人體會到兩位哲人機(jī)趣橫生的思辨力量。

莊周和惠施，立場觀點(diǎn)不同，氣質(zhì)性格迥異，莊周富于藝術(shù)想象，惠施更重視邏輯辯解。日常生活中，兩人便經(jīng)?；ハ嗵Ц埽M(jìn)行一些無休止的辯論。

據(jù)說有一天，莊子與惠子散步漫游于橋上。

見河中魚兒有感，莊子曰：“水中魚兒從容自在，真是快樂?。　?/span>

惠子立即反駁：“子非魚，安知魚之樂？”

莊子也不甘示弱：“子非我，安知我不知魚之樂？”

惠子又說：“我不是你，自然不了解你；但你也不是魚，一定也是不能了解魚的快樂的！”

莊子仍然要強(qiáng)詞奪理：“你最開頭問我：在哪兒知道魚是快樂的？所以你已經(jīng)知道我知道魚的快樂了！那么現(xiàn)在我來回答你：我是在岸邊知道魚是快樂的?！?/span>

…………

遺憾的是，惠施沒有專門的著作留下來。不過，他的哲學(xué)觀點(diǎn)、邏輯思考、音容笑貌、妙語名言，在莊周所著《莊子》中多有記載和描述。在《莊子-天下篇》中，記載了惠施的20個(gè)著名命題，最后一個(gè)命題便是我們文章開頭所說的“一尺之棰”。該命題的意思是說，一尺長的竿，每天截取一半，一萬年也分截不完！有點(diǎn)類似于有關(guān)“魚之樂”的對話，莊子的目的是：在書中借此命題調(diào)侃惠子并抒發(fā)己意，因此，他比喻說：如果有喜好爭辯的人，用上述命題與提出命題的惠施本人辯論，那么他們的辯論會延續(xù)一輩子沒完沒了！

但從另一方面，惠子這段名言，表明了中國古代哲學(xué)家已經(jīng)具有了“事物無限可分，但又不可窮盡”的極限思想之萌芽。每天被截取一半的竿子會越來越短，長度越來越趨近于零，但又永遠(yuǎn)不會等于零，這正是不可窮盡的極限概念。

古代的數(shù)學(xué)家們，無論是西方還是東方，都將極限概念發(fā)揮用處，用于計(jì)算各種幾何形狀。

圖1：用多邊形來逼近圓周計(jì)算圓周率pi

例如，阿基米德計(jì)算圓的外接多邊形和內(nèi)接多邊形的面積，來逐步逼近圓周率的近似值。當(dāng)多邊形邊數(shù)為96時(shí)，他計(jì)算出的圓周率在3.140845和3.142857之間。阿基米德所使用的“逼近法”和“窮舉法”，其實(shí)就是“微積分”的前身。他用“逼近法”算出球面積、球體積、拋物線和橢圓的面積等。而在使用無窮小量數(shù)學(xué)分析方式的“窮舉法”中，阿基米德認(rèn)為，這種方法可以讓問題的答案達(dá)到任意精確度。

與阿基米德的方法類似，中國古代的劉徽和祖沖之，采用“割圓術(shù)” 來計(jì)算圓周率。所謂“割圓術(shù)”，就是在半徑為R的圓中作圓的內(nèi)接正多邊形。如圖1中所示，從4邊形開始，再畫8邊形，16邊形，32邊形，……這些多邊形的面積分別為A₄、A₈、A₁₆、A₃₂……如果把這個(gè)過程無限次地繼續(xù)下去，當(dāng)多邊形的邊數(shù)n增加時(shí)，面積A_n就有可能精確地逼近圓的面積。

劉徽在割圓術(shù)的計(jì)算中，令所采用的圓的半徑總為 1，這樣使得圓的面積在數(shù)值上就總等于圓周率。劉微由此創(chuàng)立了一種求圓周率的科學(xué)方法。劉徽說：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓和體，而無所失矣”。意思是說，割得越細(xì)，圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，它的面積與圓面積之差就越小。

·古中國的算學(xué)

古中國和古希臘都有某些科學(xué)思想的萌芽，但即使在萌芽階段，也各具不同的特點(diǎn)。特點(diǎn)之一便是科學(xué)家進(jìn)行科學(xué)活動的驅(qū)動力。古希臘科學(xué)家所進(jìn)行的是更為純粹 理性的思考，很少顧及其后果和利益。而古中國科學(xué)活動的驅(qū)動力則顯示更多的功利色彩，所謂“實(shí)用”，也是功利主義的表現(xiàn)。這一特點(diǎn)，在不屬于科學(xué)范疇的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，也有相對應(yīng)的表現(xiàn)。

然而，數(shù)學(xué)畢竟是既迷人又有趣的思維活動，且中國古代數(shù)學(xué)家很多是屬于士大夫之類有閑階層。因此，中國古代數(shù)學(xué)的研究也不會完全是被“實(shí)用”目的所驅(qū)使，而很多是出自于對完美的追求和對研究的興趣。例如，祖沖之曾經(jīng)計(jì)算圓周率，一直精確到8位有效數(shù)字！這在當(dāng)時(shí)看起來，應(yīng)該不見得有多少實(shí)用價(jià)值。

我們無法得知古代數(shù)學(xué)家的主觀愿望，但由于中國封建社會的客觀現(xiàn)實(shí)，中國人腦海中根深蒂固的“學(xué)以致用”的傳統(tǒng)觀念，使得中國古代數(shù)學(xué)中仍然呈現(xiàn) “實(shí)用為目標(biāo)，計(jì)算為中心” 的特點(diǎn)。

以《九章算術(shù)》為例可見一斑。所謂“九章”，指的是九個(gè)分類標(biāo)題：方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股。其中不少題目都是直接取自于實(shí)際生活的具體場景。例如，“方田”是有關(guān)田畝面積，“粟米”有關(guān)糧食交易，“衰分”關(guān)于分配比例， “商功”關(guān)于工程，“均輸” 有關(guān)稅收，等等?？梢娊鉀Q實(shí)際問題是此書之主要目標(biāo)。

而究其具體內(nèi)容，《九章算術(shù)》處理計(jì)算了大量復(fù)雜的問題。前面所列的九個(gè)分類中，包括了246個(gè)問題，以及202“術(shù)”。其中有多種幾何圖形（如線型和圓型圖形）的體積算法、面積算法等；有開平方術(shù)、開立方術(shù)；二項(xiàng)二次、二項(xiàng)三次等方程的解法；還有應(yīng)用勾股定理解決問題的各種算法等等。從這些例子可看出其以計(jì)算為中心的特點(diǎn)。

中國古代數(shù)學(xué)中并非完全沒有理論，反之，有很多密切聯(lián)系實(shí)際的理論。特別是有不少與算法相關(guān)的推理、證明、及理論。中國古代的許多算法，稍加改變就可以用到現(xiàn)代的電子計(jì)算機(jī)上。這也是為什么將其稱之為“算學(xué)”的原因。

現(xiàn)代計(jì)算機(jī)中使用的二進(jìn)位制思想，也據(jù)說起源于《周易》（也叫易經(jīng)）中的八卦法，早于德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲2000多年。

務(wù)實(shí)的觀點(diǎn)造就了古中國的算學(xué)，使其具有獨(dú)創(chuàng)性，自成一個(gè)完整體系，可總結(jié)如下三大特色。

實(shí)用性：其計(jì)算問題大部分都取材于天文、歷法、農(nóng)業(yè)、測量、工程等等實(shí)用領(lǐng)域。

機(jī)械化：朝適用于某些機(jī)械運(yùn)算的方向發(fā)展，以便可以使用算籌、算盤等為工具來實(shí)現(xiàn)運(yùn)算。例如，算盤就是當(dāng)時(shí)的計(jì)算機(jī)，珠算口訣就是計(jì)算程序。

代數(shù)化：將實(shí)用問題（包括幾何問題）轉(zhuǎn)化為方程組，然后再轉(zhuǎn)換成刻板的、機(jī)械的、用算具能實(shí)現(xiàn)的程序（例如逐次消元程序）來求解。

圖2：從算盤到計(jì)算機(jī)

中國的算學(xué)當(dāng)時(shí)也影響到一些周邊國家的數(shù)學(xué)發(fā)展，如日本的和算，朝鮮半島的韓算，以及越南、琉球的算學(xué)等等。

中國著名數(shù)學(xué)家吳文俊，早年在拓?fù)鋵W(xué)上作出了奠基性的工作，后來又繼承和發(fā)展了中國古代數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)的算法化思想，專攻幾何定理的機(jī)器證明，在此領(lǐng)域頗有建樹。他認(rèn)為中國古代數(shù)學(xué)有兩大特色：構(gòu)造性與機(jī)械化。構(gòu)造性是指從某些初始對象出發(fā)，通過明確規(guī)定的數(shù)學(xué)操作來展開理論，例如《九章》中的方程術(shù)、開方術(shù)等都是這樣。而機(jī)械化，就是刻板化和規(guī)格化。實(shí)際上，這兩個(gè)特性都有利于解析問題發(fā)展算法，便于使用現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)做數(shù)值計(jì)算。

中國古代數(shù)學(xué)的機(jī)械化思想，與古希臘數(shù)學(xué)中的公理化思想，是數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的兩套馬車，都促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。古希臘數(shù)學(xué)以幾何為主，古中國數(shù)學(xué)多用代數(shù)方法，幾何比代數(shù)更容易公理化，代數(shù)比幾何更容易發(fā)展成機(jī)器使用的算法。幾何直觀形象而易于被眾人接受，代數(shù)在非專業(yè)人士眼中則顯得枯燥?？梢哉f當(dāng)時(shí)的兩者各具優(yōu)缺點(diǎn)。但從歷史發(fā)展之事實(shí)而言，西方的公理化思想很幸運(yùn)，碰到了因工業(yè)革命而誘導(dǎo)出來的“實(shí)踐精神”，與之結(jié)合而最后誕生了現(xiàn)代科學(xué)。然后，科學(xué)技術(shù)的發(fā)展基礎(chǔ)上，人類發(fā)明了現(xiàn)代計(jì)算機(jī)，后又發(fā)展了比當(dāng)年古中國數(shù)學(xué)中的算法高明不知多少倍的各種計(jì)算機(jī)語言和算法。

而代表古中國機(jī)械化數(shù)學(xué)思想的“算學(xué)”，則命運(yùn)不佳，只在算盤這樣的工具上施展功夫，雖然也活蹦亂跳了上千年，但沒有突破難以發(fā)展，最終無法避免被淘汰的命運(yùn)。