電動力學(xué)：電勢的兩種多極展開 & 電勢的球諧函數(shù)展開

taotao_2016 2023-07-21 發(fā)布于北京

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?本文來回顧《電動力學(xué)》中的電勢的兩種多級展開以及電勢的球諧函數(shù)展開的相關(guān)內(nèi)容 , 就當(dāng)復(fù)習(xí)一波了 .

1. 多元函數(shù)的Taylor展開

?多極展開的理論基礎(chǔ)其實就是性質(zhì)充分良好的函數(shù)的Taylor展開, 一維的Taylor展開是我們熟知的:

不過在電動力學(xué)當(dāng)中, 我們遇到的主要是標(biāo)量值多元函數(shù)或者矢量值多元函數(shù)甚至于張量值多元函數(shù). 這里我們處理的是電勢的多極展開, 因此只需要考慮第一種情況即可.

?我們熟知的還是一元函數(shù)的Talor級數(shù), 因此最自然的想法還是用一元函數(shù)去研究多元函數(shù). 所以我們希望找到一個一元函數(shù), 使得在某種條件下給出的結(jié)果就是, 并且我們希望得到的是函數(shù)在點的一個鄰域內(nèi)任意點處的值, 當(dāng)然我們已知的是函數(shù)在處的性質(zhì). 這就要用到一個標(biāo)準(zhǔn)的技巧了: 考察和的凸組合, 這個組合恰好在處給出, 而在處給出, 表征的其實是和這兩點所連直線, 如果, 則就是這兩點所成線段(如果我們選取的是一個球形鄰域, 則球內(nèi)任意一點與球心的連線上的點必然在鄰域內(nèi)). 我們構(gòu)造輔助函數(shù)如下:

于是

注意我們已知的是在處的性質(zhì), 因此我們應(yīng)該將在處進(jìn)行展開, 即

然后按照上面提到的, , 于是

于是我們只消計算的各階導(dǎo)數(shù)即可. 現(xiàn)在注意到我們有分量展開式

其中是方向的單位矢量. 令, 則

現(xiàn)在, 進(jìn)而

注意到依舊是的函數(shù), 于是我們接下來得到

以此類推, 最終得到

將上面的式子重新改寫一下, 令, 然后引入記號

則有

接下來在上式兩邊我們令, 此時

這是因為偏微分是對函數(shù)形式求的微分, 因此我們可以變更偏微分的求導(dǎo)對象, 然后保證變更前后的點一致即可, 變更前是, 即, 這就是. 綜上所述, 我們可以得到多元函數(shù)的Taylor展開式為

另外, 我們還可以注意到下面這個恒等式:

這是因為左邊對的所有組合形式求和的時候必然會出現(xiàn)重復(fù)項, 比如說且函數(shù)為元函數(shù)時就有, , 和四種可能, 而中間兩種因為函數(shù)性質(zhì)良好(至少連續(xù)), 因此相等, 這就給出一個系數(shù), 它其實就是二項式展開的結(jié)果. 其他情況以此類推.

?接下來注意到

因此我們還可以將多元函數(shù)的Taylor展開寫成

2. 電勢的多極展開

? 眾所周知, 單個電荷在空間中處的電勢為

其中是電荷所在的空間位置, 即源點, 而稱作場點. 現(xiàn)在假設(shè)空間中電荷分布不是集中在一點, 而是彌散分布, 呈一定的電荷密度, 則我們總是可以在源點附近選取一小塊區(qū)域, 這塊區(qū)域的電荷量為, 它產(chǎn)生的電勢為

然后根據(jù)電勢疊加原理, 總的電勢就是上式的積分:

這里的積分遍歷有定義的地方, 或者說. 現(xiàn)在考察函數(shù)

令, 然后對

進(jìn)行展開, 我們得到

現(xiàn)在取, 于是, 最終我們就有

現(xiàn)在將這個表達(dá)式代入到前面電勢的積分表達(dá)式當(dāng)中, 就有

其中

現(xiàn)在注意積分是對進(jìn)行的, 因此可以將所有關(guān)于的項提出到積分外邊去, 這就可以在級展開式

這個表達(dá)式中提取出這樣的一項:

考慮到數(shù)學(xué)中將形如

稱作在處的階矩, 上面提取出的表達(dá)式就表示一種電矩. 比如說電零階距就是

表示系統(tǒng)的總電荷, 由此可以看到電勢的零級展開即為

這表明零級展開的物理意義是將彌散在空間的電荷聚集到原點, 考察其作為點電荷產(chǎn)生的電勢.

?電二階矩根據(jù)上面的寫法就應(yīng)該是

為了看出其物理含義, 我們簡化一下問題, 假設(shè)體系是電中性的, 換言之, 但是我們總是可以考察

這三個區(qū)域各自的積分結(jié)果(當(dāng)然, 我們希望這三個區(qū)域都是可測的, 這要求的性質(zhì)足夠良好, 比如說是可測函數(shù)), 根據(jù)定義, 上的積分恒等于零. 而利用積分中值定理, 存在使得

因為總電荷, 因此上面對的積分大小相等, 只是符號相反. 我們令上的積分結(jié)果為, 則上式最終給出的結(jié)果就是, 從而該體系的電二階矩為

記, 這表示一個由負(fù)電荷指向正電荷的方向矢量. 此時, 這正是電磁學(xué)中接觸到的電偶極矩, 換言之, 上面定義的電二階矩其實就是電偶極矩. 如果將等量異號的一對電荷稱作電偶極子, 則上面的計算表明一級展開的物理意義是將帶電體系分解出一個正電中心和一個負(fù)電中心, 考察這對電偶極子產(chǎn)生的電勢. 但是值得指出的是, 只有體系為電中性的時候這個詮釋才是對的, 當(dāng)體系不具備電中性的時候, 我們令, 其中被定義為在上的積分, 然后

這里是電荷量絕對值大的那方相較于多出來部分(帶符號), 的正負(fù)號取決于對應(yīng)的符號. 這個結(jié)果表明如果帶電體系不是電中性的時候電二階矩就會多出一項, 這項會和坐標(biāo)原點的選取有關(guān). 但是習(xí)慣上我們還是將此時的稱作電偶極矩, 盡管它沒法完全匹配電偶極子的這個圖像, 因為總是有些電荷沒法匹配上.

?電二階距從定義來看是一個型張量, 它的分量為

它的物理意義我們可以這樣進(jìn)行理解, 將上式改寫為

這個改寫在數(shù)學(xué)上有很大問題, 但是具備啟發(fā)性, 因為括號里面的那一項可以理解為這個方向的某個偶極子的電偶極矩, 然后我們將一對電偶極子綁定在一起, 考察了不同的電偶極子之間的偶極作用, 于是我們就將其稱作電四極矩, 即偶極子的偶極矩. 兩對偶極子需要四個電荷, 這四個電荷就構(gòu)成了電四極子. 以此類推, 電三階矩就是一對電四極子的偶極矩, 需要八個電荷, 構(gòu)成電八極子, 對應(yīng)電八極矩. 更一般的, 電階矩就是一對電極子產(chǎn)生的偶極矩, 即電極距. 電極距是一個型張量.

?綜上所述, 我們得到下述結(jié)論:

電勢的多極展開中, 第級展開表示電極子對應(yīng)的電極距產(chǎn)生的電勢. 多極展開其實就是按照電荷對電勢貢獻(xiàn)進(jìn)行的分解.

?一般而言, 物理上電四極子就已經(jīng)可以給出充分好的近似了, 因此很少會用到更高級的近似(至少教科書上不會).

?容易看到, 當(dāng)體系內(nèi)電荷分布關(guān)于原點是對稱的時候, 正電中心和負(fù)電中心都會集中于原點, 從而不產(chǎn)生電偶極矩, 因此電偶極矩是電荷分布偏離原點對稱性的結(jié)果. 類似地, 如果體系內(nèi)電荷分布是球?qū)ΨQ的, 那么在的表達(dá)式中我們只需注意到被積函數(shù)對各自指標(biāo)是奇函數(shù), 于是積分是零. 這表明電四極矩是電荷分布偏離球?qū)ΨQ性的結(jié)果.

?除此以外, 還有一點需要指出的是在計算積分

的時候, 我們或許應(yīng)該對整個被積函數(shù)進(jìn)行展開, 但是上面我們卻只是對進(jìn)行了展開, 這或許是因為并不是一個實驗上容易測量的東西, 所以它的各階導(dǎo)數(shù)也很不好處理. 如果只是對展開, 從上面就能看到, 我們會將電荷分布封裝到一個系數(shù)當(dāng)中, 于是可以通過實驗得到的電勢關(guān)于進(jìn)行擬合, 從而得到這些系數(shù), 這不會涉及不好測量的細(xì)節(jié).

3. 電四極矩的性質(zhì)以及重定義

?首先從定義出發(fā), 可以得到電四極矩張量是一個對稱張量, 即. 接下來我們對其進(jìn)行重定義來讓其性質(zhì)更好看一點. 考慮問題的出發(fā)點在于我們不希望發(fā)生變化, 換言之, 我們希望

是不變的, 其中

我們考察問題的出發(fā)點是一個恒等變換: 給一個式子加上零結(jié)果不變. 而零在哪里呢? 首先注意到恒等式

這里是一個標(biāo)量值函數(shù)而是一個矢量值函數(shù). 另外是另一個結(jié)論:

這是因為

于是.

然后我們用上面的恒等式來考察這個式子:

現(xiàn)在代入, 并注意到

于是我們最終看到

或者寫成

這樣一來我們可以在中加入這樣一個恒為零的項. 這個式子和的表達(dá)式已經(jīng)很是相似了, 我們給加上上式的倍數(shù)不會改變原本的電勢的結(jié)果. 現(xiàn)在注意一下, 上面這個式子其實最終得到的就是這個張量算子的跡, 這提醒我們考察的跡, 而

我們不難注意到, 如果給上面的展開式乘以一個加到原本的表達(dá)式中, 就能得到.

不過考慮到的跡為, 更好的做法是將其歸一化一下變成, 即

這就引入了電四極矩的標(biāo)準(zhǔn)定義:

在這個定義下, 我們天然地得到

即是一個對稱無跡張量, 這也意味著只有5個獨立分量(因為對稱性有六個獨立分量, 無跡條件又消除一個自由度, 最終剩下五個).

?從原始定義到常規(guī)定義的過程一般教科書是略過的, 其實這里可以看到, 出現(xiàn)在電四極矩中的那個系數(shù)其實就是為了保證最終的結(jié)果是零跡的, 從而在不損失信息(電勢)的條件下給出最多的對稱性.

4. 電勢的球諧函數(shù)展開

?在第二節(jié)中介紹的是電勢通過笛卡爾坐標(biāo)進(jìn)行展開, 但是我們理論上的展開方式不止這一種, 球坐標(biāo)系也是常用的坐標(biāo)系之一. 因此, 我們還有必要研究一下球坐標(biāo)系下的多極展開形式. 毋庸置疑, 這會和球諧函數(shù)有關(guān). 眾所周知, 電勢滿足Laplace方程:

這個方程一旦出現(xiàn)在球坐標(biāo)系下就少不了球諧函數(shù)登場. 這里也順帶復(fù)習(xí)一下數(shù)學(xué)物理方程. 首先寫出Laplace算子的表達(dá)式:

然后設(shè), 代入上式得到

然后等式兩邊同時乘以, 得到

現(xiàn)在分理出第一個變量, 上式第一項只是的函數(shù), 而剩下兩項不含, 因此移項后相等意味著等于同一個數(shù), 即

以及

第一個式子展開后即為

令, 則, 進(jìn)而

將其代入前面的式子, 得到

這是一個二階常系數(shù)微分方程, 它的通解為

代入, 即有

這里是特征根, 滿足和. 于是可以取, 此時, , 于是

在的假設(shè)下, 原本的角向方程寫成