如圖，正方形ABCD中，E、F、G三點分別在邊AD、AB、CD上，且△EFG為等邊三角形，

若AF=5，DG=6，則正方形的邊長為___________

方法一：一線三角，全等

在直線AD延長線上分別取點M、N，使∠AMF=∠DNG=60°

易知∠MEF+∠NEG=120°，∠MEF+∠MFE=120°得∠NEG=∠MFE

EF=EC，故△EFM?△GEN

而EN=MF=4√(3)，故DE=(7√(3)/3)

ME=GN=(10√(3)/3)，故AE=(4√(3)/3)

故AD=(11√(3)/3)

點評：此法是主流方法，對學生而言通俗易懂且方法比較巧妙，成為很多命題靈感的源.

方法二：一線三角，相似

過點E作EH⊥EF交FG的延長線于點H，

作HI⊥AD，易知△AEF~△IHE且相似比為1：√(3)

設AE=x，則HI=√(3)x，易知G為FH的中點，

AF||DG||HI，故DG為梯形AFHI的中位線，

得x=(4√(3)/3),故AD=(11√(3)/3)

點評：正三角形，除去本身的特殊性質(zhì)，常常要考慮構(gòu)造成特殊的直角三角形來解決問題；例如放在坐標系的正三角形，反比例函數(shù)中的正三角形，皆可利用此法；

方法三：與方法二一樣，同學們可自行推導計算；

方法四：共圓

作EH⊥FG于點H，連接AH、DH，

∠FAE=∠EHF=90°，故A、F、H、E四點共圓，

故∠HAQ=60°，同理可得∠HDA=60°

故△AHD為等邊三角形，作HQAD于點Q，

H為FG的中點，HQ||AD||DG，故HQ=(11/2)

故AD=(11√(3)/3)

點評：此法利用共圓亦也快速解決邊長問題，共圓的條件是利用此法的關(guān)鍵，對于學霸，這些方法應該納入方法庫中.

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