作者：Leila Sloman（寫作實習(xí)生）2022-4-21 譯者：zzllrr小樂 2022-4-24

最近的一篇論文中，普林斯頓大學(xué)的Manjul Bhargava（曼紐爾·巴爾加瓦）解決了一個 85 年前的猜想，該猜想是關(guān)于最古老的數(shù)學(xué)難題之一：多項式方程的解，例如x2 – 3 x + 2 = 0。“這是一個很大的問題，著名的老問題，”蒙特利爾大學(xué)教授安德魯·格蘭維爾（ Andrew Granville）說?！癧巴爾加瓦] 有一種有趣的、不同的方法，很有創(chuàng)意?！?/p>

為了理解多項式，數(shù)學(xué)家研究它們的根，就是使多項式等于零的x值。如果將數(shù)字 1 或 2 代入x2 – 3 x + 2，你將得到零，從而 1 和 2 是該多項式的根。

方程x2 – 5 = 0 有點棘手。這個多項式不能用有理數(shù)（一個由兩個整數(shù)相除的分數(shù)）來求解。所以數(shù)學(xué)家定義了一個新的數(shù)字來解這個方程并稱之為√5。但我們對√5所知道的是它的平方是 5。一旦你有√5，你可以輕松地將其乘以 –1 以獲得第二個根：–√5。

這兩個方程在另一個關(guān)鍵方面有所不同。x2 – 5 = 0的根有助于求解我們數(shù)學(xué)系統(tǒng)中的許多其他方程，例如x2 – 20 = 0。（請注意，這里我們的數(shù)學(xué)系統(tǒng)僅限于多項式和有理數(shù)。）但是如果我們開始這樣使用它們的話，我們會發(fā)現(xiàn)√5和 -√5完全可以互換。對于x2 – 20 = 0，2√5  和 -2√5都是解（更一般地說，在任何情況下，都這樣）。√5處處有用，-√5也是。

這種情況是迄今為止最常見的情況。有根不可互換的有理方程很少見，就像在我們的第一個示例中一樣，如果你在數(shù)學(xué)系統(tǒng)中開始使用 2 代替 1，就會產(chǎn)生廢話?！叭绻闱袚Q 1 和 2，那么所有算術(shù)都會死掉，” 巴爾加瓦 的合作者、南卡羅來納大學(xué)教授弗蘭克·索恩 ( Frank Thorne ) 說。

范德瓦爾登猜想由荷蘭數(shù)學(xué)家 Bartel Leendert van der Waerden 于 1936 年提出，試圖量化有多少多項式具有不可互換的根。幾十年來的進展是穩(wěn)定但緩慢的。但最近，這一進展加速了，被推動整個數(shù)論的信風(fēng)推向前方?！坝绕涫菙?shù)論中更具體、更經(jīng)典的問題，在過去 20 年中確實卷土重來，”倫敦皇家霍洛威大學(xué)教授雷納·迪特曼 ( Rainer Dietmann ) 說。

為此，巴爾加瓦在 2014 年獲得了菲爾茲獎（被廣泛認為是數(shù)學(xué)界的最高榮譽）。“巴爾加瓦推倒了一堆門，邀請人們?nèi)ヌ剿?，”索恩說。

2021年夏天，關(guān)于范德瓦爾登猜想的新工作如潮水般涌現(xiàn)。華威大學(xué)的Dietmann 和他的合作者Sam Chow，于 6 月28 日發(fā)布了一篇取得重大進展的新論文，解決了幾個關(guān)鍵案例。接下來的一周，另一個六人團隊分享了他們自己的預(yù)印本。

在這當中，巴爾加瓦 于 7 月 1 日進行了一次在線演講。在演講中，巴爾加瓦 展示了對范德瓦爾登猜想稍作修改的證明。“他已經(jīng)做到了只剩毫厘之差，”索恩說。

僅僅兩周后，在美洲數(shù)學(xué)大會期間的一次在線演示中，巴爾加瓦 分享了完全證明范德瓦爾登猜想的新工作。他于 11 月在網(wǎng)上發(fā)布了他的論文。

范德瓦爾登對有多少多項式具有不可互換的根感興趣。但是對于無數(shù)個多項式，他不得不以某種方式限制數(shù)目。

他從多項式的次數(shù)開始，即公式中出現(xiàn)的x的最高冪。多項式x2 + 1 的次數(shù)為 2，而x1? – 4 的次數(shù)為 17。然后他只研究了首項系數(shù)為 1 的多項式。這些被稱為首一多項式（ monic polynomial）。（通過僅考慮首一多項式，你可以消除一些重復(fù)計算：2 x2 – 6 x + 4 與x2 – 3 x + 2具有完全相同的根。）

最后，他通過選擇一個名為H的正數(shù)來限制其余的系數(shù)。他只研究了系數(shù)都在-H和H之間的多項式。

范德瓦爾登猜想指出，如果你計算你選擇的多項式——所有系數(shù)在-H和H之間的首一n次多項式——它們中大約H??1個將有不可互換的根。巴爾加瓦證實了這一說法。

經(jīng)過多年的仔細思考，這個證明才最終形成?！拔覕鄶嗬m(xù)續(xù)地思考這個問題至少七八年了，”巴爾加瓦說。“任何時候出現(xiàn)一些想法，即使跟其他問題有關(guān)，我都會想，哦，它是否適用于這個問題？”

最終的解充分利用了 巴爾加瓦 花費大量時間收集的技術(shù)。他沒有一次性數(shù)他的多項式池，而是將它們分成三個不同的組。根據(jù)判別式對多項式分組（判別式是與多項式的根相關(guān)的數(shù)字）。然后，巴爾加瓦使用不同的策略進攻每一組。

“它們都是來玩的。這就是讓我如此興奮的原因，”巴爾加瓦 說。“這些來自不同領(lǐng)域的各種想法像拼圖一樣匯集在一起，以解決問題，完美地涵蓋了所有可能的情況。”

盡管新論文解決了范德瓦爾登的猜想，但仍有無數(shù)前進的道路。“像 巴爾加瓦 這樣的人的一大優(yōu)點是，他的獨創(chuàng)性往往會打開事物，給其他人思考和發(fā)展的機會，”格蘭維爾說。

例如，數(shù)學(xué)家可以考慮當他們從比有理數(shù)更多的數(shù)字集合開始時會發(fā)生什么。他們還可以調(diào)查范德瓦爾登猜想背后的細節(jié)：如果你不能以你想要的方式交換根，你怎么能交換它們呢？特定模式是否特別容易出現(xiàn)？

即使 巴爾加瓦 的技術(shù)不能直接導(dǎo)致數(shù)論的下一個突破，Thorne 相信這篇論文將產(chǎn)生更無形的影響?！拔艺J為，閱讀這篇論文就是要意識到這些結(jié)果有待證明，”他說?！癧巴爾加瓦] 敢于相信這是可能的，他向世界證明了他是對的?！?/p>