從古典到現(xiàn)代的數(shù)學(xué) | 菲爾茲獎得主吳寶珠談平面幾何在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的意義

taotao_2016 2022-05-24 發(fā)布于遼寧

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【譯者按】本文刊發(fā)于《π 雜志》發(fā)刊號頭版專欄《從古典到現(xiàn)代的數(shù)學(xué)》。在本文中作者吳寶珠簡單地解釋了如何從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的視角來觀察古老的平面幾何，或者反之，如何從古老的平面幾何“鏈接”到現(xiàn)代的幾何思想。數(shù)學(xué)史的主流是概念體系的演變，是思想的進化，這一點在中國的數(shù)學(xué)教育中體現(xiàn)得非常之弱，不能不說是個巨大的遺憾。希望這一系列精心寫作精心翻譯的短文有助于彌補這個缺憾。

數(shù)年前潘老師建議我將這一系列文章翻譯出來，今天終于可以交上二十分之一的差了。

平面上的變換

歐氏平面幾何的研究對象是平面上的點、線與圓，及其相對位置關(guān)系。19世紀末，在F. 克萊因, B. 黎曼, H. 龐加萊……的革命性思想的影響下，幾何學(xué)在形式與內(nèi)容兩方面都經(jīng)歷了深刻的轉(zhuǎn)變。幾何學(xué)的對象不再是點與線，而是變換群及其不變量。

歐氏幾何中那些人所熟知的直線與圓的問題和高等數(shù)學(xué)中變換的問題之間是有聯(lián)系的，但在高等數(shù)學(xué)教程中，這種聯(lián)系常常被人們忽視。本文旨在闡釋這種聯(lián)系。

為了理解本文，讀者需要具備線性代數(shù)的某些基本概念，知道群的定義。

1. 仿射變換

歐氏幾何的平面可以用實數(shù)域上的二維向量空間來建模。平面上的每個點都由其坐標所確定，其中是兩個實數(shù)。原點記為。直線對應(yīng)于中由形如的方程所定義的子集，其中都是實數(shù)。方程定義的直線經(jīng)過原點，當且僅當。

本節(jié)關(guān)心的變換是把直線變成直線的雙射。所有這樣的變換組成一個群，因為對于給定的兩個變換和我們總有其合成變換。

根據(jù)定義，兩條平行直線不相交，因此它們在變換下的像仍然是兩條平行直線。同理，每個變換都把平行四邊形變成平行四邊形。如果固定原點，也即，那么就必須是上的線性變換。上的線性變換形如

其中為實數(shù)，且。

如上的二階實方陣全體所成的集合關(guān)于矩陣乘法是一個群，記為。兩個變換的合成對應(yīng)于兩個矩陣的乘積。

未必固定原點的變換是如上所示與組成的方陣對應(yīng)的線性映射復(fù)合上沿著某個向量的平移：

仿射變換，視頻來自Leios Labs

因此，變換可以用一個矩陣與一個向量來確定，對于所有，的公式為：

如此說來變換群就是兩個群的直積嗎？注意，中的合成法則比直積的合成法則略微復(fù)雜一些：若且，則有

以上公式表明，仿射變換群是個半直積

的每個元素可以表示為一個有序?qū)?span>，其中，，合成法則由公式

給出。

僅僅牽涉到點、線與平行概念的平面幾何定理，諸如泰勒斯定理、塞瓦定理、梅涅勞斯定理……都可以歸約到仿射變換群的結(jié)構(gòu)問題。

在本文中，我們略過這一部分，而直接前進到平面幾何更有趣的部分，那里可以考慮角度與圓的概念。角度與圓的存在對應(yīng)于的一個子群：保角變換群。

2. 平面保角變換

加入距離的概念之后平面幾何變得更加有趣。從點到原點的距離由勾股定理給出：

除了直角坐標，我們也可以用極坐標來確定平面上的點，其中，是從射線到射線的有向角。從極坐標轉(zhuǎn)換到直角坐標，我們有公式：

如果變換固定原點，保持距離與有向角，那么必然是圍繞著原點的旋轉(zhuǎn)。關(guān)于原點轉(zhuǎn)過角度為的旋轉(zhuǎn) 是如下的線性變換：

把旋轉(zhuǎn)的復(fù)合公式

寫成矩陣乘法的形式，算一下，我們就得到以下熟知的三角學(xué)公式：

所有旋轉(zhuǎn)矩陣組成一個群，記為，這個群同構(gòu)于單位圓上的點組成的群。

更一般地，固定原點并保持有向角的變換就是旋轉(zhuǎn) 復(fù)合上以正實數(shù) 為位似比，以原點為位似中心的位似變換?？梢娝泄潭ㄔc的保角變換所成之群是

保角變換在平面上的作用可以借助于復(fù)數(shù)得到方便的描述。對于實平面上具有坐標的點，指定為與之對應(yīng)的復(fù)數(shù)，這樣就把實平面與復(fù)數(shù)集等同起來。那么固定原點的保角變換所成之集合就是

其中圍繞原點轉(zhuǎn)角為的旋轉(zhuǎn) 相應(yīng)于復(fù)數(shù) ，位似比為的位似變換相應(yīng)于復(fù)數(shù) ，二者的合成就相應(yīng)于復(fù)數(shù) 。在上的作用由復(fù)數(shù)乘法給出。從而全部保角變換所成之集合就是如下半直積：

每個元素都以的形式作用在上。

在將歐氏平面等同于復(fù)數(shù)集合之后，保角變換群就可以等同于群，我們就能透過不變量理論的棱鏡來重新審視平面幾何的基本性質(zhì)。

在上作用的基本不變量是單比

的確，對于任意，使用公式易見

直線與點的基本性質(zhì)都可以通過單比簡明扼要地表達出來：

· 三點共線當且僅當單比為實數(shù)：

· 兩條射線與成直角當且僅當單比為純虛數(shù)：

· 三點按順時針方向排列成一個等邊三角形的三個頂點，當且僅當

其中是三次本原單位根。易見，這也等價于

歐拉線，圖片來自維基百科

我們可以試著應(yīng)用以上觀察，通過復(fù)數(shù)來證明幾條簡單的幾何定理。一個典型的例子是歐拉線定理：三角形的垂心、形心（譯者注：中國中學(xué)教科書中習(xí)稱“重心”，不甚妥）與外心三點共線（譯者注：這條線就稱為“歐拉線”，九點圓的圓心也在歐拉線上）。使用保角變換我們可以假定三角形的三個頂點落于單位圓上，分別對應(yīng)于復(fù)數(shù) 。那么其外接圓的圓心就是復(fù)數(shù) 。三角形的形心就是復(fù)數(shù) 。運用直角的單比判據(jù)，可見三角心的垂心是復(fù)數(shù) 。我們發(fā)現(xiàn)形心，垂心，外心三點共線，形心位于外心與垂心之間，并且所分線段之比總是。

歐拉線，視頻來自Sipnayan

3. 復(fù)比

復(fù)比，視頻來自愛數(shù)者

比單比的概念還要重要的概念是復(fù)比（譯者注：也稱“交比”，為了與“單比”形成對稱，本譯文中采用通常較少使用的“復(fù)比”譯名），也即兩個單比之比：

可以證明，復(fù)比為實數(shù)當且僅當四點共線或共圓。事實上，取通過與的直線，那么標準復(fù)比（譯者注：置換這四個點就得到復(fù)比的其他定義方式，所謂“標準復(fù)比”是指如同上述公式定義的復(fù)比，詳見下文）為實數(shù)就對應(yīng)于以下三種情形：

1. 落在直線上;

2. 落在直線的同一側(cè)，且與對線段所張的視角相等；

3. 落在直線的兩側(cè)，且與對線段所張的視角互補。

置換四個點，復(fù)比就會變成以下六個復(fù)數(shù)之一：。（譯者注：4個點的所有置換共24個，但是復(fù)比在任意兩對點同時對換時保持不變，也就是說每4個置換給出同一個復(fù)比值，于是24個置換最多給出6個不同的復(fù)比值。但這6個復(fù)比值仍有可能發(fā)生進一步的重合，可能只有3個不同的值，也可能只有2個。）顯然，如果這6個數(shù)其中之一是實數(shù)，那么另外5個數(shù)就也都是實數(shù)。雖然這個評論是平凡的，但讀者應(yīng)當留意到平面幾何問題中一個相當常用的技巧是對不同的角的對運用圓內(nèi)接四邊形的判別法則。這個技巧相當于對換點的位置之后計算復(fù)比。

圓反演，視頻來自Double Donut

復(fù)比是比平面保角變換更一般的一類變換的不變量，這一類變換的典型例子是初等幾何中的反演。反演把圓變成圓或直線，因此是初等幾何中極富趣味的工具。反演的特征之一是它把反演中心變到無窮遠點。映射是典型的反演。

曼得博集合的反演，圖片來自維基百科

反演是莫比烏斯變換群的元素。這個群作用在復(fù)射影直線上。群可以看作群的子群，作為的子群，由中固定的無窮遠點的那些元素組成，因此如同已知的那樣作用在上。

黎曼球面，視頻來自美國數(shù)學(xué)會

我們把中的點理解為復(fù)數(shù)域上二維向量空間中的一維子空間。每條這樣的復(fù)直線都是由一個非零向量生成的。因此，中的一點可以看作向量的一個等價類，等價關(guān)系定義為：當且僅當存在使得且。我們把這個等價類記作

若坐標，我們就有，因此的每個滿足坐標的點都對應(yīng)于恰好一個復(fù)數(shù) 。還剩下一個坐標的點，稱為無窮遠點，記為。

的線性變換群是所有復(fù)系數(shù)的二階可逆矩陣關(guān)于通常的矩陣乘法所成之群

這個群按照公式

作用在上。

因為純量矩陣

其中，平凡地作用于，所以全體莫比烏斯變換所成之群是群

的固定無窮遠點的子群相應(yīng)于所有的矩陣，因此正是群。群是復(fù)射影直線的保角變換群。

莫比烏斯變換，視頻來自djxatlanta

4. 結(jié)論

平面上所有幾何問題都可重述為關(guān)于單比，也即復(fù)直線的保角變換群的不變量，或者關(guān)于復(fù)比，也即復(fù)射影直線的保角變換群的不變量的問題。原則上說，所有幾何問題都可以轉(zhuǎn)化為不變量理論的問題，因此可以運用不變量理論得到算法式的解決。比起初等幾何方法來，這種解法有時更簡單，但常常更繁瑣，也不那么有趣。事實上，初等幾何式的解答過程也可以翻譯成不變量理論，翻譯之后就是一連串多少有點技巧的不變量計算。這樣的解答當然會比算法式的機器解答更加緊湊，但是可以解決所有初等幾何問題的機器算法的存在性本身就使得這個方向失去了它的內(nèi)在魅力。

現(xiàn)代幾何學(xué)研究得更多的是關(guān)于李群，例如群，與齊性空間，例如復(fù)射影直線，以及其上李群的可遷作用。

原文刊于《π 雜志》2017年1月號

莫比烏斯變換，視頻來自Mathemaniac