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一、定義： 1、軸對(duì)稱 對(duì)于函數(shù)來說，如果在x=a 這條直線的兩邊，向左一個(gè)x，向右一個(gè)x，它們的函數(shù)值相等: 
也就是滿足如下的數(shù)學(xué)表示: 
此時(shí)，我們就說這個(gè)函數(shù)f(x)關(guān)于x=a軸對(duì)稱。 2、點(diǎn)對(duì)稱 對(duì)于一個(gè)點(diǎn)（a，b），向左一個(gè)x，向右一個(gè)x，它們的函數(shù)值相加是這個(gè)點(diǎn)函數(shù)值的二倍，我們就說這個(gè)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)（a,b）對(duì)稱。 
也就是滿足如下數(shù)學(xué)表示： 
則函數(shù)f(x)關(guān)于（a，b）點(diǎn)對(duì)稱。 注意： 偶函數(shù)是軸對(duì)稱的一種特例。 軸對(duì)稱處，若函數(shù)可導(dǎo)，一階導(dǎo)函數(shù)值為零，函數(shù)有極值出現(xiàn)。 奇函數(shù)是點(diǎn)對(duì)稱的特例。 在x=a的兩邊，會(huì)有f(a-x)=f(a+x)，這就說明函數(shù)f(x)是關(guān)于x=a這條線“軸對(duì)稱”的。這一點(diǎn)也很好理解：如果x點(diǎn)的函數(shù)值f(x)，和另一個(gè)點(diǎn)(2a-x)的函數(shù)值f(2a-x)相等，那么就說明這兩個(gè)函數(shù)值關(guān)于它們自變量的中間值對(duì)稱，它們兩的中間值是(x+2a-x)/2=a。更進(jìn)一步，假如我們的x取任意值，都能滿足上面的要求，那就說明這個(gè)函數(shù)是關(guān)于x=a軸對(duì)稱的。這種軸對(duì)稱的情形和上一個(gè)軸對(duì)稱相同，由于兩處的函數(shù)值相等，也就意味著這兩個(gè)函數(shù)值關(guān)于變量的中間位置對(duì)稱唄，這似乎沒啥好說的。從點(diǎn)（a,0）開始，自變量向左移動(dòng)一個(gè)x得到的函數(shù)值f(a-x)，和向右移動(dòng)一個(gè)x得到的函數(shù)值f(a+x)正好相反，也就是函數(shù)值之和等于0，那這兩個(gè)函數(shù)值不就妥妥地關(guān)于點(diǎn)（a,0）對(duì)稱嗎？同理，如果點(diǎn)x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)，和（2a-x）對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(2a-x)相反，也就意味著這個(gè)函數(shù)是關(guān)于它們自變量的中間值對(duì)稱的。圖示方法同上，此處略。解釋方法同上，如果一個(gè)函數(shù)在兩個(gè)不同的自變量的時(shí)候，函數(shù)值相反，那就說明這個(gè)函數(shù)關(guān)于它們自變量的中間值點(diǎn)對(duì)稱。這一種點(diǎn)對(duì)稱情形，如果用圖形來表示，也會(huì)變得非常自然：其實(shí)，你可以把上圖想象成函數(shù)關(guān)于x軸上的點(diǎn)對(duì)稱，然后向上平移了一個(gè)段距離b而已，也就是說，在x=a這條線左右等距離的兩側(cè)，函數(shù)值相加為2b，那就說明，上面這個(gè)點(diǎn)的值和下面這個(gè)點(diǎn)的值之和是2b，兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)值是b。那函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)就變成了（a，b）.上面這些式子，都可以通過圖形推理，得以簡(jiǎn)單證明。點(diǎn)對(duì)稱，其實(shí)就是關(guān)于兩點(diǎn)中點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)對(duì)稱。對(duì)稱點(diǎn)，也就是中點(diǎn)，其橫縱坐標(biāo)，為對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)中點(diǎn)的坐標(biāo)。如果一個(gè)函數(shù)是軸對(duì)稱的，那么在它的對(duì)稱軸上，可能會(huì)取得最大或者最小值；也就意味著，如果它平滑可導(dǎo)的話，該函數(shù)在對(duì)稱軸處的一階導(dǎo)數(shù)值為0。如果一個(gè)函數(shù)是點(diǎn)對(duì)稱的，也就意味著，無(wú)論自變量怎么變化，所有函數(shù)值之和的最終結(jié)果，都由對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)的偶數(shù)倍來確定。感謝您的閱讀，文中若有不妥之處，請(qǐng)留言指正。
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