數(shù)獨(dú)是一種可愛(ài)的益智游戲。它需要你在空格內(nèi)填入1到9的其中任意一個(gè)數(shù)字，使得每一行、每一列以及每一個(gè)正方形的小九宮格內(nèi)的數(shù)字都不能夠有重復(fù)數(shù)字。例如下面三個(gè)盤(pán)面格子（以后均簡(jiǎn)稱(chēng)盤(pán)面）所示，分別是行、列和小九宮格（以后均簡(jiǎn)稱(chēng)為宮）不重復(fù)的情況。

盤(pán)面1到盤(pán)面3



      當(dāng)然，整個(gè)盤(pán)面的每一行、每一列和每一個(gè)宮都得做到像上面三個(gè)圖所示的那樣，不重復(fù)。只要有兩個(gè)數(shù)字相同了，那就一定錯(cuò)了。
數(shù)獨(dú)，顧名思義，數(shù)字的出現(xiàn)必須要“獨(dú)”，也就是不得重復(fù)。但是“獨(dú)”不僅僅只有這個(gè)意思。它還有一“獨(dú)”，是任意合格數(shù)獨(dú)盤(pán)面都只有唯一的一個(gè)答案，這被稱(chēng)為唯一解定理（Unique Law）。說(shuō)白了，每一個(gè)格子都只有唯一的一種填法。這樣，才能真正體現(xiàn)數(shù)獨(dú)的“獨(dú)”的特性。這樣才叫“獨(dú)”之道。
      每一個(gè)數(shù)獨(dú)盤(pán)面最少都得有17個(gè)用于推理解題的提示數(shù)（Hints/Clues），因?yàn)榻?jīng)電腦演算發(fā)現(xiàn)，能夠保證唯一解的數(shù)獨(dú)盤(pán)面至少都得17個(gè)提示數(shù)，但目前暫未發(fā)現(xiàn)其邏輯證明手段。如果提示數(shù)少于17個(gè)的話(huà)，那么它一定是一個(gè)多解題，這樣的題就是不合適的。但是，也并不是隨意寫(xiě)上17個(gè)提示數(shù)，就一定是唯一解的數(shù)獨(dú)題。




在任意一個(gè)數(shù)獨(dú)中，每一行我們記為字母A到I，而每一列我們記為數(shù)字1到9。那么在第3行的第6格我們就會(huì)簡(jiǎn)記為“單元格C6”，而其前面的單元格三個(gè)字可以被省略。

盤(pán)面4




盤(pán)面5


      上面有4個(gè)數(shù)字，那么我們可以將“第5行第5格內(nèi)是數(shù)字1”簡(jiǎn)記做“E5=1”；同理，其他的3格可以記作“A3=9”、“C7=5”和“H7=6”。
      單獨(dú)只說(shuō)第3行的話(huà)，就可以直接記作“行C”，第6列就記作“列6”。如果單元格C7在哪個(gè)宮，則是按照從左到右、從上到下的順序依次排序得到的宮的編號(hào)，如盤(pán)面5所示，A3在宮1，C7在宮3，等等。

       還有一種表示方法。
       我們提到的行、列、宮的概念，它們被統(tǒng)稱(chēng)為單元（Unit）或者區(qū)塊（Region）；而每一個(gè)格子，則都被叫做單元格；另外，盤(pán)面上給出的所有已知數(shù)字，我們都稱(chēng)為“提示數(shù)”。那么，第1行第2格就可以采用“行1列2”的形式表示，并簡(jiǎn)寫(xiě)為“R1C2”；“宮3的單元格C7”可以記作“R3C7（B3）”。其中，R、C、B就分別代表行、列、宮，都是對(duì)應(yīng)英文單詞的縮寫(xiě)。
       這兩種表示方法中，字母C都會(huì)被用到，所以應(yīng)注意區(qū)分：一個(gè)代表第3行，而另一個(gè)則是“列”的簡(jiǎn)稱(chēng)。
       另外，在任意一個(gè)數(shù)獨(dú)盤(pán)面中，每個(gè)單元格都有19個(gè)共軛單元格（Peer）。例如盤(pán)面4內(nèi)的E5，由于它屬于行E、列5和宮5，所以它的共軛單元格有行E的所有單元格、列5的所有單元格和宮5內(nèi)的所有單元格。這樣，就有19個(gè)共軛單元格。這20個(gè)單元格稱(chēng)為數(shù)獨(dú)20格定理（Peers' Law）。


標(biāo)準(zhǔn)數(shù)獨(dú)大體可以分為3個(gè)類(lèi)型。
第1類(lèi)，是可以根據(jù)數(shù)獨(dú)的規(guī)則，直接觀察就可以填入數(shù)字的題目，這一類(lèi)只會(huì)使用到一些簡(jiǎn)單的邏輯推理方法；
第2類(lèi)，是可能不能靠直觀直接填數(shù)，而需要靠一些格子里面可能填入的“候選數(shù)”根據(jù)特定定式推理分析得到的矛盾情況，從而排除部分情況，以這樣的方式完成的題目；
第3類(lèi)，則是根據(jù)定式都沒(méi)法完成的題目，需要自己尋找各個(gè)位置候選數(shù)的信息，根據(jù)邏輯推理，找到一些關(guān)系，從而刪掉一些不可能的情況的題目，但是，與第2種不同的是，它沒(méi)有定式，形狀都是比較靈活的，不容易觀察到。
例如，我用Hodoku打開(kāi)一個(gè)題目，如盤(pán)面6所示。


盤(pán)面6


      這是一個(gè)數(shù)獨(dú)盤(pán)面。每一個(gè)空格子內(nèi)都有很小的灰色數(shù)字（請(qǐng)放大后仔細(xì)觀察——編者注），那個(gè)，我們叫做候選數(shù)（Candidates），它表示在當(dāng)前格子內(nèi)可以填入的所有情況。但是，一般情況下，候選數(shù)都是沒(méi)有標(biāo)注出來(lái)的，這意味著需要自己標(biāo)注。所以這一類(lèi)題目不如第1種題目簡(jiǎn)單。
      另外，紅色數(shù)字表示題目給出的提示數(shù)，黑色數(shù)字為填入的數(shù)字，下面的盤(pán)面將不再解釋。
有了大體的了解后，下面就開(kāi)始技巧講解。


---> 宮摒除法(Blocked Hidden Single)
摒除法是最簡(jiǎn)單、基礎(chǔ)的解題技巧。由于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)獨(dú)的規(guī)則中說(shuō)到“填入數(shù)字使得每一行、每一列以及每一個(gè)宮內(nèi)的數(shù)字均不重復(fù)”，而每行、每列以及每宮都有9個(gè)單元格，而又必須填入1~9這九個(gè)數(shù)字，所以我們就應(yīng)該知道，1~9這9個(gè)數(shù)字，每個(gè)數(shù)字都要出現(xiàn)。正是因?yàn)?~9都要出現(xiàn)，所以我們有了這樣一種技巧。
它被分為兩種類(lèi)型，一種是宮摒除法，另一種是行列摒除法。
宮摒除法是在宮內(nèi)進(jìn)行摒除的辦法。我們來(lái)看一個(gè)例子（盤(pán)面7）：


盤(pán)面7


     如盤(pán)面7所示。我們可以觀察到，數(shù)字3在宮1內(nèi)只有唯一的一個(gè)位置可以填，就是A3。由于列1、列2中已經(jīng)出現(xiàn)了3，并且行B、行C也出現(xiàn)了3，所以在宮1內(nèi)，3的位置將不得出現(xiàn)在A1、A2、B2、B3、C2、C3這6格。而由于宮1內(nèi)必須出現(xiàn)數(shù)字3，所以只能填入A3處。因此，A3=1，即如盤(pán)面7所示。
      以上技巧由于在宮內(nèi)得到結(jié)論，所以就被稱(chēng)為宮摒除法。
      有些書(shū)籍將數(shù)獨(dú)的規(guī)則寫(xiě)成“填入數(shù)字1到9，使得數(shù)字1~9在每一行、每一列和每一宮內(nèi)都各出現(xiàn)一次”。這樣寫(xiě)其實(shí)并不太好，因?yàn)檫@種規(guī)則的并沒(méi)有說(shuō)明“不重復(fù)”這一層意思。所以在此處，我將“不重復(fù)”的說(shuō)法當(dāng)作了數(shù)獨(dú)的規(guī)則。
      宮摒除法是在宮內(nèi)進(jìn)行摒除的方式，而行列摒除法則是在行或者列中進(jìn)行摒除的方式。放在之后的例子就可以清晰地給出。



---> 行列摒除法(Linear Hidden Single)
行列摒除法分為兩種，一種是行摒除法，即關(guān)于某一行進(jìn)行摒除；而另外一種是列摒除法，即關(guān)于某一列進(jìn)行摒除。來(lái)看盤(pán)面8。


盤(pán)面8


      如盤(pán)面8所示。我們可以觀察到，在行D中，數(shù)字3的位置僅僅只能填在列1的H1處，因?yàn)榱?內(nèi)有5個(gè)空格，提示數(shù)3的位置使得A1、B1、C1、E1不得填入3，因此3被理所當(dāng)然地“框”在了H1處。所以，H1=3。
       在做題過(guò)程中，可以采用圖中的這種劃線(xiàn)的方式來(lái)看，直到某一行、列或?qū)m內(nèi)只有唯一的單元格沒(méi)有被“掃”過(guò)，那么它就理所應(yīng)當(dāng)?shù)靥钸M(jìn)去了。上題是關(guān)于列1進(jìn)行摒除的，所以它被稱(chēng)為列摒除法。而盤(pán)面9有一個(gè)行摒除法，請(qǐng)找出來(lái)。


盤(pán)面9


---> 可直觀區(qū)塊摒除法(Direct Intersection)
區(qū)塊摒除法是特殊的摒除法，它和之前的摒除法有一些許的不同。它分為兩種。


盤(pán)面10


      如盤(pán)面10所示。我們發(fā)現(xiàn)在宮2中，3的位置無(wú)論是在B5還是B6，都恰好在行B。但是無(wú)論怎么說(shuō)，這兩個(gè)位置都必須有一個(gè)數(shù)字填入3，因此行B的其余位置都不能填3。因此，行B的其他單元格都不再可以填3。此時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，列8僅僅只有B8、D8可以填3。但是由于B8不能填3了，所以只能D8=3。
      由于這是對(duì)行B進(jìn)行的摒除，因此這種技巧也就被稱(chēng)為行列式區(qū)塊摒除法（Direct Pointing）。
      當(dāng)然，也同樣有宮式區(qū)塊摒除法（Direct Claiming）。來(lái)看盤(pán)面11。


盤(pán)面11


      如盤(pán)面11所示。
我們看行C，行C內(nèi)填入7的位置只有C5和C6（C3被H3排除，C7被D7排除，C9被G9排除）。恰好，C5和C6又同時(shí)屬于宮2，那么宮2里面的其余單元格內(nèi)都不能填入7了。再看行A，行A內(nèi)本來(lái)可以在A4、A6和A8內(nèi)填入7的，由于A4和A6也同時(shí)屬于宮2，被排除了，所以只有A8能填入7，所以A8=7。
      如果說(shuō)可以根據(jù)一次區(qū)塊摒除法這一技巧就可以直接得到填數(shù)結(jié)論的，可以被稱(chēng)作“可直觀”的。
      在做題過(guò)程中，可以采用圖中的這種劃線(xiàn)的方式來(lái)看，不過(guò)這里由于是區(qū)塊摒除法，所以有些地方不一定很直觀，就得需要自己做題中進(jìn)行鍛煉，才能很快看到它們。


---> 唯一余數(shù)法(Naked Single)
      唯一余數(shù)法，簡(jiǎn)稱(chēng)唯余法，是一種某個(gè)單元格中被摒除法排除情況后，只剩下1~9的其中某個(gè)數(shù)字沒(méi)有填了，從而得到它就是此單元格的值的解法。


盤(pán)面12


      如盤(pán)面12所示，給出了如上的提示數(shù)，普通的摒除法和區(qū)塊摒除法已經(jīng)無(wú)法幫助我們找到可填的數(shù)字了。這個(gè)時(shí)候我們觀察I9。
      I9同時(shí)屬于行I，列9和宮9，就看這三個(gè)單元，我們發(fā)現(xiàn)一共出現(xiàn)了1、9、4、3、5、6、7、2這些數(shù)字。根據(jù)摒除法的規(guī)則，I9的位置將不得填入它們。神奇的是，在這九個(gè)數(shù)字中，單單只有8沒(méi)出現(xiàn)。根據(jù)我們?cè)谥暗霓鸪ㄖ型瞥龅臇|西，即“1~9的每個(gè)數(shù)字都要出現(xiàn)一次”，得到結(jié)論，I9=4。
       唯一余數(shù)法也可以適用于僅在同一個(gè)單元內(nèi)部的推理，也稱(chēng)為點(diǎn)算（Full House）。



5. 請(qǐng)找到如下盤(pán)面中會(huì)使用到唯一余數(shù)法的所在單元格：?jiǎn)卧瘢ā　。?（　?。?。