一、教材分析

教材截圖

（考慮到研討時部分教師未帶有2019版課本，這里對教材截個圖）

教材分析：

1.函數(shù)極值的定義

函數(shù)的極值是學生在本小節(jié)第一次接觸到的新概念。

教材通過具體案例,結合函數(shù)圖象,直觀地給出了極值的概念,并通過具體函數(shù)在極值點及兩側導數(shù)值的變化情況,通過探究歸納出用導數(shù)求函數(shù)極值的一般方法.對于學生已經學習過的函數(shù)的最大（小)值問題,則側重于借助實例讓學生體會如何利用導數(shù)來求函數(shù)的最大（小)值。

教材以高臺跳水實例引人函數(shù)極值的討論.在觀察教材的圖5.3-9時,要讓學生結合實際經驗探索函數(shù)的極值與導數(shù)值的正負號變化之間的關系。

容易發(fā)現(xiàn),當t=a時,運動員距水面的高度h最大。

為了讓學生從圖象上直觀地看到t=a附近函數(shù)導數(shù)值的正負號變化,教學時可以采用信息技術工具,放大函數(shù)在t=a附近的圖象（圖5-4)。作出函數(shù)圖象在t=a的左側某點處的切線,當切點沿函數(shù)圖象從t=a的左側移動至右側時,切線斜率由正數(shù)變到0,再由0變到負數(shù).

結合上述過程,學生可以直觀看到:

(2)在t=a附近,當t<a時,函數(shù)h(t)單調遞增,;當t>a時，函數(shù)h(t)單調遞減,.

教學時,教師可首先引導學生觀察圖象,直觀感受函數(shù)在某些特殊點（極值點）的函數(shù)值與附近點的函數(shù)值大小之間的關系,以及函數(shù)在這些點處的導數(shù)值與這些點附近函數(shù)的增減情況;然后結合教材第90頁的“探究”，給出函數(shù)的極大值和極小值的概念,分析求函數(shù)極值的方法。

2.關于例5的說明

在用導數(shù)求具體函數(shù)的極值時,求三次多項式函數(shù)的極值是重點。

例5給出了求三次多項式函數(shù)極值的方法.需要說明的是,教材中的表5.3-2給出了當x變化時,,f(x)的變化情況.由表5.3-2,可以直觀清楚地看出函數(shù)的變化情況,并由此得出函數(shù)的極大值與極小值。

教材中的圖5.3-12是函數(shù)f(x)的圖象,教學時應利用它為所得結論提供直觀驗證.需要注意的是,極大值和極小值反映的是函數(shù)在某點附近的性質,是局部性質，而且極大值不一定大于極小值.

在例5中,求出該函數(shù)的極大值大于極小值后,為了使學生不產生“極大值一定大于極小值”的誤解,教材安排了“邊空”中的問題:“極大值一定大于極小值嗎?”.教學時教師應先讓學生獨立思考，然后可用教材中的圖5.3-13加以說明,并進一步舉具體函數(shù)的實例加以印證.例如,函數(shù),在處的極小值大于在點處的極大值(圖5-5).

3.可導函數(shù)取得極值的必要條件

函數(shù)在某點處的導數(shù)值為0是可導函數(shù)取得極值的必要條件,而非充分條件.教材第91頁安排的“思考”,是為了引導學生得出結論:“導數(shù)值為0的點不一定是函數(shù)的極值點”.教材利用函數(shù)說明了上述結論,并進一步闡明:函數(shù)y=f(x)在一點處的導數(shù)值為0是可導函數(shù)y=f(x)在這點取極值的必要條件,而非充分條件.

可導函數(shù)y=f(x)在x=x=x₀處取極大（小)值的充分條件是:

(2)在x=x₀附近的左側,在右側.

教材在此基礎上歸納概括了求函數(shù)y=f(x)的極值的一般步驟.教學時應讓學生將上述步驟與判斷函數(shù)單調性的一般步驟進行比較,由此找出異同點.

4.函數(shù)的最大（小)值

極值反映的是函數(shù)在某一點附近的局部性質,而不是函數(shù)在整個定義域上的性質.但是,在解決實際問題或研究函數(shù)的性質時，我們往往關心函數(shù)在定義域內或指定的區(qū)間上,哪個值最大,哪個值最小.本小節(jié)在函數(shù)的極大（小)值基礎上進一步研究函數(shù)的最大（小)值問題.

在函數(shù)的最大（小)值的教學中,要體現(xiàn)從特殊到一般的過程,結合函數(shù)圖象直觀地得出一般結論:

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值和最小值.

結合函數(shù)極值中的例子以及函數(shù)的圖象不難看出,只要把函數(shù)y=f(x)的所有極值連同耑點處的函數(shù)值進行比較,就可以求出函數(shù)的最大(小)值.

5.關于例6的說明

例6在例5求函數(shù)極值的基礎上進一步求函數(shù)的最大(小)值。

教學時要結合例5來進行.例5已求出函數(shù)的極大值和極小值,但在例6給定的區(qū)間[0,3]上沒有極大值,求出函數(shù)在給定區(qū)間端點處的函數(shù)值f(0)=4,f(3)=1,再把區(qū)間端點處的函數(shù)值與區(qū)間上的極小值進行比較就得到函數(shù)的最小值為,而最大值只需比較兩個區(qū)間端點處的函數(shù)值即可得到,最大值為4.

例6的一個重要教學目的,就是歸納總結如下的求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大(小)值的步驟:

（1）求出導函數(shù)及其零點;

（2）用導函數(shù)的零點劃分區(qū)間[a,b],列表得出在各個區(qū)間上的正負和f(x)的增減變化情況;

(3)根據(jù)所列表格,比較函數(shù)的極值與函數(shù)區(qū)間端點處函數(shù)值的大小,得出函數(shù)的最大(小)值.

學生熟悉用上述一般步驟求函數(shù)的最大(小)值之后,對一些簡單的求函數(shù)最大（?。┲祮栴},有些步驟可以省略。

6.利用函數(shù)的最大(小)值證明不等式

通過本節(jié)例4,借助圖象可以直觀得到不等式

教材第94頁介紹了構造函數(shù)，通過求函數(shù)s(x)的最小值來證明上述不等式的方法。

教學時，可以讓學生自己嘗試構造函數(shù),體會用求函數(shù)最大值來證明這個不等式的方法,并由此對用求函數(shù)最大(小)值證明不等式的步驟進行適當梳理.

7.關于例7的說明

例7是用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值等性質以及畫函數(shù)大致圖象的問題。

教學時,應特別重視畫出函數(shù)大致圖象的過程,并由畫圖過程提煉出函數(shù)作圖的基本步驟,厘清這些步驟與求函數(shù)單調區(qū)間、求函數(shù)極值等問題的步驟之間的聯(lián)系.

在得到函數(shù)圖象后,還可以啟發(fā)學生由圖象進一步研究函數(shù)的最大（?。┲?、函數(shù)的值域等性質.

函數(shù)的最小值為,無最大值;函數(shù)的值域為。

在通過觀察函數(shù)的圖象得出方程的解的個數(shù)后,還可以讓學生根據(jù)函數(shù)零點存在定理,進一步研究方程的解所在的區(qū)間。

在此基礎上，可以引導學生總結用導數(shù)研究函數(shù)性質的步驟;

(1)求出函數(shù)f(x)的定義域,確定函數(shù)圖象的大致范圍;

(2)用導數(shù)研究函數(shù)f(x)的單調性、極值;

（3）利用函數(shù)f(x)的單調性、極值等性質畫出f(x)的大致圖象;

(4)利用函數(shù)f(x)的圖象進一步研究函數(shù)的最大（?。┲怠⒅涤?、零點等性質.

8.關于例8的說明

教材安排例8,意在通過實例介紹導數(shù)在解決實際問題中的應用.

當把每瓶飲料的利潤表示為

后，教學中應重點介紹利用導數(shù)探求函數(shù)最大值的方法.

本例中y的最大值也可以用其他方法求解.例如,

令y<0,解得0<r<3.此時

當r=6-2r,即r=2時，.

令,可得.此時

所以，當r=6時，.

教學時,教師可以通過解決問題的不同方法,說明用導數(shù)求函數(shù)的最大（小）值是一般方法,具有明確的步驟性和可操作性.

通過此問題的解決,本例一開始時的問題可以解釋為:

(1)市場上等量的小包裝的物品,由于其成本比大包裝的高,要想保持一定的利潤,就需要提高其銷售價格，所以比較起來等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些.

(2)由例8的結論可知,飲料瓶越大飲料公司的利潤越大.