反比例函數(shù)是大家接觸最早和最熟悉的函數(shù)之一，它的函數(shù)解析式是y=k/x（k為常數(shù)，k≠0）。我們利用反比例函數(shù)的解析式，就可以畫出它的圖像，如下圖所示：

?根據(jù)函數(shù)的圖像可知，在k＞0情況下的第一象限內(nèi)，反比例函數(shù)中x的值無限變大，大到無窮的時候，曲線就不斷向x軸靠近，換句話說y的值逐漸向“0”靠近；或者是y的值無限變大，曲線就不斷向y軸靠近，x的值逐漸向“0”靠近。

此時，有些人就會產(chǎn)生一些疑問，當(dāng)這個x的值取到非常大、非常大、非常大的時候，y的的值和“0”之間存在什么樣的關(guān)系呢？會相等嗎？

對于類似這樣的疑惑，我們從現(xiàn)代數(shù)學(xué)“極限”的角度出發(fā)，就很好回答，但在幾百年前，像這樣的問題在當(dāng)時卻屬于一個世界性的難題。

我們知道，對于某一個函數(shù)，假設(shè)其中的某一個變量x，它在無限變大（或者變小）的這一變化過程中，導(dǎo)致另一個變量y逐漸向某一個確定的數(shù)值m不斷地靠近，不過最終的結(jié)局只能是不斷的接近“m”，卻永遠(yuǎn)都無法跟“m”重合。

??簡而言之，某一變量x處于無限變大或無限變小這一變化過程，那么另一個變量y的值永遠(yuǎn)都不會等于m，但只要變量x一直處于無限變大或無限變小中，那么y的值可以取等于m，這就是極限的思想。

因此，如果一個人要想理解“極限”這一抽象數(shù)學(xué)概念，那么就需要學(xué)會接受和明確知道極限是一種“變化狀態(tài)”的描述，變量y有不斷地努力靠近m點的趨勢。此時，變量y永遠(yuǎn)趨近的值m就叫做“極限值”。

極限作為微積分、數(shù)學(xué)分析等重要內(nèi)容的基礎(chǔ)，可以說是初等數(shù)學(xué)邁入高等數(shù)學(xué)一個關(guān)鍵門檻。正如所有的數(shù)學(xué)知識概念出現(xiàn)的背景一樣，極限也是屬于社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展和科學(xué)技術(shù)之間產(chǎn)生的“矛盾”產(chǎn)物。

在早期16世紀(jì)的歐洲，一些國家開始進(jìn)入資本主義萌芽階段，整個社會處于快速變革狀態(tài)，生產(chǎn)力得到極大的發(fā)展，出現(xiàn)一些最基本的工業(yè)化。人們在發(fā)展過程中，發(fā)現(xiàn)很多生產(chǎn)技術(shù)都出現(xiàn)問題，跟不上社會發(fā)展的速度，當(dāng)時的數(shù)學(xué)知識已經(jīng)無法順利解決一些“變化的量”，如運動變化、天文學(xué)、機(jī)械化、航海、采礦、大壩建造等，都需要新的數(shù)學(xué)知識才能解決。

?初等數(shù)學(xué)很多時候只能解決一些相對“穩(wěn)定”的量，但在現(xiàn)實工作生活中，充滿了大量“變化的量”，這就要求數(shù)學(xué)必須突破現(xiàn)有的知識壁壘，能夠找到一種可以描述和研究運動、變化過程的新數(shù)學(xué)知識，最終解決這些“變量”問題。基于當(dāng)時這樣的社會發(fā)展背景，數(shù)學(xué)家都努力嘗試突破傳統(tǒng)的思維模式，直接促進(jìn)“極限”思維的形成和發(fā)展，從而建立微積分等重要數(shù)學(xué)分支。

最早的時候，牛頓和萊布尼茨在各自的領(lǐng)域創(chuàng)立了微積分，讓“極限”的發(fā)展擁有了正是展開拳腳的舞臺。在當(dāng)時，微積分一經(jīng)創(chuàng)立誕生，就幫助很多人順利解決了以往在運動變化、力學(xué)、天文學(xué)等中認(rèn)為束手無策的難題，數(shù)學(xué)也迎來了新的發(fā)展。

不過，牛頓和萊布尼茨所創(chuàng)立的微積分并不是十分完善，特別是在一些關(guān)鍵疑難點沒有講清楚，如“無窮小量”的解釋，邏輯上存在著很多混亂，盡管當(dāng)時的“初始微積分”已經(jīng)能輕而易舉解決一些實際工作中的難題。

?就像牛頓的瞬和流數(shù)或是萊布尼茨的dx和dy，都需要解決和講清楚“無窮小量”這一特殊概念，但這兩位偉人都沒有給出明確、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x。

為什么“無窮小量”會這么重要呢？

我們都知道，在微積分的推導(dǎo)或運算過程中，常常需要先用“無窮小量”作為分母進(jìn)行除法，然后又把“無窮小量”當(dāng)作零來處理，以消除那些包含有它的項。

那么問題就來了，“無窮小量”究竟是零還是非零呢？

因為如果它是零，怎么能用它去作除數(shù)呢？如果它不是零，又怎么能把包含它的那些項消除掉呢？這種邏輯上的矛盾，直接或間接影響微積分的發(fā)展，更讓所有數(shù)學(xué)家不僅意識到“極限”這一概念的重要性，更明白極限思想的進(jìn)一步發(fā)展是與微積分的建立緊密相聯(lián)系的。

?當(dāng)時的人們束縛于狹小的觀念里，還是以傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維方式去看待“極限”，試圖用“零誤差”去進(jìn)行變量計算，這樣的思維方式只能導(dǎo)致悖論的發(fā)生，這就是數(shù)學(xué)史上所說的“無窮小量”悖論產(chǎn)生的原因。

牛頓和萊布尼茨在晚期都不同程度地接受了極限思想，也都努力去嘗試解決這一“神秘”概念，試圖以極限概念作為微積分的基礎(chǔ)。

很多可惜，牛頓和萊布尼茨為都無法完整得出極限的嚴(yán)格表述。

雖然當(dāng)時的人們沒有弄清楚“極限”這一概念，但微積分的出現(xiàn)，確實促進(jìn)社會的發(fā)展。隨著微積分應(yīng)用的更加廣泛和深入，大家都意識到需要解決“極限”這一問題，要有嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯的數(shù)學(xué)語言對其進(jìn)行完整描述。

加上人類文明不斷向前進(jìn)步，遇到的問題越來越復(fù)雜，這就要求數(shù)學(xué)必須推出明確的概念、合乎邏輯的推理和運算法則。

?進(jìn)入19世紀(jì)之后，法國著名數(shù)學(xué)家柯西比較完整地闡述了“極限”的概念，以及相關(guān)的理論?？挛髟凇斗治鼋坛獭分兄赋觯寒?dāng)一個變量逐次所取的值無限趨于一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當(dāng)一個變量的數(shù)值（絕對值）無限地減小使之收斂到極限0，就說這個變量成為“無窮小量”。

柯西把“無窮小量”視為“以0為極限的變量”，這就準(zhǔn)確地確立了“無窮小量”概念，“無窮小量”就是極限為“0”的變量，在變化過程中，它可以是“非零”，但它的變化趨向是“0“，無限地接近于“0”，可以人為用等于0方式去處理。

直白地講，在變量的變化過程中，它的值實際上不等于“0”，但它變化的趨向是向“0”，可以無限地接近于“0”，那么人們就可以用“等于0”的方式來處理，就不會產(chǎn)生錯誤的結(jié)果。

?極限論正是從變化趨向上說明了“無窮小量“與“0“的內(nèi)在聯(lián)系，從而澄清了邏輯上的混亂，完善了微積分的發(fā)展。

柯西在《分析教程》中，不僅對極限概念進(jìn)行基本明確的敘述，并以極限概念為基礎(chǔ)，對“無窮小量“、無窮級數(shù)的“和”等概念給出了比較明確的定義。

“極限”這一重要理論之后又經(jīng)過波爾察諾、魏爾斯特拉斯、戴德金、康托等人的努力工作，進(jìn)一步把極限論建立在嚴(yán)格的實數(shù)理論基礎(chǔ)上，并且形成了描述極限過程的ε-δ語言。

要想學(xué)好高等數(shù)學(xué)，就要弄清楚“極限”這一重要概念，認(rèn)識到它是一個動態(tài)無限變化的過程，這樣變化的趨勢可以等于某一個常量。這一極限思想是建立微積分理論的重要思想基礎(chǔ)，對數(shù)學(xué)等眾多學(xué)科的發(fā)展有著的重大意義。