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克羅內(nèi)克 邵明湖 (遼寧師范大學) 克羅內(nèi)克，L．(Kronecker，Leopold)1823年12月7日生于德國布雷斯勞附近的利格尼茨(Liegnitz，今屬波蘭)；1891年12月29日卒于柏林．數(shù)學． 克羅內(nèi)克生于一個富裕的猶太家庭，他的父親伊西多·克羅內(nèi)克(Isidor Kronecker)是一個商人，對哲學有濃厚興趣．克羅內(nèi)克進入利格尼茨預科學校之前，在家中接受私人教師的教育．在預科學校，他幸運地遇到了對他后來的數(shù)學生涯產(chǎn)生重要影響的第一位數(shù)學教師E．E．庫默爾(Kummer)，并與之結成了終生好友．10多年后他們在柏林成為同事．當1881年慶祝庫默爾獲得博士學位50周年時，克羅內(nèi)克說庫默爾提供了他“理性生活”的“最本質(zhì)的部分”．庫默爾的特別指導使克羅內(nèi)克很早便顯露了數(shù)學才能，但克羅內(nèi)克有著廣泛的興趣，并取得優(yōu)秀成績．哲學、古典語言、音樂都是他喜愛的科目，并成為他的終生愛好．他甚至對軍事和政治也有獨到的見解．1841年春，克羅內(nèi)克進入柏林大學．當時的柏林大學擁有P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)這樣的大師，還有奠定了橢圓函數(shù)論基礎的C．G．J．雅可比(Jacobi)和近代綜合幾何學的開創(chuàng)者J．施泰納(Steiner)．狄利克雷對他的影響是深刻的，這體現(xiàn)在他的每一篇作品中．而雅可比的學術興趣則主導了克羅內(nèi)克的一生——橢圓函數(shù)論始終是克羅內(nèi)克興趣的中心．但施泰納的幾何學似乎從沒有引起克羅內(nèi)克真正的興趣．這期間，有的學期他是在波恩大學過的，因為庫默爾成了那兒的教師．此時的克羅內(nèi)克在社交生活中也非?；钴S，曾參加過擊劍社團，加入學生組織．1845年，克羅內(nèi)克以討論代數(shù)數(shù)域中可逆元的論文“論復單位元“(De Unitatibus Complexis)獲柏林大學博士學位．在口試中，狄利克雷考問了他在定積分、級數(shù)、微分方程方面的知識． 此后8年，克羅內(nèi)克是在家鄉(xiāng)度過的．他經(jīng)營了舅父留下的大宗產(chǎn)業(yè)，并取得很大成功，成為一個商人、銀行家和農(nóng)場主．這段經(jīng)營保證了他余生可以優(yōu)裕地從事數(shù)學創(chuàng)造活動而無經(jīng)濟之憂．1848年，他與表妹范妮·普勞斯尼茨(Fanny Prausnitzer)結婚，他們有6個孩子．在鄉(xiāng)居的8年時間里，克羅內(nèi)克一直沒有論文發(fā)表，但在商務活動之余，他卻一直保持著與以前的老師庫默爾(當時任布雷斯勞大學教授)的頻繁通信．對數(shù)學創(chuàng)造的向往使他仍然保持了數(shù)學思維的活躍．也許這種在一定程度上的與世隔絕對克羅內(nèi)克來說是一種幸運，因為這使他慢慢成熟起來．“但是”，在克羅內(nèi)克去世后繼任柏林大學教授的F．G．弗羅貝尼烏斯(Fro-benius)對此評論道：“這對他的同事們來說卻是巨大損失，因為他們不能參入他的發(fā)展過程．當他經(jīng)過8年沉默之后發(fā)表他在余暇中給出的結果時，只有不超過三位的數(shù)學家能跟上他的思路．” 巴黎，在那里結識了C．埃爾米特(Hermite)和其他一些法國領頭的數(shù)學家． 1855年，克羅內(nèi)克重返柏林．就在這一年，狄利克雷離開柏林接替了高斯在格丁根的職位．根據(jù)狄利克雷的提名，庫默爾被任命接替他成為柏林大學教授．次年，由于庫默爾的安徘，K．魏爾斯特拉斯(Weierstrass)來到柏林并成為柏林科學院成員．從此，這三位數(shù)學精英揭開了柏林數(shù)學界的新篇章．定居柏林后，克羅內(nèi)克以很快的速度發(fā)表了一系列論文，內(nèi)容涉及數(shù)論、橢圓函數(shù)論、代數(shù)，尤其是探討了這些學科之間的相互依賴性．1861年1月23日，經(jīng)庫默爾和魏爾斯特拉斯等人推薦，克羅內(nèi)克成為柏林科學院院士．之后，他利用院士之便在柏林大學義務開設了一系導致庫默爾于1844年開始的一系列論文中創(chuàng)立了理想數(shù)的理論，他借此證明了費馬大定理對所謂“正則素數(shù)”成立．庫默爾理論的核心是將分圓整數(shù)分解成素因子的乘積，當素因子不存在時，引入理想素因子．戴德金的代數(shù)數(shù)理論對高斯的復整數(shù)和庫默爾的理想數(shù)做了一般處理，將其推廣為一般的代數(shù)結構——理想．今天，理想的概念幾乎出現(xiàn)在所有的數(shù)學分支中． 克羅內(nèi)克繼續(xù)庫默爾對代數(shù)數(shù)的研究，他運用一種漂亮的方法克服了唯一因子分解的困難．早在1859年，庫默爾便提到克羅內(nèi)克關于代數(shù)數(shù)的結果，說克羅內(nèi)克將要發(fā)表這一得到“完善發(fā)展的極其簡明的關于最一般代數(shù)數(shù)的理論”．但20年過去了，克羅內(nèi)克并未發(fā)表他的這一著作，因為他自己希望得到更一般的結果．克羅內(nèi)克的理論出現(xiàn)在1881年為慶祝庫默爾取得博士學位50周年的紀念文章中，題為“代數(shù)量的一種算術理論概要”(Grundzügeeiner arithmetischen The orieder algebraischen 概念，其核心思想非常簡單明晰．實質(zhì)上，他是將所討論的域的整數(shù)環(huán)嵌入一個更大的多項式環(huán)，這些多項式的系數(shù)在整數(shù)環(huán)中．這一方法與人們熟知的戴德金的方法有著本質(zhì)上的不同． 首先，戴德金認為以如下方式定義“理想”是其理論的主要任務，即對代數(shù)數(shù)不成立的唯一因子分解定理對于理想來說應該是成立的．而克羅內(nèi)克注意到“素數(shù)”的概念是相對于所考慮的數(shù)域的．如果域擴張了，那么原來的素數(shù)就不復如初了．為此，素數(shù)唯一因子分解定理應屬于理論的后一部分，即應在以一種獨立于所考慮的域的方式定義了基本概念之后方可考慮．當然，在戴德金的理論中，從一個域到另一個域時必須計算理想；而克羅內(nèi)克的理論與此無關，在這里，當域擴張或收縮時它是不改變的． 其次，克羅內(nèi)克實際上是通過告知如何去計算它們而定義除子的，用戴德金的話說，這等于給出了一種算法以便確定(已知一組理想的生成元)域的一已知元是否在理想中——這是戴德金理論中所沒有的．克羅內(nèi)克的方法體現(xiàn)了他的哲學思想． 克羅內(nèi)克對代數(shù)數(shù)論的貢獻尤以所謂克羅內(nèi)克-韋伯定理著名．該定理即：有理數(shù)域的任一阿貝爾擴張一定是一分圓域的子域．這也是他最重要的成果之一．今天，每一個學過代數(shù)數(shù)論的人都會了解這一定理以其簡潔和一般所體現(xiàn)的深刻及其在代數(shù)數(shù)論中的重要地位．這一深刻的結果是克羅內(nèi)克在1853年發(fā)表的“論代數(shù)可解方程”中的一個副產(chǎn)品．但他沒有給出證明．后人曾給出幾種證明，其中最早的是H．韋伯(Weber)在1886年給出的，距該定理發(fā)表已30多年．這也旁證了弗羅貝尼烏斯的話是有道理的． 由克羅內(nèi)克-韋伯定理出發(fā)，克羅內(nèi)克進一步提出了著名的猜想：每個虛二次域K的極大阿貝爾擴域是將K添加某種橢圓函數(shù)(這是雙周期函數(shù))在全部有理點處的取值而得到的域．在1880年給戴德金的一封信中，克羅內(nèi)克稱此猜想為“我最迷戀的青春之夢”．至第一次世界大戰(zhàn)期間這一猜想才為日本數(shù)學家高木貞治(TeijiTakagi)所證明．這也是日本近代學者的第一個具有國際水平的數(shù)學成果． 據(jù)說克羅內(nèi)克在剛開始他的科學生涯時曾經(jīng)有點瞬眠E．伽羅瓦(Galois)，我們無從知道這是否屬實，但克羅內(nèi)克最早掌握了伽羅瓦的思想．就在1853年關于方程的代數(shù)可解性的論文中，他發(fā)展了阿貝爾和伽羅瓦關于方程可解性的結果，進一步揭示了方程可解的本質(zhì)特征．當克羅內(nèi)克致力于解決這一問題時(19世紀40年代)，伽羅瓦理論還很少有人理解．后來，克羅內(nèi)克同埃爾米特一樣用橢圓模函數(shù)解出了一般的五次方程，與之不同的是，克羅內(nèi)克運用了伽羅瓦思想． 克羅內(nèi)克的工作中體現(xiàn)著深刻的代數(shù)思想．早在博士論文中，他就試圖將一組單位元表示為群．25年后，他成功地構造出一套公理體系以限定有限阿貝爾群．這表明他的工作是朝著現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展的．后來他創(chuàng)立了有理函數(shù)域論，引進了在域上添加代數(shù)量生成擴域的概念和模系的概念，并說明了代數(shù)數(shù)的理論是獨立于代數(shù)基本定理的．這是他最重要的工作之一． 克羅內(nèi)克的數(shù)學活動體現(xiàn)了他統(tǒng)一數(shù)學的努力．他試圖為整個數(shù)學奠定一個基礎，從這個基礎出發(fā)可以建立完整的數(shù)學體系．在他看來，這個基礎便是算術．他關于橢圓函數(shù)的工作中，邊界公式尤其值得一提，這是在狄利克雷工作方向上的一大進步，揭示了算術與橢圓函數(shù)之間最深層的關系，并提供了后來E．赫克(Hecke)用解析方法研究代數(shù)數(shù)論的基礎，它充分體現(xiàn)了克羅內(nèi)克的統(tǒng)一數(shù)學觀． 克羅內(nèi)克的大部分工作表明，他可以被稱作算法家．他的目標是完善技巧，給出簡明表達式以自動顯示從某一步到下一步的過程．例如克羅內(nèi)克的除子理論，它當然可看成戴德金理想論的另一種形式，其基本定義很難理解，其實是一種算法，這種算法是要確定代數(shù)數(shù)域K中的已知整數(shù)b是否在由K中的已知整數(shù)組a1，a2，…，an生成的理想中．對算法感興趣的讀者會更易于理解他的工作． 克羅內(nèi)克對數(shù)學哲學有強烈信念，試圖將一切數(shù)學(從代數(shù)學到分析)算術化是他的最高愿望．他寫道：“有一天人們將成功地將所有數(shù)學算術化，就是說將數(shù)學建立在最狹義的數(shù)概念的單一基礎上．”“一切最根本的數(shù)學研究結果最終必須可以整數(shù)性質(zhì)的簡單形式表達．”他的另一句話是更著名的：“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其余一切都是人造的．”不過，我們所了解的他的哲學觀點大多是由別人轉述的．克羅內(nèi)克的學生K．亨澤爾(Hensel)在克羅內(nèi)克的《數(shù)論講義》的前言中寫道：“我也必須指出克羅內(nèi)克自覺地加于廣義算術的定義和證明之上的一個要求，對它的嚴格遵守將他對數(shù)論和代數(shù)的處理與幾乎所有其他的人區(qū)別開來．他相信人們在這些數(shù)學分支中能夠也必須以這種方式限定一個定義，即人們可用有限步驗證它是否適用于任意已知量．同樣，一個量的存在性證明只有當它包含一種方法，通過它可以實際地發(fā)現(xiàn)要證明存在的量時，才可被認為是完全嚴格的．”這些正是后來重要的數(shù)學哲學流派——直覺主義學派所堅持的信念．因此，克羅內(nèi)克被認為是直覺主義學派的先驅(qū)．他的這些原則也正是現(xiàn)代數(shù)學的重要領域——構造性數(shù)學研究的起點． 克羅內(nèi)克基于自己的哲學觀，反對魏爾斯特拉斯的數(shù)學風格．魏爾斯特拉斯不僅使用實無限，而且鐘愛像波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理(有界無窮序列必有聚點)這樣的非構造性的存在定理．克羅內(nèi)克認為魏爾斯特拉斯的方法是不充分的，他要找出“現(xiàn)在分析學賴以存在的一切結論之謬誤”．這大大刺激了他的老同事魏爾斯特拉斯．他們原是極好的朋友，從70年代開始，他們的關系變壞了．魏爾斯特拉斯認為克羅內(nèi)克的信條對他是嚴重的威脅．這兩位數(shù)學家在很多方面截然不同：魏爾斯特拉斯高大、閑散，而克羅內(nèi)克則小巧、精干；一位擅長分析，并形成一個強大的分析學派，另一位則是代數(shù)學家．1888年，魏爾斯特拉斯對他的朋友宣稱與克羅內(nèi)克完全斷交．而克羅內(nèi)克卻顯然沒有認識到自己的觀點和活動是怎樣傷害了魏爾斯特拉斯，因為他一直聲稱自己是魏爾斯特拉斯的朋友． 當然，在克羅內(nèi)克看來，G．康托爾(Cantor)的超窮數(shù)理論是無法接受的，它與克羅內(nèi)克的信條完全對立．克羅內(nèi)克強烈反對并試圖阻止康托爾擴大其影響，他大概不會認識到自己對康托爾造成了何等程度的傷害．由于殫精竭慮地致力于連續(xù)統(tǒng)假設的證明和對自己的工作缺乏信心，康托爾一度陷入精神崩潰．來自克羅內(nèi)克這位權威的精神壓力可能也是導致于此的原因．在克羅內(nèi)克看來，康托爾顯然是錯誤地追隨了魏爾斯特拉斯的一位后生． 克羅內(nèi)克的哲學被不喜歡它的人稱為“暴動”(Putsch)．的確，它從來也沒有贏得多數(shù)人的贊同．但卻贏得了一些一流數(shù)學家的附和．克羅內(nèi)克本人對這種和者寡的情形也許不會太在意．事實上，他一生所鐘愛的代數(shù)學和數(shù)論當時便不如魏爾斯特拉斯所擅長的分析學更受大多數(shù)人的歡迎．作為教師，他講課的清晰而漂亮的開場白往往使他的聽眾認為后續(xù)課程一定是易懂的，但不久這一信念就會煙消云散，直到只剩下少數(shù)虔誠的聽眾——許多人去聽魏爾斯特拉斯的課了．克羅內(nèi)克反而很高興，他會戲謔地說可以在前幾排座位后掛一道簾子，以使聽眾與講演者之間更密切．這少數(shù)忠實的聽眾便跟隨著他，有時課后一起步行回家．并一直繼續(xù)課堂上的討論．經(jīng)過弗里德里希大街的人有時會看到這樣的場面：一個矮個子的人興致勃勃的對一圈青年人講解著什么，他們都如此全神貫注，根本注意不到是否妨礙了交通．克羅內(nèi)克一直保持著貴族式的孤傲，但他的家對學生是開放的．他的一些學生后來成為重要的數(shù)學家，但他從未努力去贏得一大批追隨著． 克羅內(nèi)克的理想對于現(xiàn)代數(shù)學來說無疑是過于狹隘了，但他的懷疑精神對人們重新批判地檢查數(shù)學的基礎起了鼓舞作用．它導致了數(shù)學中兩種有建設性的批判運動：有限步構造性證明與存在性證明，以及從數(shù)學中驅(qū)除不能以有限個詞明確表述的定義．這些有利于人們更清楚地認識數(shù)學的本質(zhì)． |
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來自： l1hf > 《數(shù)學家》
