幾何最值問(wèn)題綜述：對(duì)于學(xué)生而言，刷了無(wú)數(shù)的題，總結(jié)了無(wú)數(shù)的解題方法，做了無(wú)數(shù)的筆記，積累了無(wú)數(shù)的錯(cuò)題，普遍認(rèn)為初中平面幾何問(wèn)題中，最難是幾何最值問(wèn)題，而幾何最值問(wèn)題往往又與平面幾何三大變化（平移變化、軸對(duì)稱(chēng)變化、旋轉(zhuǎn)變化）相關(guān)。

幾何最值理論依據(jù)有：①兩點(diǎn)之間，線段最短。②點(diǎn)到直線的距離，出線段最短。③三角形三邊關(guān)系。幾何最值所用思想：轉(zhuǎn)化思想

今天介紹逆等線，逆等線相對(duì)于阿氏圓和胡不歸動(dòng)點(diǎn)多，那么何為逆等線呢？?jī)蓚€(gè)動(dòng)點(diǎn)分別在直線上運(yùn)動(dòng)，且它們各自到某一定點(diǎn)的距離始終相等,那么這兩條始終相等的線段稱(chēng)為逆等線段。

題型特點(diǎn)：

①一般有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)

②兩條等線段首尾不相連

解題步驟：

①找三角形：找一條逆等線段，一條動(dòng)線段構(gòu)成的三角形。(圖中本身就有的三角形，不要添加輔助線以后構(gòu)成的三角形)

②確定該三角形的不變量。在動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，該三角形有一條邊長(zhǎng)度不變，有一個(gè)角的大小不變。

③從另一逆等線段的定點(diǎn)引一條線。使得線段長(zhǎng)度等于第二步中的那條不變的邊長(zhǎng)，與這個(gè)逆等線段的夾角等于第二步中那個(gè)不變的角。

④問(wèn)題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問(wèn)題求最值。

典型題：

如圖在△ABC中，∠ABC=60°，BC=8，AC=10，點(diǎn)D，E在AB，AC邊上運(yùn)動(dòng)，且AD=CE，則CD+BE最小值為_(kāi)________________

分析：①雙動(dòng)點(diǎn): E和D ②未首尾相連的等線段: AD=CE 符合逆等線模型;動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有AD=CE，利用AD=CE構(gòu)造全等 (利用SAS)，從而將要求和的兩條線段拼接在一起，轉(zhuǎn)化為兩定一動(dòng)的問(wèn)題，就是我們熟悉的“將軍飲馬”問(wèn)題了。

解：過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，使得CF=AC，連接CE,BF，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥FC，交FC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，如圖所示：（簡(jiǎn)寫(xiě)過(guò)程）

易證△ADC≌△CEF（SAS）

∴CD=FE

∴CD+BE=FE+BE

當(dāng)點(diǎn)F,E,B三點(diǎn)共線時(shí)，CD+BE最小

∴CD+BE最小=FE+BE=FB

∵∠ABC=60°

∴∠FCB=120°

∴∠HCB=60°

易得：CH=4,BH=4√3

∴BE=√196+48=2V61

CD+BE最小值為2V61

思考：我們可以構(gòu)造△ADF≌△CEB解決問(wèn)題嗎？

思考題：（可在評(píng)論區(qū)打出答案）

思考1：在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，CD邊上動(dòng)點(diǎn)，且AE=CF，

則BF+CE最小值為_(kāi)________

補(bǔ)充：加權(quán)逆等線

題型特點(diǎn)：

①一般有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)

②兩條等線段首尾不相連，存在倍數(shù)關(guān)系

典型題：如圖，平行四邊形ABCD，AB>AD，AD=4，∠ADB=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)為對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，

DE=2BF，連接AE，CF，則AE+2CF的最小值為 __________

分析：符合加權(quán)逆等線特點(diǎn)。

解：過(guò)點(diǎn)D的上方作DH，使得∠HDB=60°，DH=2BC（簡(jiǎn)寫(xiě)過(guò)程如下）

易證：△HDE∽△CBF（SAS）

∴EH=2CF

∴AE+2CF=AE+EH

∴當(dāng)點(diǎn)A，E，H三點(diǎn)共線時(shí)，AE+EH最小

∴AE+2CF=AE+EH=AH（如圖）

過(guò)點(diǎn)H作HM⊥AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)M

∴AE+2CF的最小值=AH=√64+48=4√7

思考題2：（可在評(píng)論區(qū)打出答案）

如圖，在正方形ABCD中，AB=1，E，F(xiàn)分別為CB，DC上的動(dòng)點(diǎn)，

且BE=2DF，則DE+2AF的最小值為_(kāi)________