基本上任何的科學(xué)理論（應(yīng)該要去掉廣義相對論）的建立都不會是從天而降，而是慢慢的匯集才會逐步完善。在這個漫長的過程，要經(jīng)過許許多多的人的奉獻才能獲得成功。

15世紀，因為三次四次方程的公式解的確立，使人們越來越注意到，許多負數(shù)的開平方應(yīng)該也是可能的，如果解方程的時候人為地舍棄了那些看起來“毫無意義”的根會讓整個解方程的理論變得支離破碎。到了16世紀，人們已經(jīng)普遍認可了虛數(shù)的存在，認為在某種情況下的負數(shù)開平方也是可以的。于是數(shù)的概念就上升到了復(fù)數(shù)，這是一個比之前實數(shù)集更加寬廣的研究海洋。人們開始把之前用在實數(shù)領(lǐng)域的公式擴展到了復(fù)數(shù)域，包括三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等等。一直到歐拉這里，人們開始真正了解這個復(fù)數(shù)。

1740年，歐拉發(fā)現(xiàn)有一個微分方程可以有兩種完全不同的解的形式：

他把這個發(fā)現(xiàn)寫信告訴了自己的老師約翰·伯努利。

我們將這兩個風(fēng)格迥異的解代入這個微分方程很容易驗證這是對的。我們現(xiàn)在清楚這里究竟是怎么回事，但是當時的歐拉覺得很詫異，因為在當時的數(shù)學(xué)環(huán)境下，實數(shù)域中的指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)之間是很難建立等價關(guān)系的，這樣的式子的確讓人難以接受。歐拉天才般的直覺意識到，這兩個解雖然形式上很不相同，但是內(nèi)在必定存在著某種聯(lián)系，又或者這兩個解壓根就是相等的？

歐拉繼續(xù)研究下去，大約1743年，歐拉又發(fā)現(xiàn)了另外兩個等式：

這個形式從根本上表示了自然指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之間在復(fù)數(shù)域上的深刻關(guān)系。當然i在這個時候還沒被正式啟用，所以就用上圖的定義式表示。歐拉再進一步，終于推導(dǎo)出了，我們現(xiàn)在熟悉的歐拉恒等式。

歐拉當年用的什么方法來證明這個式子成立，已經(jīng)沒有資料可考。但是站在現(xiàn)在的數(shù)學(xué)角度上來思考下這個等式成立的原因也是很好的，為了表現(xiàn)直觀性，還是從泰勒展開式來說明。

至此，歐拉完全了解了在復(fù)數(shù)域上自然指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之間的關(guān)系，可想而知，這個公式也即將在數(shù)學(xué)的這兩大領(lǐng)域發(fā)揮重要的作用。1777年，歐拉在遞交給圣彼得堡科學(xué)院的論文《微分公式》里首次發(fā)表了歐拉恒等式，并且第一次使用i作為虛數(shù)的單位，與實數(shù)里的單位1相對應(yīng)。

特別地當恒等式里的x為π時，恒等式就變成一個奇妙無比的等式：

如果一個人不了解這個式子的來源，只是盯著這個式子表面看，都會覺得這里有無窮的奧秘。π，e，i，1，0，這5個數(shù)學(xué)大廈里最基本的元素，怎么會如此和諧地被統(tǒng)一在一個等式里呢？π是幾何學(xué)最重要的常數(shù)，一切和三角函數(shù)相關(guān)的計算都離不開π；e是分析學(xué)的基礎(chǔ)常數(shù)，沒有這個常數(shù)，微積分就無從談起；i是擴展各種計算的金鑰匙，1是數(shù)的領(lǐng)域基本單位，0是所有計算的開始。這個公式把代數(shù)學(xué)，幾何學(xué)，分析學(xué)集中到了一起，充分說明了數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)容高度相關(guān)性，從某個領(lǐng)域出發(fā)可能會去解決另外一個領(lǐng)域毫不相干的問題。就好比黎曼猜想，明明是一個復(fù)數(shù)域猜測零點分布的猜想，結(jié)果卻反而可以得出了數(shù)論中素數(shù)的分布情況，這簡直就是匪夷所思。

人們常常評選十大最美公式，歐拉恒等式和麥克斯韋方程組穩(wěn)居前二。

相傳有一次，俄國葉卡捷琳娜二世厭煩了狄德羅關(guān)于無神論方面的說教，于是安排歐拉去好好懟一下這個老頑固，因為歐拉一生都是一位虔誠的基督徒，篤信上帝。歐拉推開門，直截了當?shù)卣f：“因為e^iπ 1=0，所以上帝存在！”狄德羅啞口無言。

歐拉一生不僅僅在數(shù)學(xué)上成果頗豐，在幾乎各個領(lǐng)域都留下了自己的研究成果，由于歐拉無與倫比的數(shù)學(xué)功力，也讓歐拉在別的領(lǐng)域游刃有余，在力學(xué)，彈道學(xué)，天文學(xué)，建筑學(xué)上都有很深厚的造詣。人們懷念18世紀的歐拉，就像期待未來會出現(xiàn)下一個歐拉一樣。