“我有沒病，跟世界人民有毛關系？”人們看到這話，有的覺得是概率問題，有的以為情緒發(fā)泄。同樣的文字有不同的解讀，這取決于你理解的基礎。概率也是這樣，有的認為是實用的利器，有的以為是數(shù)學游戲，之所以這樣，那是你對概率的概念理解不同。初等概率其實很簡單，公式和推理不過是中學數(shù)學，經(jīng)典的例子不外乎扔鋼蹦擲骰子摸彩球。人人讀后都以為懂了，其實很多人考了高分后都沒入門。這篇從概率門前開始介紹。

科學盛行后，大家認為客觀的存在，以前上帝是知道的，現(xiàn)在我們也能確定的學問叫科學。概率應用于這種全能全知的想法之外。張三有沒有病，一盒彩球中我摸到什么色，這確定的事實，是上帝知道我不知道的。但如果我有某些相關的信息，雖然不能以此確定張三的病，球的色，能否以此估計個可能性？認為這工作有意義的，叫這可能性的數(shù)值P為概率。概率P(A)是對事件A發(fā)生可能性估計的一個測度，它是從0到1中的一個實數(shù)值，數(shù)值越大可能性越大。

這個具體的數(shù)值是多少？關系到你對這種“可能性”量度的看法，賭徒是從重復情況發(fā)生頻率的比率來定義的，律師則從對證據(jù)信念的賠率來確定的，你還可以從其他角度來定義這個測度函數(shù)。就是說在原則上，集合中事件A具體的概率測度P(A)可以有不同的定義方法，只要P(A)=0解讀成邏輯上的false，即事件A絕不可能，1解釋成true，即事件A絕對是可能，都可以稱為概率。不管怎么定義的概率，在集合測度的性質下（空集零測，獨立事件概率相加，無窮并集事件的概率半可加性），都滿足一系列的概率關系式，包括貝葉斯公式，這是現(xiàn)代的概率論的提法。

這樣不明確地規(guī)定的概率測度值，在實踐上有什么意義？首先，它們大小的比較，符合人們對可能性比較的認知。這是它有用的基礎。不管你信不信概率，你在日常中無不應用可能性大小的概念，來判斷事件的真實性，以此決定下一步行動。血檢告訴你，不大可能患癌還是很有可能，對你做不做活檢，甚至開不開刀關系重大，概率是通過具體數(shù)值是9%或是90%，更精細地告訴你這個可能性的大小。其次，概率的公式聯(lián)系起不同事件間概率量度的數(shù)值，只要你認可已知的概率，以公式計算出來的概率則是一種同樣可靠的估計，這是數(shù)學證明所保障的，與任何數(shù)學的計算是同一回事。它是在邏輯上保證概率計算是可信的基礎。所以你只要相信概率對實踐有用，你就可以相信貝葉斯公式計算結果對實踐有用，除非你用錯了公式。

既然概率的測度值有不同的定義方法，到底哪種靠譜？歷史上把賭徒的方法稱為客觀概率，或頻率派，律師的方法為主觀概率或貝葉斯派。實際上這些名稱都有誤導，所謂的客觀，隱含著未言明的實驗條件假設，所謂的主觀并非是任性的假設，所謂的貝葉斯派不是別派不信貝葉斯公式，只是它把貝葉斯的理念推往極致。它們之所以靠譜，都是把這種不確定的猜測，以至關身家性命的金錢的賠率和官司的勝負來作賭，這是受到實踐檢驗的。它們定義的概率數(shù)值都與掌握的信息有關。對頻率派來說這個信息越符合實際，它估計的數(shù)值越靠譜，對貝葉斯派來說，這個信息越是具體，推斷也越符合事實。無論如何，當同樣的知識信息被充分正確利用后，這兩個數(shù)值是一致的。

那么“我有沒病，跟世界人民有什么關系？”如果沒有更多信息，只知道統(tǒng)計世界人民有0.1%的人得這病，你就有0.1%的可能性中標，這就是你得病的基礎概率。

不信的人認為這估計沒意義，把張三放在世界人群中考慮，按統(tǒng)計他生x病的概率是0.1%，同一個的他，放在他10個有2個中標的基友中，患病率則是20%. 你說哪個是真正的概率？

這對概率的理解一開始就錯了，沒有什么絕對真理的確定概率，一切的概率都是相對于所知的信息作出的估計。當你只有對世界人群的統(tǒng)計知識，你只能得知0.1%的可能，你有他基友的信息，你就能得知20%的可能。你都有這兩者，心中有數(shù)的就看你怎么用，越是靠近你的實際情況就越精確。不同的已知信息，決定不同的概率值。只要信息是對的。這些不同的數(shù)值都是對的，這可以用統(tǒng)計來驗證它們符合各自的信息。如果信息不盡可信，你又知道這信息可信程度的概率，你也能用概率公式作出進一步的估計。

你可能覺得這很可笑，同一個問題怎么會有兩個不同的正確答案。月薪1萬，你猜他全交給老婆是多少？1萬是已知這信息的答案，如果他還有獎金1千呢？如果他先給了小三2千呢？不同的信息得出不同的猜測數(shù)量，概率值就是對不確定問題，根據(jù)已知的信息作出靠譜的猜測。

那么這是主觀的，不是還有客觀概率？這兩個術語的內涵，很多人也理解錯了，主觀不是我和你想法不一樣，而是強調這概率是由擁有知識而定；客觀不是說沒有你的知曉，這真實可能性也是這個數(shù)，而是說基于默認的一個假設，實驗的結果是這樣的。不存在不依知識而有的客觀估計，客觀概率先驗概率只不過缺省了這些已知知識的假設。平均分布是最簡單而經(jīng)常被確省的假設。這只是一種不言而喻的假設背景知識。你的知識越靠近估計對象的實際情況，你的估計就越精確。如果你什么都不知道，你無法給出任何估計。

當我們有了檢測的信息時，如果我們知道這檢測對事件的敏感度和特異度，就可以把檢測前的事件概率與有了這檢測新信息后的概率，用貝葉斯公式通過檢測的性能聯(lián)系起來。所謂的先驗概率不過是有這新信息前的概率，后驗概率是有了檢測結果這新信息后同一事件更新的概率，前后之說只是相對于這檢測信息而言。這便是一切檢測判斷概率計算的基礎，有了貝葉斯公式我們不必事事再做統(tǒng)計，便能從已知的統(tǒng)計概率中，通過檢測條件和結果的信息更新估計的概率。

在醫(yī)療檢測診斷中，概率的應用很多。這里抄一段我收到的美國血檢陽性后，報告里對患癌的概率數(shù)據(jù)。這是美國醫(yī)生建議50歲以上男性每年常規(guī)PSA檢查的報告。有一些其他檢測陽性結果的報告，也附有這類的概率估計給醫(yī)生和病人參考（在美國，病人與醫(yī)生有同等權利了解自己的健康信息。你年齡段和這次檢測的%fPAS值落入表中哪個區(qū)間，把它看作陽性B的信息，它告訴你這陽性預示的患癌A概率P(A|B).）

In patients with total PSA concentrations of 4-10 ng/ml, the probability of finding prostate cancer on needle biopsy by age in years is:

Other factors may help determine the actual risk of prostate caner in indvidual patients ...... Jerry W. Hussong, MD - Lab. Director

Lab給出的不同情況的陽性患病率表，PSA血檢都用統(tǒng)計得出這12種不同陽性結果的前列腺患癌率不現(xiàn)實。即便你要統(tǒng)計如此，如果你想知道，給不在表中的50歲前男人或女人，用測PSA做初診的患癌率呢？提高機器性能后，你是否還要再做這么多不同群體的統(tǒng)計？實際上只要知道儀器在前列癌對PSA指標的敏感度P(B|A）和特異度P(~B|~A），誰都能用文獻報告中，他所在群體前列腺患癌的統(tǒng)計比率，算出陽性對他檢測預病的準確率。這表中12種情況是Lab這么算來供醫(yī)生和病人參考的。如果不在這表中，你懂得貝葉斯，也不難通過個體所處群體的患癌率，算出這被測出陽性的患病的可能。

在最近美國給醫(yī)生科普“機器學習”的材料中，我不時看到用貝葉斯公式計算，檢測和診斷概率之間關系的內容，醫(yī)生通常自己不算診斷概率，有關資料或實驗室已替他們算好了，科普機器學習的教材通常給他們補一下基本線性代數(shù)和概率的知識。下面是一段用檢測診斷乳腺癌的實例，名為“Bayes' Theoremand Cancer Screening”的較短視頻。

概率是不確定之事發(fā)生可能性估算的學問。信與不信也是各人的認知。只不過世事無常，哪能盡判黑白？估算之技，“知之者勝，不知之者不勝。 ... 多算勝，少算不勝，而況無算乎！”