上次課程，我們講解了拓撲圓盤間的調(diào)和映照。這次，我們討論拓撲球面間的調(diào)和映照。

圖1. 共形腦圖。

拓撲球面間的調(diào)和映照在醫(yī)學(xué)圖像領(lǐng)域被頻繁使用，特別是構(gòu)造大腦皮層曲面到單位球面間的映射，我們稱之為“共形腦圖”，如圖1所示。

圖2. 拓撲球面間的調(diào)和映射。

外蘊方法 我們將目標(biāo)曲面單位球面嵌在三維歐式空間中，這樣曲面間的映射可以被表示成從源曲面到三維歐式空間的映射，并且像集被限制在單位球面上，

進一步，這一映射由三個坐標(biāo)函數(shù)來表示，

映射的拉普拉斯由坐標(biāo)函數(shù)的拉普拉斯給出，

傳統(tǒng)的熱流方法將一個函數(shù)經(jīng)過“熱力學(xué)擴散”成一個調(diào)和函數(shù)，使得其調(diào)和能量隨時間單調(diào)下降：

但是，在我們目前的情況下，映射的像被限制在單位球面上，因此每一點的像只能沿著單位球面的切方向移動，而無法沿著球面的法方向移動。因此，我們需要將傳統(tǒng)的熱流方法修改成非線性熱流：

這里等式右側(cè)是映射拉普拉斯的切向分量，

這樣我們可以保證對任意時間和任意點，映射像一直在單位球面上，

由此可見，所謂的“非線性”是指在每一點，每一步我們都需要向切空間投影，因此能量泛函的歐拉-拉格朗日方程不是線性偏微分方程，其離散化的近似不是線性方程組：

非線性熱流方法可以確保映射的調(diào)和能量單調(diào)遞降，但是由于調(diào)和映射不唯一，計算并不穩(wěn)定，我們需要添加更多的條件來確保解的唯一性。事實上，如果存在兩個映射都是調(diào)和映射，則它們彼此相差一個球面到自身的共形變換。首先，我們用球極投影將球面映到擴展復(fù)平面上，

圖4. 球極投影。

如圖4所示，我們在單位球的北極放置一盞燈，從北極發(fā)射的光線將球面上所有點映到過南極的切平面上，同時將北極點映成無窮遠點。直接計算表明，球極投影是共形映射。擴展復(fù)平面到自身的所有共形變換構(gòu)成所謂的莫比烏斯變換群，每一個自映射都具有如下形式：

如果存在兩個調(diào)和映射，則它們相差一個莫比烏斯變換：

為了去掉莫比烏斯變換群帶來的歧義性，我們添加一些歸一化條件，例如我們要求映射滿足

這個限制去掉了3個自由度，余下的莫比烏斯變換是單位球面到自身的旋轉(zhuǎn)。非線性熱流方法是穩(wěn)定的，不會誘發(fā)旋轉(zhuǎn)，因此這一歸一化條件足夠確保調(diào)和映射解的唯一性。

非線性熱流方法將一個初始映射“擴散”成一個調(diào)和映射，那么我們?nèi)绾芜x取初始映射？理論上，任何一個映射度為1的映射都可以，例如最為常見的高斯映射。但在實踐中，光滑曲面被離散的多面體網(wǎng)格所逼近，優(yōu)化過程有可能落入局部最優(yōu)的陷阱。一種有效的避免局部最優(yōu)陷阱的方法如下：我們將源曲面一分為二，將每一半用拓撲圓盤的調(diào)和映射映到單位圓盤，并且邊界映射相互一致。然后我們用球極投影將兩個單位圓盤映到上半球面和下半球面，如此得到曲面到單位球面的初始映射。然后，我們再用非線性熱流方法將初始映射進一步擴散。

內(nèi)蘊法 內(nèi)蘊方法只需要曲面的黎曼度量，不需要曲面在歐式空間中的等距嵌入。外蘊法引導(dǎo)我們得到計算方法，內(nèi)蘊法使我們能夠洞察調(diào)和映射更為深刻的性質(zhì)。假設(shè)曲面間的映射給定，我們?nèi)∏娴牡葴刈鴺?biāo)：

我們記

映射的調(diào)和能量密度為

映射的調(diào)和能量為

由此，我們可以看到調(diào)和能量只和源曲面的共形結(jié)構(gòu)有關(guān)，和具體的共形黎曼度量無關(guān)。

進一步，我們得到調(diào)和能量的歐拉-拉格朗日為

從而，內(nèi)蘊的非線性熱流方程為

圖5. 調(diào)和映射

圖6. 共形映射

通常情況下，共形映射一定是調(diào)和的，調(diào)和映射不一定是共形的。在上圖情形，當(dāng)我們固定邊界映射，優(yōu)化調(diào)和能量，我們得到調(diào)和映射。如果，我們放開邊界，令邊界的像在單位圓上可以自由滑動，從而進一步減小調(diào)和能量，則我們得到共形映射。換言之，共形映射是所有調(diào)和映射中調(diào)和能量最小者。

但是，對于球面而言，拓撲球面間的調(diào)和映射一定是共形的。直觀來說，拓撲球面間的映射可以在球面上自由滑動，從而使調(diào)和能量無障礙地達到最優(yōu)，從而得到共形映射。下面，我們將這一直覺述諸嚴格的證明。我們定義曲面間映射所誘導(dǎo)的二次微分，霍普夫微分：

我們可以證明，如果霍普夫微分全純，則映射必為調(diào)和；如果霍普夫微分為0，則映射必為共形。

曲面上所有的全純二次微分構(gòu)成一個群，根據(jù)黎曼-羅赫定理，虧格為g>1的曲面，這個群的維數(shù)為6g-6。黎曼-羅赫定理是指標(biāo)定理的特殊形式，本質(zhì)上是說流形上橢圓型偏微分方程解的空間維數(shù)被流形拓撲決定。

拓撲球面上所有的全純二次微分必然為0。假如球面上存在一個全純二次微分，那么它誘導(dǎo)一個帶有奇異點的平直度量，奇異點對應(yīng)著全純二次微分的零點，因此奇異點處的曲率測度為-180度。根據(jù)高斯博內(nèi)定理，總曲率等于球面的歐拉示性數(shù)乘以360度，從而奇異點的個數(shù)為0，全純二次微分沒有零點。我們能夠取其平方根的一個分支，得到一個全純1-形式。球面上的全純1-形式的實部為調(diào)和1-形式。因為球面的一階上同調(diào)群為0，所以調(diào)和1-形式必為0，進而全純二次微分必為0。

因此，拓撲球面間的所有的調(diào)和映射，其霍普夫微分為全純二次微分，必然為0。我們得到拓撲球面間的所有調(diào)和映射必為共形映射。

我們直接計算調(diào)和能量：

這里雅克比矩陣

因此我們得到

這里

是映射誘導(dǎo)的Beltrami系數(shù)， 

是映射的伸縮商。

圖2. Beltrami系數(shù)和伸縮商的幾何意義。

我們考察從人臉曲面到平面單位圓盤的映射，如圖2所示，映射將曲面上的無窮小橢圓映到平面的無窮小圓。無窮小橢圓的偏心率，就是伸縮商K，偏心率和橢圓長軸方向構(gòu)成了Beltrami系數(shù)。從上面的推導(dǎo)我們可以看出，調(diào)和能量的下界等于目標(biāo)曲面的面積；當(dāng)所有的伸縮商K都是1時，調(diào)和能量的下界能夠被達到，這時，映射為共形映射。

換言之，在所有可能的調(diào)和映射中，如果存在共形映射，則共形映射的調(diào)和能量達到全局最優(yōu)。

當(dāng)映射為調(diào)和映射時，其像為閉測地線。如果目標(biāo)曲面的曲率有正有負，那么在同一同倫類中，測地線并不唯一。如果目標(biāo)曲面的曲率處處為負，那么同倫的測地線一定重合。直觀上講，假如曲面上有兩條彼此同倫的閉測地線，它們之間的同倫在曲面上掃過一個拓撲圓柱面。根據(jù)高斯-博內(nèi)定理，我們有

等式左邊，因為圓柱面的邊界為測地線，所有第二項為0，第一項非正。等式右邊為0，所以第一項為0，圓柱面面積為0。兩條測地線彼此重合。

封閉曲面間的調(diào)和映射，如果目標(biāo)曲面上的高斯曲率處處為負，且M在N上的像不是一條閉測地線，則同倫的調(diào)和映射必然重合。一種想法是基于調(diào)和能量的凸性，設(shè)定二階光滑同倫連接著兩個調(diào)和映射，

我們計算調(diào)和能量的二階導(dǎo)數(shù)

這里切矢量場定義為

拉回聯(lián)絡(luò)算子，源曲面上的標(biāo)準(zhǔn)正交基底和高斯曲率分別為

我們選取測地同倫，亦即

為測地線，那么最后一項恒為0，因為

因此調(diào)和能量的二階導(dǎo)數(shù)恒正，調(diào)和能量為嚴格凸。 同時在時間為0和1點處，映射為調(diào)和映射，調(diào)和能量關(guān)于時間的一階導(dǎo)數(shù)為0，由此我們有并進一步我們得到V必然處處為0，因此起始和終點處的調(diào)和映射重合。

我們首先定義兩個輔助函數(shù)

那么，映射的雅克比行列式為

對于調(diào)和映射，我們得到Bochner公式

調(diào)和映射誘導(dǎo)的輔助函數(shù)的零點是孤立零點，我們可以定義零點的階數(shù)。

如果輔助函數(shù)不恒為0，那么輔助函數(shù)零點的總階數(shù)和曲面的拓撲及映射的映射度之間有著整體的關(guān)系

由此，我們能夠在特定條件下，討論調(diào)和映射的存在性。例如，不存在從拓撲環(huán)面到拓撲球面，度為一的調(diào)和映射。

如果調(diào)和映射存在，并且非共形，那么零點的總階數(shù)應(yīng)該非負，

矛盾。因此調(diào)和映射必然為共形映射，進一步映射必為分支覆蓋映射。因為映射的度為1，所以映射為同胚。但是我們知道拓撲環(huán)面和拓撲球面之間不存在同胚，矛盾。由此，拓撲環(huán)面和拓撲球面之間不存在度為1的調(diào)和映射。

我們用反證法給出簡略證明。假設(shè)在某一內(nèi)點，雅克比行列式為負，因此區(qū)域

非空。研究函數(shù)

則它在D的邊界上為0， 在D的內(nèi)部處處為負，因此函數(shù)

為上調(diào)和函數(shù)(super harmonic), 在D的內(nèi)部處處為正，那么雅克比行列式

在D的內(nèi)部處處為正，這和D的定義相矛盾。

References

1. Xianfeng Gu, Yalin Wang, Tony F. Chan, Paul M. Thompson and Shing-Tung Yau. Genus Zero Surface Conformal Mapping and Its Application to Brain Surface Mapping. IEEE Transaction on Medical Imaging (TMI), 23(8):949-958, August 2004.

2. Craig Gotsman, Xianfeng Gu and Alla Sheffer. Fundamentals of Spherical Parameterization for 3D Meshes. ACM Transaction on Graphics (TOG), 22(3):358-363,2003.