數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，不在于死記硬背，而是在于嘗試著重走數(shù)學(xué)創(chuàng)造的過程，嘗試著理解數(shù)學(xué)概念，嘗試著去推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式，在不斷地重走數(shù)學(xué)創(chuàng)造的過程中逐步積累數(shù)學(xué)靈感，久而久之你也能誕生神來之筆。

已知a<b<c,x代表實(shí)數(shù)，求|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值。

站在不同的思維角度探索這道問題會產(chǎn)生不同的解法，本文通過三種不同的思維視角展開討論。絕對值問題在初中學(xué)習(xí)的一個知識點(diǎn)，這類問題成為初中數(shù)學(xué)和小學(xué)數(shù)學(xué)的第一個分水嶺，是數(shù)學(xué)各級升學(xué)考試中經(jīng)久不息的考察點(diǎn)。

為什么這類問題會成為經(jīng)久不息的考點(diǎn)呢？因?yàn)榻^對值問題涉及了分類討論的思想，更重要的意義在于代數(shù)和幾何產(chǎn)生相互結(jié)合。

絕對值在幾何上的意義表示一個數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，因?yàn)楸硎揪嚯x，所以不會是負(fù)數(shù)。

一、基于絕對值幾何意義的直觀解法

|x-a|的幾何意義是：在數(shù)軸上，表示數(shù)X和a的兩點(diǎn)之間的距離。

同理，|x-b|的幾何意義是：在數(shù)軸上，表示數(shù)X和b的兩點(diǎn)之間的距離。

|x-c|的幾何意義是：在數(shù)軸上，表示數(shù)X和c的兩點(diǎn)之間的距離。

由此，|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值在幾何上的意義就是在數(shù)軸上一個點(diǎn)x,使之到a,b,c三個點(diǎn)的距離之和最小。所以，當(dāng)x處于b點(diǎn)距離之和最小，即最小值為c-a。

為什么當(dāng)x處于b點(diǎn)距離之和最小呢？

結(jié)合其幾何意義，我們假設(shè)任意一點(diǎn)x不在點(diǎn)b處，|x-a|,|x-b|,|x-c|三個線段一定存在重疊的部分，其總距離一定會大于c-a。

這種解法的關(guān)鍵在于將代數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為幾何直觀，通過數(shù)軸上點(diǎn)的位置關(guān)系直接找到最優(yōu)解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)理解對解題的關(guān)鍵作用。

二、借助數(shù)形結(jié)合的函數(shù)圖像法

將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù) f(x)=∣x?a∣+∣x?b∣+∣x?c∣ 的最小值求解。當(dāng)數(shù)形結(jié)合的思想深植于心，我們不妨畫出該函數(shù)的圖像。其實(shí)，第一種方法也利用了數(shù)形結(jié)合的思想，只不過第一種解法需要結(jié)合絕對值的幾何意義，否則也不會產(chǎn)生第一種如此簡單的方法。

結(jié)合圖像，顯然，當(dāng)x=b時，函數(shù)f(x)取得最小值，即c-a。

這種方法通過圖像直觀呈現(xiàn)函數(shù)變化規(guī)律，將抽象的代數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形的最低點(diǎn)判斷，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的強(qiáng)大威力。

三、分類討論視角下代數(shù)解法

站在分類討論的視角下解法，最容易想到，但是，計(jì)算卻是最復(fù)雜的。

去絕對值符號，這一步和方法二是一樣的，由此，就把函數(shù)f(x)轉(zhuǎn)化為在各個區(qū)間內(nèi)的一次函數(shù)求最值問題。

區(qū)間一：當(dāng)x小于等于a時，由于x的系數(shù)是-3，即函數(shù)單調(diào)遞減。所以，當(dāng)x=a時，f(x)取值最小，最小值為-2a+b+c。（1）

區(qū)間二：當(dāng)x大于a且小于等于b時，由于x的系數(shù)是-1,即函數(shù)單調(diào)遞減。所以，當(dāng)x=b時，f(x)取最小值，最小值為c-a。

區(qū)間三：當(dāng)x大于b且小于等于c時，由于x的系數(shù)是1，即函數(shù)單調(diào)遞增。所以，f(x)>f(b)=c-a。

區(qū)間四：當(dāng)x>c時，由于x的系數(shù)是3，即函數(shù)單調(diào)遞增。所以，f(x)>f(c)=2c-a-b。（2）

因?yàn)?，a<b。所以，(1)式=-2a+b+c=c-a+b-a>c-a。

因?yàn)?，b<c。所以，(2)式=2c-a-b=c-a+c-b>c-a。

綜上所述，f(x)的最小值為c-a。由此，問題得以解決。

三種解法背后的思維過程

回望上面三種解法，顯然第一種解法最簡單。但是第一種解法卻是最不容易想到的，雖然第一種解法只要能想到利用絕對值的幾何意義就能順利解決。那么，為什么這種解法最不容易想到呢？因?yàn)榇蟛糠秩藢W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并不是去嘗試著理解數(shù)學(xué)，而是去背誦數(shù)學(xué)，死記硬背數(shù)學(xué)概念，并不能使你誕生這樣的神來之筆。如果你在平時的訓(xùn)練過程中嘗試著去理解絕對值的幾何意義，那么，在遇到此類問題時，你就有很大的可能誕生這樣的靈感。

第二種解法更加具有通用性。通過函數(shù)圖像將代數(shù)關(guān)系可視化，不僅能快速定位最值，更能揭示函數(shù)的整體變化規(guī)律。這種方法在函數(shù)問題中具有普適性，是連接代數(shù)與幾何的橋梁。數(shù)形結(jié)合把函數(shù)抽象的變化關(guān)系用直觀的方式呈現(xiàn)出來，更容易給問題的求解帶來靈感。

第三種方法最容易想到，不需要太多的思考，只要按部就班的找到每個區(qū)間的最小值，然后在所有的最小值中尋找最小值即可，但是這種解法計(jì)算量卻是最多的，而且也很容易出錯，第二種和第三種解法本質(zhì)的差別就在于是否結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想這個直觀的思維利器。

所以，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，不在于死記硬背，而是在于嘗試著重走數(shù)學(xué)創(chuàng)造的過程，嘗試著理解數(shù)學(xué)概念，嘗試著去推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式，在不斷地重走數(shù)學(xué)創(chuàng)造的過程中逐步積累數(shù)學(xué)靈感，久而久之你也能誕生神來之筆。

每當(dāng)我看到大家談“數(shù)學(xué)”色變，每當(dāng)我看到世人面對數(shù)學(xué)時眼中流露出恐懼之色時，我都想告訴他們，他們對數(shù)學(xué)的感覺是錯誤的，每當(dāng)我看到數(shù)學(xué)被世人誤解，總有種痛心的感覺，我想告訴他們數(shù)學(xué)真實(shí)的面貌。所以，我毅然決然地來實(shí)現(xiàn)這個夢想，把數(shù)學(xué)真實(shí)的面貌展現(xiàn)給大家，最終，讓大家愛上數(shù)學(xué)。

我主要圍繞K12數(shù)學(xué)從五個維度抽絲剝繭把真正的數(shù)學(xué)展現(xiàn)給大家。