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在被稱為朗蘭茲綱領(lǐng)的這個(gè)產(chǎn)生大量數(shù)學(xué)思想的種子開始萌芽50多年后，令人驚訝的新發(fā)現(xiàn)正在涌現(xiàn)。

作者：Rachel Crowell 2022-3-21

譯者：zzllrr小樂(lè) 2022-6-30

在數(shù)學(xué)中，有一個(gè)龐大且不斷擴(kuò)大的猜想、定理和思想組成的網(wǎng)絡(luò)，稱為朗蘭茲綱領(lǐng)。該綱領(lǐng)鏈接了看似斷開連接的子領(lǐng)域。它是如此的有力，以至于一些數(shù)學(xué)家說(shuō)它——或者說(shuō)它的某些方面——位于千禧年獎(jiǎng)問(wèn)題（Millennium Prize Problems）的重要行列，千禧年獎(jiǎng)問(wèn)題是數(shù)學(xué)界一個(gè)最熱門的開放問(wèn)題列表（截至2022年，七大難題中僅有龐加萊猜想被解決，zzllrr小樂(lè)譯注）。加州大學(xué)伯克利分校的數(shù)學(xué)家愛德華·弗倫克爾（Edward Frenkel）甚至將朗蘭茲綱領(lǐng)稱為“一個(gè)數(shù)學(xué)大統(tǒng)一理論”(以對(duì)應(yīng)于物理學(xué)的大統(tǒng)一理論GUT-Grand Unified Theory，zzllrr小樂(lè)譯注 )。

該綱領(lǐng)以新澤西州普林斯頓高等研究院的數(shù)學(xué)家羅伯特·朗蘭茲（Robert Langlands）的名字命名。四年前，他被授予阿貝爾獎(jiǎng)，這是數(shù)學(xué)領(lǐng)域最負(fù)盛名的獎(jiǎng)項(xiàng)之一，他因?yàn)樗木V領(lǐng)被描述為“有遠(yuǎn)見的人”。

朗蘭茲已經(jīng)退休，但近年來(lái)，該綱領(lǐng)已經(jīng)萌芽成“幾乎自我完善的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，有許多不同的部分”，這些部分由“共同的靈感源泉”聯(lián)合起來(lái)，薩斯喀徹溫大學(xué)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)物理學(xué)家Steven Rayan說(shuō)。它有“許多化身，其中一些仍然開放，一些已經(jīng)被用美麗的方式解決了。

越來(lái)越多的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)原始綱領(lǐng)及其分支——幾何朗蘭茲與其他科學(xué)領(lǐng)域之間的聯(lián)系。研究人員已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了其與物理學(xué)的緊密聯(lián)系，Rayan和其他科學(xué)家繼續(xù)探索新的聯(lián)系。他有一種預(yù)感，隨著時(shí)間的推移，這些綱領(lǐng)和其他領(lǐng)域之間也會(huì)找到聯(lián)系?！拔艺J(rèn)為我們只是處在冰山一角，”他說(shuō)?！拔艺J(rèn)為，未來(lái)幾十年最引人入勝的一些工作是看到朗蘭茲在科學(xué)領(lǐng)域的結(jié)果和表現(xiàn)，到目前為止，與這種純數(shù)學(xué)的相互作用可能還很微不足道。Rayan補(bǔ)充說(shuō)，總的來(lái)說(shuō)，朗蘭茲仍然很神秘，要知道它的發(fā)展方向，他希望“看到對(duì)這些綱領(lǐng)真正來(lái)自哪里的理解。

令人費(fèi)解的網(wǎng)絡(luò)

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朗蘭茲綱領(lǐng)一直是一場(chǎng)出乎意料的誘人舞蹈，多倫多大學(xué)數(shù)學(xué)家詹姆斯·亞瑟（James Arthur）說(shuō)。朗蘭茲是亞瑟在耶魯大學(xué)的導(dǎo)師，亞瑟于1970年在那里獲得博士學(xué)位。（朗蘭茲拒絕接受這個(gè)故事的采訪）。

“我基本上是他的第一個(gè)學(xué)生，當(dāng)時(shí)我很幸運(yùn)能遇到他，”亞瑟說(shuō)?！八煌谖乙娺^(guò)的任何數(shù)學(xué)家。我提出的任何問(wèn)題，特別是關(guān)于數(shù)學(xué)的更廣泛方面的問(wèn)題，他都會(huì)清楚地回答，通常是以一種比我所能想象的更鼓舞人心的方式。

在那段時(shí)間里，朗蘭茲為后來(lái)與他同名的綱領(lǐng)奠定基礎(chǔ)。1969年，朗蘭茲手寫了一封17頁(yè)的信，寫給法國(guó)數(shù)學(xué)家安德烈·韋伊（André Weil）。在那封信中，朗蘭茲分享了后來(lái)被稱為“朗蘭茲猜想”的新想法。

亞瑟指出，1969年，朗蘭茲在會(huì)議上發(fā)表了演講，分享了最終發(fā)展成為朗蘭茲綱領(lǐng)的七個(gè)猜想。有一天，亞瑟向他的導(dǎo)師要了一份基于這些講座的預(yù)印本文件。

“他心甘情愿地給了我一個(gè)，毫無(wú)疑問(wèn)，他知道這超出了我的范圍，”亞瑟說(shuō)?！暗嗄陙?lái)，它也超越了其他人。然而，我可以說(shuō)它是基于一些真正非凡的想法，即使其中的所有內(nèi)容對(duì)我來(lái)說(shuō)都是陌生的。

核心猜想

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有兩個(gè)猜想是朗蘭茲綱領(lǐng)的核心?！袄侍m茲綱領(lǐng)中的幾乎所有東西都以某種方式來(lái)自它們，”亞瑟說(shuō)。

互反猜想（reciprocity conjecture）與亞歷山大·格羅滕迪克（Alexander Grothendieck）的工作有關(guān)，其以代數(shù)幾何研究而聞名，包括他對(duì)“動(dòng)形”（motive）的預(yù)測(cè)?！拔艺J(rèn)為格羅滕迪克之所以選擇[動(dòng)形]這個(gè)詞，是因?yàn)樗阉醋魇悄阍谒囆g(shù)、音樂(lè)或文學(xué)中擁有的主旨（motif，又譯為主題、動(dòng)機(jī)，zzllrr小樂(lè)譯注）的數(shù)學(xué)類比物：隱藏的想法在藝術(shù)中沒有明確闡述，但背后的東西以某種方式支配著它們?nèi)绾谓M合在一起，”亞瑟說(shuō)。

亞瑟指出，互反猜想認(rèn)為這些動(dòng)形來(lái)自朗蘭茲發(fā)現(xiàn)的一種不同類型的分析數(shù)學(xué)對(duì)象，稱為自守表示（automorphic representation）。他補(bǔ)充說(shuō)：“'自守表示'只是滿足薛定諤方程類似物的物體的流行行話。薛定諤方程預(yù)測(cè)了在某種狀態(tài)下找到粒子的可能性。

第二個(gè)重要的猜想是函子性猜想（functoriality conjecture），也簡(jiǎn)稱為函子性。它涉及對(duì)數(shù)域進(jìn)行分類。想象一下，從一個(gè)系數(shù)為整數(shù)的變量的方程開始，例如x2 + 2x + 3 = 0，然后尋找該方程的根。這個(gè)猜想預(yù)測(cè)，相應(yīng)的域?qū)⑹恰巴ㄟ^(guò)對(duì)這些根的求和、求乘積和有理數(shù)倍數(shù)，所得到的最小的域，”亞瑟說(shuō)。

探索不同的數(shù)學(xué)“世界”

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亞瑟說(shuō)，通過(guò)最初的綱領(lǐng)，朗蘭茲“發(fā)現(xiàn)了一個(gè)全新的世界”。

幾何朗蘭茲的分支擴(kuò)大了數(shù)學(xué)所涵蓋的領(lǐng)域。Rayan解釋了原始綱領(lǐng)和幾何綱領(lǐng)提供的不同視角。“普通的朗蘭茲是一堆想法，包括對(duì)應(yīng)（correspondences），對(duì)偶（dualities）和在一個(gè)點(diǎn)上對(duì)世界的觀察，”他說(shuō)?！澳愕氖澜鐚⒂梢幌盗邢嚓P(guān)數(shù)字來(lái)描述。你可以測(cè)量你所在位置的溫度;你可以測(cè)量那個(gè)點(diǎn)的重力強(qiáng)度，“他補(bǔ)充道。

但是，使用幾何綱領(lǐng)，你的環(huán)境變得更加復(fù)雜，并具有自己的幾何圖形。你可以自由移動(dòng)，在你訪問(wèn)的每個(gè)點(diǎn)收集數(shù)據(jù)?！澳憧赡懿惶P(guān)心單個(gè)數(shù)字，而是更關(guān)心它們?cè)谀愕氖澜缋锸侨绾巫兓模盧ayan說(shuō)。你收集的數(shù)據(jù)“將受到幾何學(xué)的影響”。因此，幾何綱領(lǐng)“本質(zhì)上是用函數(shù)代替數(shù)字”。

數(shù)論和表示論通過(guò)幾何朗蘭茲綱領(lǐng)連接。“從廣義上講，表示論是對(duì)數(shù)學(xué)中對(duì)稱性的研究，”馬薩諸塞大學(xué)阿默斯特分校的數(shù)學(xué)家Chris Elliott說(shuō)。

使用幾何工具和思想，幾何表示論擴(kuò)展了數(shù)學(xué)家對(duì)與對(duì)稱相關(guān)的抽象概念的理解，Elliot指出。他說(shuō)，表示論的這個(gè)領(lǐng)域是幾何朗蘭茲綱領(lǐng)“生活”的地方。

與物理學(xué)的交集

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幾何綱領(lǐng)已經(jīng)與物理學(xué)聯(lián)系在一起，預(yù)示著與其他科學(xué)領(lǐng)域的可能聯(lián)系。

2018年，Rayan小組的博士后研究員Kazuki Ikeda在數(shù)學(xué)物理雜志發(fā)表了一項(xiàng)研究（ https://aip./doi/10.1063/1.4998635 ），他說(shuō)這項(xiàng)研究與電磁對(duì)偶性（electromagnetic duality）有關(guān)，電磁對(duì)偶是“物理學(xué)中一個(gè)長(zhǎng)期已知的概念”，例如，在量子計(jì)算機(jī)的糾錯(cuò)代碼中可以看到。Ikeda說(shuō)，他的研究結(jié)果“是世界上第一個(gè)表明朗蘭茲綱領(lǐng)是一個(gè)極其重要和強(qiáng)大的概念，不僅可以應(yīng)用于數(shù)學(xué)，還可以應(yīng)用于凝聚態(tài)物理學(xué)”——對(duì)固態(tài)物質(zhì)的研究——和量子計(jì)算。

根據(jù)Rayan的說(shuō)法，凝聚態(tài)物理學(xué)和幾何綱領(lǐng)之間的聯(lián)系最近得到了加強(qiáng)。“在過(guò)去的一年里，各種研究已經(jīng)走上舞臺(tái)，”他說(shuō)，包括他自己在量子物質(zhì)背景下使用代數(shù)幾何和數(shù)論的工作（https://www./doi/10.1126/sciadv.abe9170 ）。

其他工作在幾何綱領(lǐng)和高能物理學(xué)之間建立了聯(lián)系。2007年，加州理工學(xué)院的理論物理學(xué)家安東·卡普斯廷（Anton Kapustin）和高等研究院（Institute for Advanced Study）的數(shù)學(xué)和理論物理學(xué)家愛德華·威滕（Edward Witten）發(fā)表了Rayan所說(shuō)的“一篇美麗的里程碑論文”，“為理論高能物理學(xué)中幾何朗蘭茲的積極生活鋪平了道路”。在論文中，Kapustin和Witten寫道，他們的目標(biāo)是“展示如何將這個(gè)綱領(lǐng)理解為量子場(chǎng)論的一個(gè)篇章”（ https://www./site/pub/files/_fulltext/journals/cntp/2007/0001/0001/CNTP-2007-0001-0001-a001.pdf ）。

Elliott 指出，從數(shù)學(xué)角度看待量子場(chǎng)論可以幫助收集有關(guān)其基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的新信息。例如，朗蘭茲可以幫助物理學(xué)家為與我們自己的世界維數(shù)不同的世界設(shè)計(jì)理論。

除了幾何綱領(lǐng)之外，最初的朗蘭茲綱領(lǐng)也被認(rèn)為是物理學(xué)的基礎(chǔ)，亞瑟說(shuō)。但探索這種聯(lián)系“可能需要首先找到一個(gè)將原始綱領(lǐng)和幾何綱領(lǐng)聯(lián)系起來(lái)的總體理論，”他說(shuō)。

這些綱領(lǐng)的范圍可能不會(huì)止步于數(shù)學(xué)和物理?！拔蚁嘈?，毫無(wú)疑問(wèn)，[它們]對(duì)科學(xué)有解釋，”Rayan說(shuō)?！肮适碌哪蹜B(tài)部分將自然而然地導(dǎo)致對(duì)化學(xué)的嘗試。此外，他補(bǔ)充說(shuō)，“純數(shù)學(xué)總是進(jìn)入其他科學(xué)領(lǐng)域。這只是時(shí)間問(wèn)題。

原文鏈接：

https://www./article/the-evolving-quest-for-a-grand-unified-theory-of-mathematics/

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小樂(lè)數(shù)學(xué)科普：朗蘭茲綱領(lǐng)是什么？——譯自量子雜志Quanta Magazine