唯一候選數(shù)法

概說(shuō)

依照候選數(shù)法概說(shuō)一文中，候選數(shù)表的制作規(guī)則，我們可以知道：可以填入某一 個(gè)宮格的數(shù)字，一定會(huì)列于該宮格的候選數(shù)中；不在候選數(shù)中的數(shù)字，就不能填入該宮格中。

所以如果在候選數(shù)表中發(fā)現(xiàn)某一個(gè)宮格的候選數(shù)僅有 1 個(gè)數(shù)字，那就是表示：不必再考慮了！這個(gè)宮格就是 只能填入這個(gè)數(shù)字啦！如果填入別的數(shù)字，就會(huì)違反數(shù)獨(dú)的填制規(guī)則的。

利用“找出候選數(shù)表中，候選數(shù)僅有 1 個(gè)數(shù)字的宮格來(lái)，并填入該候選數(shù)”的方法就叫做唯一候選數(shù)法(Singles Candidature, sole Candidate)。

唯一候選數(shù)法示例

<圖 1>數(shù)獨(dú)謎題的候選數(shù)表

<圖 1> 是我們?cè)诤蜻x數(shù)法概說(shuō)一文中完成的候選數(shù)表，其中有好幾個(gè)宮格的候選數(shù) 都只有 1 個(gè)，所以可以利用唯一候選數(shù)法來(lái)進(jìn)行填制。先還不要填入數(shù)字，我們先來(lái)找找看，有哪些宮格有 唯一候選數(shù)？

在 (2, 7) 有唯一候選數(shù) 7。

在 (5, 5) 有唯一候選數(shù) 5。

在 (8, 3) 有唯一候選數(shù) 3。

哇！同時(shí)出現(xiàn)了 3 個(gè)唯一候選數(shù)啊！那么，先填入哪一個(gè)會(huì)不會(huì)影響填制結(jié)果呢？當(dāng)然不會(huì)了， 只要你高興，喜歡先填哪一個(gè)都沒(méi)問(wèn)題的。

好，就在這 3 個(gè)宮格中填入他們的唯一候選數(shù)吧，填制結(jié)果如<圖 2>： 

<圖 2>

哇！又有唯一候選數(shù)出現(xiàn)了呢！沒(méi)錯(cuò)，一般簡(jiǎn)易級(jí)的數(shù)獨(dú)謎題，如果使用直觀式的 唯一解法及摒除法來(lái)解題，即使是數(shù)獨(dú)老手，也要花費(fèi)相當(dāng)?shù)墓し虿拍芡瓿桑?但是如果采用唯一候選數(shù)法，從候選數(shù)表制作完成開(kāi)始，唯一候選數(shù)將一個(gè)一個(gè)接連不斷的出現(xiàn)，輕輕松松的 就可以完成解題啦！<圖 3> 是 <圖 1> 的完成解。 

<圖 3>完成解

隱性數(shù)對(duì)刪減法

概說(shuō)

遇到了高級(jí)、困難級(jí)的數(shù)獨(dú)謎題，使得唯一候選數(shù)法和 隱性唯一候選數(shù)法黔驢技窮的時(shí)候，就是各種刪減法上場(chǎng)的時(shí)機(jī)了。在各種的刪減法中，哪一個(gè)要先用 是隨個(gè)人之喜好的，并無(wú)限制。本頁(yè)介紹的當(dāng)然就要以隱性數(shù)對(duì)刪減法優(yōu)先??！

<圖 1>

請(qǐng)看<圖 1>的上右九宮格，數(shù)字 8、9 都只出現(xiàn)在(2, 8)和(2, 9)這兩個(gè)宮格的候選數(shù)中；這時(shí)隱性數(shù)對(duì)刪減法 的條件已成立了！這表示上右九宮格的數(shù)字 8 和 9 將只能填到這兩個(gè)宮格中，而且：如果數(shù)字 8 將填入(2, 8)， 那么(2, 9)就一定要填入數(shù)字 9；反之，如果數(shù)字 9 將填入(2, 8)，那么(2, 9)就一定要填入數(shù)字 8； 不論哪一個(gè)狀況出現(xiàn)，(2, 8)和(2, 9)這兩個(gè)宮格的候選數(shù)中若還有其他數(shù)字，全部是多余無(wú)用的，因?yàn)檫@ 兩個(gè)宮格若填入數(shù)字 8、9 以外的數(shù)字，那么上右九宮格的數(shù)字 8 或 9 就將無(wú)處可填了。候選數(shù)的意義是 可能填入該宮格的數(shù)字，而這兩個(gè)數(shù)字以外的數(shù)字已不可能再用來(lái)填入本宮格中了，所以可以毫不考慮的把 它們刪減掉。當(dāng)(2, 8)和(2, 9)這兩個(gè)宮格的候選數(shù)都安全的刪減成數(shù)字 8、9 之后，(2, 5)出現(xiàn)了列隱性 唯一候選數(shù) 2 ，于是可用隱性唯一候選數(shù)法來(lái)填入下一個(gè)解了。

整理一下：

當(dāng)某個(gè)數(shù)對(duì)僅出現(xiàn)在某個(gè)九宮格的某兩個(gè)宮格候選數(shù)中時(shí)，就可以把這兩個(gè)宮格的候選數(shù)刪減成該數(shù)對(duì)。

同理，當(dāng)某個(gè)數(shù)對(duì)僅出現(xiàn)在某列的某兩個(gè)宮格候選數(shù)中時(shí)，就可以把這兩個(gè)宮格的候選數(shù)刪減成該數(shù)對(duì)。

當(dāng)然，當(dāng)某個(gè)數(shù)對(duì)僅出現(xiàn)在某行的某兩個(gè)宮格候選數(shù)中時(shí)，就可以把這兩個(gè)宮格的候選數(shù)刪減成該數(shù)對(duì)。

利用“找出某個(gè)數(shù)對(duì)僅出現(xiàn)在某行、某列或某一個(gè)九宮格的某兩個(gè)宮格候選數(shù)中的情形，進(jìn)而將這兩個(gè) 宮格的候選數(shù)刪減成該數(shù)對(duì)”的方法就叫做隱性數(shù)對(duì)刪減法(Hidden Pairs)。

當(dāng)隱性數(shù)對(duì)刪減法完成后，通常還可引發(fā)數(shù)對(duì)刪減法；以<圖 1>為例，當(dāng)(2, 8)和(2, 9)這兩個(gè)宮格的候選數(shù) 都安全的刪減成數(shù)字 8、9 之后，還可利用數(shù)對(duì)刪減法把 (2, 1)、(2, 2)、(2, 3) 這三個(gè)c格候選數(shù)中的數(shù)字 8 刪減掉。

隱性數(shù)對(duì)刪減法示例

隱性數(shù)對(duì)刪減法一共有 3 種狀況：第一種發(fā)生在行、第二種是發(fā)生在列、第三種則發(fā)生在九宮格。<圖 1> 就是 發(fā)生在九宮格的例子了，其他的情況舉例如下：

<圖 2>

<圖 2> 是隱性數(shù)對(duì)刪減發(fā)生在行的例子：圖中第 2 行的數(shù)對(duì) 4、6 只出現(xiàn)在 (3, 2)及(9, 2) 這兩個(gè)宮格 的候選數(shù)中，所以可以將(3, 2)及(9, 2)的候選數(shù)安全的刪減成數(shù)對(duì) 4、6；而經(jīng)此一刪，(3, 3) 宮格出現(xiàn) 了列隱性唯一候選數(shù) 1 啦！

<圖 3>

<圖 3> 是隱性數(shù)對(duì)刪減發(fā)生在列的例子：圖中第 7 列的數(shù)對(duì) 4、7 只出現(xiàn)在 (7, 1)及(7, 8) 這兩個(gè)宮格 的候選數(shù)中，所以可以將(7, 1)及(7, 8)的候選數(shù)安全的刪減成數(shù)對(duì) 4、7；而經(jīng)此一刪，(8, 1) 宮格出現(xiàn) 了行隱性唯一候選數(shù) 2 啦！

三鏈列刪減法

概說(shuō)

遇到了高級(jí)、困難級(jí)的數(shù)獨(dú)謎題，使得唯一候選數(shù)法和 隱性唯一候選數(shù)法黔驢技窮的時(shí)候，就是各種刪減法上場(chǎng)的時(shí)機(jī)了。在各種的刪減法中，哪一個(gè)要先用 是隨個(gè)人之喜好的，并無(wú)限制。本頁(yè)介紹的例子當(dāng)然可用其他刪減法完成解題，且本刪減法成立的條件 和其他方法相比稍嫌繁雜，但為了介紹，在進(jìn)行解題時(shí)還是要以三鏈列刪減法優(yōu)先??！

<圖 1>

請(qǐng)看<圖 1>第 1、4、6 列的數(shù)字 5 ，都只出現(xiàn)在第 1、5、8 行的宮格候選數(shù)中；這時(shí) 三鏈列刪減法的條件已成立了！這表示第 1 行、第 5 行及第 8 行的數(shù)字 5 將只能被填到第 1 、4、6 列了，因?yàn)椋旱?1 列的數(shù)字 5 只出現(xiàn)在(1, 1)及(1, 8)，所以數(shù)字 5 只能填到這兩個(gè)宮格；

• 先假設(shè)第 1 列的數(shù)字 5 將被填到(1, 1)，第 1 行就不能再填數(shù)字 5 了，所以第 4 列 的數(shù)字 5 只好填到(4, 5)，第 6 列的數(shù)字 5 只好填到(6, 8)；
• 另外，假設(shè)第 1 列的數(shù)字 5 將被填到(1, 8)，第 8 行就不能再填數(shù)字 5 了，所以第 6 列的數(shù)字 5 只好填到(6, 1)或(6, 5)；
  1. 如果第 6 列的數(shù)字 5 填到(6, 1)，第 4 列的數(shù)字 5 就要填到(4, 5)；
  2. 如果第 6 列的數(shù)字 5 填到(6, 5)，第 4 列的數(shù)字 5 就要填到(4, 1)；

不論哪一種情況發(fā)生，第 1、5、8 行的數(shù)字 5 一定要填在第 1、4、6 列的交點(diǎn)，別的宮格已不能再使用 數(shù)字 5 來(lái)填入了，所以若其他宮格的候選數(shù)中還有數(shù)字 5，全部是多余無(wú)用的， 可以毫不考慮的把它們刪減掉。于是(5, 1)、(5, 5)、(9, 5)和(1, 8)、(2, 8)這五個(gè)宮格候選數(shù)中的 5 都可被安全的刪減掉；其中(9, 5)的候選數(shù)少了數(shù)字 5，將使得(9, 4)出現(xiàn)列隱性唯一候選數(shù) 5 ，于是 可用隱性唯一候選數(shù)法來(lái)填入下一個(gè)解了。

整理一下：

• 當(dāng)某個(gè)數(shù)字在某三列僅出現(xiàn)在相同的三行時(shí)，就可以把這三行其他宮格候選數(shù)中的該數(shù)字刪減掉。
• 同理，當(dāng)某個(gè)數(shù)字在某三行僅出現(xiàn)在相同的三列時(shí)，就可以把這三列其他宮格候選數(shù)中的該數(shù)字刪減掉。

利用“找出某個(gè)數(shù)字在某三列僅出現(xiàn)在相同三行的情形，進(jìn)而將該數(shù)字自這三行其他宮格候選數(shù)中刪減掉”； 或“找出某個(gè)數(shù)字在某三行僅出現(xiàn)在相同三列的情形，進(jìn)而將該數(shù)字自這三列其他宮格候選數(shù)中刪減掉”的方法 就叫做三鏈列刪減法(Swordfish)。

本刪減法其實(shí)是矩形頂點(diǎn)刪減法的推廣，如果你愿意的話，還可以繼續(xù)推廣：

• 四鏈列刪減法：利用“找出某個(gè)數(shù)字在某四列僅出現(xiàn)在相同四行的情形，進(jìn)而將該數(shù)字自這四行其他宮格 候選數(shù)中刪減掉”；或“找出某個(gè)數(shù)字在某四行僅出現(xiàn)在相同四列的情形，進(jìn)而將該數(shù)字自這四列其他 宮格候選數(shù)中刪減掉”的方法
• 五鏈列刪減法：利用“找出某個(gè)數(shù)字在某五列僅出現(xiàn)在相同五行的情形，進(jìn)而將該數(shù)字自這五行其他宮格 候選數(shù)中刪減掉”；或“找出某個(gè)數(shù)字在某五行僅出現(xiàn)在相同五列的情形，進(jìn)而將該數(shù)字自這五列其他 宮格候選數(shù)中刪減掉”的方法
• 六鏈列刪減法：...... 不過(guò)如果真的這樣做，實(shí)際應(yīng)用時(shí)，能夠用上的機(jī)率大概不多就是了。

遇到了高級(jí)、困難級(jí)的數(shù)獨(dú)謎題，使得唯一候選數(shù)法和 隱性唯一候選數(shù)法黔驢技窮的時(shí)候，雖然你可以優(yōu)先使用三鏈列刪減法來(lái)尋找下一個(gè)解；但大部分的人在 使用刪減法的優(yōu)先順序上，通常都會(huì)將三鏈列刪減法排在稍后一點(diǎn)，為什么要如此安排，在實(shí)際使用一段時(shí)間之后， 相信你自能體會(huì)了，但這個(gè)方法又是不可或缺的，如果不會(huì)運(yùn)用本刪減法，有很多高級(jí)的數(shù)獨(dú)謎題就將無(wú)解了。

三鏈列刪減法示例

三鏈列刪減法只有 2 種狀況：第一種的刪減發(fā)生在行、第二種的刪減發(fā)生在列。<圖 1> 就是 刪減發(fā)生在行的例子了，第二種的情況舉例如下：

<圖 2>

<圖 2> 是三鏈列刪減發(fā)生在列的例子：圖中第 3、5、8 行的數(shù)字 2 只出現(xiàn)在第 3、4、5 列， 所以可以將數(shù)字 2 自(4, 6)、(5, 6)的候選數(shù)中安全的刪減掉，其中(5, 6) 的候選數(shù)由 2、5 刪減成 5 時(shí)，出現(xiàn)唯一候選數(shù)啦！

區(qū)塊刪減法

概說(shuō)

遇到了高級(jí)、困難級(jí)的數(shù)獨(dú)謎題時(shí)，唯一候選數(shù)法和 隱性唯一候選數(shù)法仍有其黔驢技窮的時(shí)候；這時(shí)就是區(qū)塊刪減法上場(chǎng)的時(shí)機(jī)了，往后將要介紹的 數(shù)對(duì)刪減法(Naked Pairs)、隱性數(shù)對(duì)刪減法(Hidden Pairs)、三鏈數(shù)刪減法(Naked Triples)、 隱性三鏈數(shù)刪減法(Hidden Triples) 、矩形頂點(diǎn)刪減法(X-Wing)、三鏈列刪減法(Swordfish)都具有類似的特性：使用這 些技巧的目的僅在刪減候選數(shù)的數(shù)目，刪減之后，還是得使用唯一候選數(shù)法和隱性唯一候選數(shù)法來(lái) 找出下一個(gè)解并填入數(shù)字的。

當(dāng)使用唯一候選數(shù)法或隱性唯一候選數(shù)法找不出下一個(gè)解時(shí)，到底該先使用哪一個(gè)刪減法呢？隨您高興的用吧！ 如果你比較擅長(zhǎng)使用數(shù)對(duì)刪減法，那就先用數(shù)對(duì)刪減法吧！如果你認(rèn)為區(qū)塊刪減法比較好用，那就先用數(shù)對(duì)刪減法吧！ ......；介紹時(shí)總有先后的次序，但并不表示先介紹的就較好用或必須先用哦！只要能達(dá)到：“安全刪減掉候選數(shù)， 并找出下一個(gè)解”的目的，使用哪一種刪減法都是可以的。

<圖 1>

請(qǐng)看<圖 1>，這時(shí)若使用唯一候選數(shù)法或隱性唯一候選數(shù)法是找不出下一個(gè)解來(lái)的！就先來(lái)試試區(qū)塊刪減法吧。 請(qǐng)觀察第 9 行：數(shù)字 1 在本行各宮格的候選數(shù)中，是不是僅出現(xiàn)在(1,9)～(3,9)的這一個(gè)區(qū)塊中？太好了，區(qū)塊刪減 的條件已有了；因?yàn)檫@表示第 9 行的數(shù)字 1 只能填在(1,9)～(3,9)的這一個(gè)區(qū)塊中，而不論填在本區(qū)塊 的哪一個(gè)宮格中，上右九宮格的其他宮格將因本九宮格已出現(xiàn)數(shù)字 1，而不得再填入 1，否則就違反數(shù)獨(dú)填制的規(guī)則 啦！所以(1, 7)～(3, 7)及(1, 8)～(3, 8)這兩個(gè)區(qū)塊的宮格，如果其候選數(shù)中包含有數(shù)字 1，就可以毫不考慮的 把它刪除掉，因?yàn)楹蜻x數(shù)的意義是可能填入該宮格的數(shù)字，而這個(gè)數(shù)字已不可能再用來(lái)填入該宮格中了。??！太好啦！ (1, 7)的候選數(shù)中包含有數(shù)字 1，所以可以把 (1, 7) 的候選數(shù)由 1、6 刪減成 6，于是可用唯一候選數(shù)法來(lái)填入 下一個(gè)解了。

當(dāng)區(qū)塊刪減法的條件成立時(shí)，可別高興得太早，因?yàn)楹苡锌赡苷也坏娇蓜h減的數(shù)字，例如：在<圖 1>的第 1 行中， 數(shù)字 2 在本行的各宮格候選數(shù)中，僅出現(xiàn)在(4, 1)～(6, 1)這一個(gè)區(qū)塊中，而不論數(shù)字 2 將來(lái)會(huì)被填到本區(qū)塊 的哪一個(gè)宮格中，將使得數(shù)字 2 不得再填入(4, 2)～(6, 2)及(4, 3)～(6, 3)這兩個(gè)區(qū)塊中；但請(qǐng)找找看！ 這兩個(gè)區(qū)塊各宮格的候選數(shù)中全部沒(méi)有數(shù)字 2，所以是白忙了一場(chǎng)，條件是成立了，但候選數(shù)并未因此而得到刪減。

整理一下，并為了簡(jiǎn)化敘述起見(jiàn)，下面所述的“區(qū)塊候選數(shù)”表示：該區(qū)塊的各個(gè)宮格候選數(shù)的總和。例如(1, 3)～(3, 3) 的區(qū)塊候選數(shù)就是(1, 3)的候選數(shù) 4、6、7 及(2, 3)的候選數(shù) 3、4、6 及(3, 3)的候選數(shù) 3、7 的總和： 3、4、6、7 啦?。?

• 當(dāng)某一個(gè)數(shù)字只出現(xiàn)在某行的某一個(gè)區(qū)塊候選數(shù)中時(shí)，就可以把該數(shù)字自包含該區(qū)塊的九宮格之其他 區(qū)塊候選數(shù)中刪減掉。
• 同理，當(dāng)某一個(gè)數(shù)字只出現(xiàn)在某列的某一個(gè)區(qū)塊候選數(shù)中時(shí)，就可以把該數(shù)字自包含該區(qū)塊的九宮格之其他 區(qū)塊候選數(shù)中刪減掉。
• 同理，當(dāng)某一個(gè)數(shù)字只出現(xiàn)在某個(gè)九宮格的某一個(gè)區(qū)塊候選數(shù)中時(shí)，就可以把該數(shù)字自包含該區(qū)塊的行或列之其他 區(qū)塊候選數(shù)中刪減掉。

利用“找出某一行、某一列或某一個(gè)九宮格各個(gè)區(qū)塊候選數(shù)中只出現(xiàn)一次的數(shù)字來(lái)，并將該數(shù)字自包含該區(qū)塊的另一個(gè) 行、列或九宮格的其他區(qū)塊候選數(shù)中刪減掉”的方法就叫做區(qū)塊刪減法 (Locked Candidates, Single Sector Candidates)。

區(qū)塊刪減法示例

區(qū)塊刪減法一共有 4 種狀況：第一種是發(fā)生在行而去刪減九宮格、第二種是發(fā)生在列而去刪減九宮格、 第三種是發(fā)生在九宮格而去刪減行、第四種是發(fā)生在九宮格而去刪減列。

<圖 1> 就是發(fā)生在行而去刪減九宮格的例子了，其他的情況舉例如下：

<圖 2>

<圖 2> 是發(fā)生在列而去刪減九宮格的例子：因?yàn)榈?3 列的數(shù)字 6 只出現(xiàn)在 (3, 1)～(3, 3) 這一個(gè)區(qū)塊， 所以可以將上左九宮格的另兩個(gè)區(qū)塊 (1, 1)～(1, 3)、(2, 1)～(2, 3) 候選數(shù)中的數(shù)字 6 安全的刪減掉； 于是(1, 1)的候選數(shù) 2、6 將被刪減成 2，出現(xiàn)了唯一候選數(shù)啦！

<圖 3>

<圖 3> 是發(fā)生在九宮格而去刪減列的例子：因?yàn)樯嫌揖艑m格的數(shù)字 5 只出現(xiàn)在 (3, 7)～(3, 9) 這一個(gè)區(qū)塊， 所以可以將第 3 列的另兩個(gè)區(qū)塊 (3, 1)～(3, 3)、(3, 4)～(3, 6) 候選數(shù)中的數(shù)字 5 安全的刪減掉； 于是(3, 3)的候選數(shù) 5、9 將被刪減成 9，出現(xiàn)了唯一候選數(shù)啦！

<圖 4>

<圖 4> 是發(fā)生在九宮格而去刪減行的例子：因?yàn)橹醒刖艑m格的數(shù)字 1 只出現(xiàn)在 (4, 5)～(6, 5) 這一個(gè)區(qū)塊， 所以可以將第 5 行的另兩個(gè)區(qū)塊 (1, 5)～(3, 5)、(7, 5)～(9, 5) 候選數(shù)中的數(shù)字 1 安全的刪減掉； 于是(8, 5)的候選數(shù) 1、3、7、8 將被刪減成 3、7、8；同理，中央九宮格的數(shù)字 7、8 都只出現(xiàn)在 (4, 5)～(6, 6) 這一個(gè)區(qū)塊，所以可以將第 5 行的另兩個(gè)區(qū)塊 (1, 5)～(3, 5)、(7, 5)～(9, 5) 候選數(shù)中 的數(shù)字 7、8 都安全的刪減掉；于是(8, 5)的候選數(shù) 3、7、8 將再度被刪減成 3；出現(xiàn)了唯一候選數(shù)啦！

像<圖 1>～<圖 3>這樣，只做一次區(qū)塊刪減就找到下一個(gè)解的情況固然是不錯(cuò)，但有時(shí)并沒(méi)有那么順心， 像<圖 4>就需要?jiǎng)h減三次才得到下一個(gè)解，不過(guò)那還算好的了，因?yàn)槿蔚膭h減都恰好發(fā)生在同一個(gè)區(qū)塊中， 請(qǐng)看下面發(fā)生在不同區(qū)塊的情形吧！

<圖 5>

<圖 5> 中的(4, 3)將可利用區(qū)塊刪減法得出下一個(gè)解，你能夠不看下面的解答，自己找出來(lái)嗎？試試！

也許你已經(jīng)找出答案了，恭喜！也許你還找不出答案，那也沒(méi)關(guān)系，人有失手，馬有失蹄，總有腦袋被漿糊 糊住而一時(shí)失誤的時(shí)候，請(qǐng)看答案吧：因?yàn)榈?8 列的數(shù)字 2 只出現(xiàn)在 (8, 1)～(8, 3) 這一個(gè)區(qū)塊， 所以可以將下左九宮格的另兩個(gè)區(qū)塊 (7, 1)～(7, 3)、(9, 1)～(9, 3) 候選數(shù)中的數(shù)字 2 安全的刪減掉； 刪減之后的結(jié)果如<圖 6>。

<圖 6>

接下來(lái)，因?yàn)榈?3 行的數(shù)字 2 只出現(xiàn)在 (4, 3)～(6, 3) 這一個(gè)區(qū)塊，所以可以將中左九宮格的另兩個(gè)區(qū)塊 (4, 1)～(6, 1)、(4, 2)～(6, 2) 候選數(shù)中的數(shù)字 2 安全的刪減掉；刪減之后的結(jié)果如<圖 7>。

<圖 7>

哈！哈！看出來(lái)了嗎？(4, 3)已出現(xiàn)了列隱性唯一候選數(shù)2啦！