散度運算實例

最簡單最常用的矢量函數是位置矢量，在直角坐標系中，這個函數的三個分量為，根據矢量函數的散度的計算公式，在直角坐標系中，散度可以按照以下公式運算：

由此得到位置矢量函數的散度。

有時候還需要對位置矢量方向的單位矢量做散度。單位矢量本身是不容易進行運算的，因此要把這個單位矢量用位置矢量本身來表示：。這個矢量在直角坐標系中的解析表達式為

第一個重要的矢量函數是數值與距離的平方成反比的矢量函數：。這個函數作為有心力的表達式首次出現在有關萬有引力的問題中，之后在電磁學的領域中頻繁地出現。我們來看一看，對這個函數做散度會得到什么結果。在直角坐標系中，這個函數的解析表達式為

三個分量的偏導數分別為

由此得到這個矢量函數的散度

咋一看，事情似乎已經做完了。但是，細心想一想，就會發(fā)現，這個平方反比的函數在原點處是奇異的，因此，在原點處一階偏導數不存在。但是，用常規(guī)的求偏導數的方法得到的結果是一個有限的確定的正常值，因此，這個矢量函數在原點處的散度不能用常規(guī)的求導數的方法得到，而必須按照散度的定義式進行運算。其實，函數在原點處是奇異的這種情況在求標量函數的梯度的例子中就曾經出現過，當時已經得到該標量函數的梯度為。不過，這個用常規(guī)的求導數的方法得到的梯度表達式當位置趨向原點時是奇異的；另一方面，在這個例子中，被求散度的標量函數在原點處的一階偏導數顯然是不存在的。因此，用求導數的方法得到的梯度表達式適用于全空間。這種情況在對電偶極子的勢取梯度時也曾經出現過。

結果發(fā)現，這個函數在原點處的散度確實是奇異的，并且是無窮大這種奇異性。于是，矢量函數的散度在原點處是無窮大，在其余的位置則等于零。這種情況在數學上可以用一個叫做函數的特殊的函數來表示。函數具有這樣的性質：

其中V是圍繞原點的一個任意形狀和任意大小的空間。為了得到這個平方反比函數在原點處的散度的具體表達式，令，取一個以原點為中心，半徑R為任意大小的球面S。在這個球面內的空間V中積分剛剛設令的表達式，并利用散度定理將球體內的積分轉換成球面上的積分：

這意味著，函數具有函數的特征。于是，平方反比矢量函數的散度在原點處的這種奇異性與非原點處的結果可以結合起來，用一個統(tǒng)一的表達式來表示這個函數在全空間上的散度：

把這三個偏導數加起來就得到平面電磁波的電場強度的散度：

從上面的例子中我們似乎感覺到了對矢量函數做散度運算的一些規(guī)則：由于做散度是一種偏導數運算，所以，導數的一些運算法則應該在散度運算中有所表現。讓我們在更普遍的情形下對這些規(guī)則做出推演。設想有一個矢量函數，它由一個標量函數和另一個矢量函數相乘得到：。現在對這個矢量函數做散度運算：

這就得到了對標量函數與矢量函數相乘做散度的運算法則。如果標量函數是一個常數，第一項等于零；如果矢量函數A是一個常矢量，第二項等于零，這正是在平面電磁波那個例子中得到的結果。此外，凡是一階導數所具有的性質，矢量函數的散度都同樣適用。比如說，兩個矢量函數之和的散度等于對這兩個矢量函數分別做散度之后再求和。如此等等，不再累贅。