【這世界需要的不是反復(fù)倒伏的蘆葦、旗幟和鵝毛，而是一種從最深的根基中長出來的東西。真東西。應(yīng)該向上生長出來。 - 海子 】

2019年3月19日，由丘成桐先生推薦，美國數(shù)學(xué)家卡倫·烏倫貝克教授，獲得了阿貝爾獎。今年是這一獎項首次出現(xiàn)女性得主。在給烏倫貝克的推薦信中，丘先生寫道：“烏倫貝克教授是我們這個時代最杰出的數(shù)學(xué)家之一。她在極小曲面、調(diào)和映射、楊·密爾斯理論、非線性波和可積系統(tǒng)方面做了開創(chuàng)性的工作，這些在過去40年里塑造了幾何分析領(lǐng)域。她的工作對微分幾何、偏微分方程、拓?fù)浜蛿?shù)學(xué)物理都產(chǎn)生了巨大的影響?！?/span>

多年之前，丘先生就給老顧講過烏倫貝克的奇聞軼事：有一次，烏倫貝克和丘先生合作研究K?hler流形上Hermitian-Yang-Mills方程，在關(guān)鍵環(huán)節(jié)上遭遇困難。烏倫貝克將自己反鎖在室內(nèi)，整整一周足不出戶，廢寢忘食，將其一舉攻克。烏倫貝克教授頑強的斗志，昂揚的激情，深厚的功力都令人嘆為觀止。

這里，我們簡單介紹一下曲面調(diào)和映射的幾何分析方法。眾所周知，丘先生追隨陳省身先生學(xué)習(xí)微分幾何，同時和Morrey教授學(xué)習(xí)偏微分方程，然后將這兩大領(lǐng)域相結(jié)合，創(chuàng)立了幾何分析學(xué)派。調(diào)和映射理論完美地體現(xiàn)了幾何分析方法的特點，既依賴于微分幾何的理論，又用到偏微分方程的手法。曲面的調(diào)和映射理論更加豐富，除了需要用到微分幾何和偏微分方程，也需要用到代數(shù)拓?fù)浜凸残螏缀卫碚摗?/span>

在計算機視覺、醫(yī)學(xué)圖像等領(lǐng)域比較不同的幾何形體具有根本的重要性。例如在醫(yī)學(xué)圖像中，病患的組織器官被拍攝下來，得到CT斷層掃描或者核磁共振圖像，有時候器官表面被抽取重建起來，然后和健康的器官進(jìn)行精確的定量比較，從而幫助醫(yī)生進(jìn)行診斷。 例如通過比較大腦皮層曲面，判斷阿茲海默癥；比較膀胱內(nèi)壁，診治膀胱腫瘤等等。這些都?xì)w結(jié)為求取幾何曲面（或者實體）之間的光滑雙射（微分同胚），并且盡量減小幾何畸變，這被稱為是曲面（實體）配準(zhǔn)問題。

圖1. 比較大腦皮層曲面判斷阿茲海默癥。

圖2. 比較膀胱內(nèi)壁，判斷膀胱癌癥。

在醫(yī)學(xué)圖像領(lǐng)域，有兩種比較常見的曲面配準(zhǔn)方法，LDDMM算法和調(diào)和映射算法。LDDMM算法大致思路如下：假設(shè)源曲面和目標(biāo)曲面都嵌入在三維歐氏空間中的單位立方體內(nèi)，我們計算一族單位立方體到自身的微分同胚，這族微分自同胚將源曲面同倫（同痕）變換成目標(biāo)曲面。微分自同胚族由單位立方體中的時變光滑矢量場所決定，光滑矢量場的計算歸結(jié)為一個變分問題。這種方法為了計算二維曲面間的微分同胚，實際計算了三維立方體之間同痕變換，計算量較大；同時，如果源曲面和目標(biāo)曲面彼此拓?fù)涞葍r，但是并不同痕等價（即存在同倫變換，并且每一步都是嵌入），LDDMM方法無法得到微分同胚。相反的，調(diào)和映射方法只在二維曲面上進(jìn)行計算，同時保證幾何畸變最??；更進(jìn)一步，調(diào)和映射方法是內(nèi)蘊的，只需要黎曼度量信息，對于拓?fù)渫?、但是非同痕等價曲面也可以算出微分同胚。

目前醫(yī)學(xué)圖像領(lǐng)域調(diào)和映射方法不似LDDMM方法普遍，一方面有LDDMM提出較早的歷史原因，另一方面也有調(diào)和映射理論較為艱深的學(xué)術(shù)原因。但是，對于蓬勃發(fā)展的醫(yī)學(xué)圖像工業(yè)而言，調(diào)和映射方法高效新穎，完備高效，會有異軍突起的潛力?？梢源竽戭A(yù)言，調(diào)和映射方法將挑起醫(yī)學(xué)圖像領(lǐng)域幾何配準(zhǔn)算法的半壁江山。

圖3. 動態(tài)人臉表情捕捉。

計算機視覺領(lǐng)域中三維人臉識別，動漫動畫工業(yè)中動態(tài)表情捕捉也依賴于曲面之間的微分同胚，最終歸結(jié)為曲面之間的調(diào)和映射。在工程領(lǐng)域調(diào)和映射的算法被日益推廣，調(diào)和映射的理論日益被重視起來。丘先生和烏倫貝克教授數(shù)十年前的工作為此奠定了堅實的基礎(chǔ)。

我們考慮帶有黎曼度量的可定向曲面, 陳省身先生曾經(jīng)證明局部等溫坐標(biāo)的存在性，，這里是曲面的局部坐標(biāo)，不同的等溫坐標(biāo)間的變換映射為雙全純復(fù)值函數(shù)，所有的等溫坐標(biāo)系構(gòu)成曲面的共形結(jié)構(gòu)，曲面為黎曼面。曲面上的一條曲線為，曲線長度的能量為

,

 長度能量極值者被稱為是測地線，測地線的歐拉-拉格朗日方程為

。

調(diào)和映射是測地線的高維推廣。假設(shè)源曲面和目標(biāo)曲面是拓?fù)涞葍r的具有黎曼度量的可定向曲面，和，不妨設(shè)：，，曲面之間的映射為。映射的調(diào)和能量密度定義為

,

曲面的面元為，映射的調(diào)和能量為

。

從定義可以看到，調(diào)和能量只和源曲面的共形結(jié)構(gòu)有關(guān)，和共形等價的黎曼度量無關(guān)。

調(diào)和映射使調(diào)和能量極小化，如果映射光滑，由變分法得到調(diào)和映射的歐拉-拉格朗日方程：

。

如果我們減弱映射的光滑性，那么弱調(diào)和映射滿足條件：

。

烏倫貝克給出了度量曲面之間調(diào)和映射的存在性證明。我們首先證明弱調(diào)和映射的存在性，然后再證明映射的光滑性；在證明過程中，我們先證明局部解的存在性，然后再推廣到全局解。

圖4. Courant-Lebesgue引理。

首先，Courant-Lebesgue引理用調(diào)和能量控制圓周邊界像點之間的測地距離。令是復(fù)平面上的區(qū)域，是一個帶有黎曼度量的曲面，并且映射屬于索伯列夫空間，，調(diào)和能量有限，。令

，任意，圓盤，那么存在一個常數(shù)使得對一切，

。

圖5. 調(diào)和映射的最大值定理。

令是一個黎曼流形，是嵌套閉集。如果存在光滑映射，限制在上是恒同映射，并且在上距離收縮，那么我們說是一個距離收縮投影。令是一個黎曼流形，帶有邊界，映射，邊界的像，在保持邊界條件的同類映射族中極小化調(diào)和能量，那么極大值定理斷言我們有，即內(nèi)點的像也包含在之中。如果是一個測地圓盤，其半徑滿足

這里是內(nèi)射半徑，是截面曲率，那么極大值定理成立。由Courant-Lebesgue引理和最大值定理，我們可以得到Dirichlet問題有解。

圖6. Dirichlet定理。

Dirichlet定理如下：令N是一個完備黎曼流形，是內(nèi)射半徑，是截面曲率，點，令

假設(shè)連續(xù)映射，可以被擴展成具有有限調(diào)和能量的映射，那么存在調(diào)和映射，具有邊界條件

，并且調(diào)和映射的連續(xù)模由目標(biāo)黎曼流形的內(nèi)射半徑、截面曲率、調(diào)和能量和g的連續(xù)模共同決定。

基于調(diào)和映射的局部存在性定理，Sacks-Uhlenbeck證明了調(diào)和映射的全局存在性定理【1】，丘先生和Schoen也給出了不同的證明【2】。烏倫貝克定理：假設(shè)是具有黎曼度量的緊曲面，，并且，如果存在連續(xù)映射具有有限調(diào)和能量，，那么存在調(diào)和映射，與同倫，滿足邊界條件，并且在此同倫類中極小化調(diào)和能量。

調(diào)和映射的正則性證明是基于經(jīng)典偏微分方程正則性理論：設(shè)給定歐氏空間中的區(qū)域，并且是泊松方程的弱解。如果，這里p大于背景歐氏空間的維數(shù)2，那么；如果，那么。

首先我們假設(shè)目標(biāo)曲面上配有雙曲黎曼度量，令是具有有限調(diào)和能量的弱調(diào)和映射。那么對所有，像點之間的雙曲距離具有估計

。

設(shè)點，在鄰域U中，我們選擇局部共形坐標(biāo)，使得U被表示為圓盤，由存在性證明我們知道映射是連續(xù)映射，其弱導(dǎo)數(shù)可以由極限得到：

由此小節(jié)中的像點雙曲距離估計，我們得到此極限有上界，即。由于為弱調(diào)和映射，在弱意義下滿足條件:

,

由弱導(dǎo)數(shù)模的估計，我們得到等式右側(cè)屬于，由此我們得到映射u具有赫德爾連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，即。因為，上式右側(cè)赫德爾連續(xù)，屬于，因而u具有赫德爾連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，即。如此重復(fù)，我們得到映射無窮階光滑。

假設(shè)目標(biāo)曲面的黎曼度量誘導(dǎo)負(fù)曲率，那么給定曲面上任意兩點，則在每一個聯(lián)結(jié)這兩個點的道路同倫類中，存在唯一的測地線。假設(shè)光滑映射，其變分為，即

為光滑同倫變換。我們得到調(diào)和能量的函數(shù)。如果固定任意一點，是測地線，那么調(diào)和能量函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為正，即為嚴(yán)格凸函數(shù)：

如果存在彼此同倫的調(diào)和映射，我們構(gòu)造聯(lián)結(jié)它們的同倫，并且對于任意的，

是測地線。調(diào)和能量為嚴(yán)格凸函數(shù)，并且在起點和終點處取到極值，即起點和終點處的一階導(dǎo)數(shù)為0，這和的嚴(yán)格凸性相矛盾。因此假設(shè)錯誤，在同一映射同倫類中，調(diào)和映射唯一。

這里，我們假設(shè)目標(biāo)曲面處處具有嚴(yán)格負(fù)曲率。如果目標(biāo)曲面曲率時正時負(fù)，那么有可能同一同倫類中，調(diào)和映射不唯一。

在度量曲面上成立Bochner公式，首先我們定義輔助函數(shù)：

如果曲面之間的映射為調(diào)和映射，那么我們有Bochner公式，

這一公式可以用于證明曲面間調(diào)和映射的拓?fù)浼s束：

即曲面的歐拉示性數(shù)、曲面調(diào)和映射度和H零點階之和滿足的關(guān)系。輔助函數(shù)之差給出了映射的雅可比矩陣的行列式（Jacobian），

如果目標(biāo)曲率非正，存在區(qū)域B使得上式為負(fù)，我們得到下調(diào)和函數(shù)（subharmonic function）：

在B內(nèi)為正，在邊界上為0。這與下調(diào)和函數(shù)的極大值原理相矛盾，由此B必為空集，即雅可比行列式恒正。

由此我們可以證明：如果源曲面和目標(biāo)曲面是虧格相同的緊黎曼面，目標(biāo)曲面上高斯曲率非正，拓?fù)涠葹橐坏恼{(diào)和映射必為微分同胚。

曲面間的映射為共形映射，如果對于任意的局部等溫坐標(biāo)，我們都有。共形映射必為調(diào)和映射，但是調(diào)和映射可能并非共形映射，這兩者之間具有微妙的差別。理論上，這一差別可以由Hopf微分來刻畫。映射的Hopf微分定義為：

.

曲面間的映射是調(diào)和的，當(dāng)且僅當(dāng)其對應(yīng)的Hopf微分為全純二次微分；曲面間的映射是共形的，當(dāng)且僅當(dāng)其對應(yīng)的Hopf微分為0。

圖3. 曲面調(diào)和映射的計算實例。

由經(jīng)典的黎曼-羅赫定理，虧格為g的緊黎曼面上的所有全純二次微分構(gòu)成一個線性空間：虧格為0時，全純二次微分空間維度為0；虧格為1時，此空間維數(shù)為復(fù)1維；虧格大于1時，此空間維數(shù)維復(fù)的3g-3維。

由此，虧格為0的緊黎曼面之間的調(diào)和映射必為共形映射。圖3顯示了一個拓?fù)淝蛎娴絾挝磺蛎娴恼{(diào)和映射，也是共形映射。

從應(yīng)用角度而言，調(diào)和映射理論在醫(yī)學(xué)圖像領(lǐng)域具有根本的重要性，目前由于其理論基礎(chǔ)較為艱深，尚未普及。未來普及之后必會為增進(jìn)人類健康做出杰出貢獻(xiàn)。

從計算機實現(xiàn)方面而言，曲面由三角網(wǎng)格表示，用半邊數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。調(diào)和映射算法是基于調(diào)和映射的均值定理：每一個頂點的像等于與這一頂點相鄰的所有頂點的像的加權(quán)重心。加權(quán)平均算子在曲面的切空間中操作，曲面和切平面之間的變換由測地指數(shù)映射實現(xiàn)。同時，目標(biāo)曲面的黎曼度量需要被更改為負(fù)曲率度量，這可以由離散曲面的黎奇流算法來實現(xiàn)。

從理論角度講，調(diào)和映射理論完美地體現(xiàn)了幾何分析的手法特點：將微分幾何和偏微分方程理論有機結(jié)合。曲面間調(diào)和映射的理論揭示了黎曼度量對于映射性質(zhì)的本質(zhì)決定作用，映射的正則性、唯一性和微分同胚性質(zhì)都強烈依賴于高斯曲率；調(diào)和映射的存在性，和共形映射的區(qū)別取決于曲面的拓?fù)湫再|(zhì)。這一理論將偏微分方程、代數(shù)拓?fù)浜屠杪鼛缀蜗嘟Y(jié)合，非常優(yōu)美而富有詩意。

但是，人類社會的精細(xì)分工使得計算機工程師無法領(lǐng)略幾何理論的深邃優(yōu)美。在醫(yī)學(xué)圖像領(lǐng)域、計算機視覺領(lǐng)域，基于調(diào)和映射的工程論文汗牛充棟，但是絕不會有人引述烏倫貝克和丘先生的理論文章。大量的工程醫(yī)學(xué)應(yīng)用都是基于他們提出的理論，這些基礎(chǔ)性的工作早已融入到現(xiàn)代文明之中。十?dāng)?shù)年來，老顧在世界各地講學(xué)，深深體會到了老歐洲對于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)發(fā)自內(nèi)心的尊重，也體會到美國文化的重商主義。

生平中，老顧遇到過很多計算機領(lǐng)域的博士，他們不滿足于從工程角度出發(fā)的唯象直觀解釋，希望從更深的層次透徹理解算法背后的自然原理。有一次，老顧在清華講解曲線測地流算法，一位計算機科學(xué)背景的博士生課后追問細(xì)節(jié)，很快老顧就發(fā)現(xiàn)他早就明瞭所有算法細(xì)節(jié)，實際上是在微分幾何層面上窮根溯源。這需要索伯列夫空間的緊性和測地流方程演化中各種幾何量的估計。他的思索超越了計算機科學(xué)的知識結(jié)構(gòu)，但是周遭的環(huán)境對于他的深刻給與了冷嘲熱諷，這令他迷茫落寞。曾經(jīng)身邊有過一位學(xué)生，在獲得計算機博士學(xué)位的同時也得到優(yōu)渥的工作崗位，但他卻痛哭不已。他向老顧傾述，雖然得到了世俗意義上的成功，但他內(nèi)心深知他所掌握的工程技能無法解答那些深刻的自然問題。他悲嘆與童年夢想漸行漸遠(yuǎn)。

對于這些年輕人，老顧內(nèi)心充滿敬意。他們真誠面對自己的內(nèi)心，沒有盲從流行觀點，沒有畏懼探索真理的艱辛，對自然保持著純真的好奇。從他們身上，老顧看到了人類文明發(fā)展的源動力。老顧也衷心希望，更多的年輕人能夠志存高遠(yuǎn)，像丘成桐先生和烏倫貝克一樣，憑借光輝的思想而留名青史！

1. Sacks, J. and K. Uhlenbeck, The Existence of Minimal Immesions of 2-Spheres, Ann. Math. 113 (1981), 1 -24

2. Schoen, R., and S. T. Yau, Existence of Incompressible Minimal
   Surfaces and the Topology of Three Dimensional Manifolds
   with Non-Negative Scalar Curvature, Ann. Math. 110 (1979),
   127 -142