楊憶鴻   原創(chuàng)

  一、概述     

    歐拉發(fā)表于1748年的數(shù)學(xué)公式e^iX=cosX+isinX，將三角函數(shù)與復(fù)指數(shù)函數(shù)巧妙地關(guān)聯(lián)了起來。歐拉公式被稱為世界上最美的公式， 數(shù)學(xué)家稱它的恒等式e^iπ=-1是“上帝創(chuàng)造”的公式，我們只能看它而不能理解它, 詞條語?？梢哉f歐拉公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到了復(fù)數(shù)域，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”。

    歐拉公式的推導(dǎo)就是用泰勒展開公式，將y=e^(iX)、y=sinx、y=cosx用冪級數(shù)展開，即可得到e^iX=cosX+isinX，常人一般想不到，全世界僅有歐拉能想到，這就是他偉大的地方。但少數(shù)有高數(shù)功底的人對公式的證明有點(diǎn)不服，連我都覺得證明過程有點(diǎn)牽強(qiáng)不嚴(yán)密，虛數(shù)也能象實(shí)數(shù)一樣這么整嗎。 有沒有好的證明方法呢

    二、無需證明

   搜到百度民科貼吧的一個貼子，里面抱怨口氣的幾句話使我豁然開朗，這位不知名的吧主必是一個高數(shù)大神。貼首寫到，用泰勒展開證明歐拉公式完全是耍流氓，要展開首先得要（按數(shù)學(xué)規(guī)矩）定義復(fù)數(shù)的指數(shù)函數(shù)，而如果定義好了復(fù)指數(shù)函數(shù)，歐拉公式就已經(jīng)成立了，就不需要證明了，再用泰勒展開公式來證明就是循環(huán)論證了。

   原來定義一個新類型數(shù)的公式或擴(kuò)充數(shù)的范圍，就必須先有新運(yùn)算符的定義。我們在初中學(xué)習(xí)過冪運(yùn)算a^n，n只是整數(shù)，到了高中，根據(jù)a^n1/a^n2=a^(n1-n2)、a^n1.a^n2=a^(n1+n2)、(a^m)^n=a^mn, 推廣定義了a^0、a^負(fù)數(shù)、a^分?jǐn)?shù)，一下子推廣到了冪為實(shí)數(shù)的情況，這就是數(shù)學(xué)定義的作用。再定義i^2=-1，又產(chǎn)生了虛數(shù)，把數(shù)學(xué)推廣到復(fù)數(shù)。這樣的例子太多，這就說明沒有數(shù)學(xué)定義，是不能把運(yùn)算集擴(kuò)大的。

如果我們連指數(shù)的復(fù)數(shù)冪是什么都沒有定義，擅談什么歐拉公式就象是空中樓閣。與其叫歐拉公式，還不如說它是“歐拉定義”。因?yàn)樗抢冒烟├照归_公式推廣到虛數(shù)參數(shù)，定義了指數(shù)的虛數(shù)冪。為了數(shù)學(xué)的規(guī)律性，當(dāng)然不可隨意定義，定義需要合理性：需把某個公式的參數(shù)范圍擴(kuò)大化定義，泰勒展開公式就是這個虛數(shù)冪定義的工具。

三、推導(dǎo)

既然歐拉公式只是虛數(shù)冪 e^iX的首次定義式，那就無需證明，在新的數(shù)據(jù)域也無法證明。用通俗的話講，歐拉規(guī)定這個式子就是對的。他將泰勒公式擴(kuò)充到虛數(shù)范圍才得到的，全世界都接受了這個天才般的定義。

下面就是e^iX=cosX+isinX這個偉大定義的推導(dǎo)過程，注意這并不叫證明喲：

四、驗(yàn)證

      不需證明可以，除了泰勒公式方法推導(dǎo)外，究竟有沒有另一種驗(yàn)證方法呢，至少得讓我們相信歐拉公式是對的吧。 百度上可搜到兩種方法：積分驗(yàn)證法、導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證法，導(dǎo)數(shù)方法最簡單，但肯定少不了把復(fù)數(shù)函數(shù)類比成實(shí)數(shù)函數(shù)一樣。

      導(dǎo)數(shù)法是用一個函數(shù)f(x)=e^ix/(cosx+isinx), 它的函數(shù)值明顯恒為1。利用(u/v)'=(u'v-uv')/v^2，我們可求出此f(x)的導(dǎo)數(shù)式f'(x)=0，說明連續(xù)函數(shù)f(x)恒為常數(shù)，又f(0)=1, 說明f(x)=1。驗(yàn)證過程并不難，這就不要再懷疑歐拉公式的合理性、正確性了。

    從推導(dǎo)到驗(yàn)證都有了，就算是這個歐拉公式證明問題的終結(jié)吧。