李善蘭之以無窮級數(shù)表一自然對數(shù)法(6)

上傳書齋：瀟湘館112

何世強  Ho Sai Keung

提要：清?李善蘭著《則古昔齋算十三種》，第三種為〈對數(shù)探源〉，其中亦提及尖錐形及對數(shù)，本文主要談及一自然對數(shù)之無窮級數(shù)表達法。

關(guān)鍵詞：無窮級數(shù)  截線  收斂級數(shù)  自然對數(shù)

第 1 節(jié)  李善蘭與賈步緯

本文取自李善蘭（1810年－1882年）之《則古昔齋算十三種》﹝簡稱《十三種》﹞之第三種〈對數(shù)探源?卷一〉。

〈對數(shù)探源?卷一〉之校對者為賈步緯。注意《則古昔齋算十三種》每卷之校對者未必盡同。

賈步緯（1827－1908）字征，號心久，南匯周浦人，李善蘭弟子。青年時曾習(xí)經(jīng)商，后習(xí)天文、數(shù)學(xué)，拜李善蘭為師，研讀《數(shù)理精藴》、《歷象考成》諸書。賈步緯尚精通英語。其后，隨英國學(xué)者習(xí)微分、積分、橢圓、代數(shù)、對數(shù)之術(shù)。賈步緯對天文、數(shù)學(xué)造詣極深，被譽為清代天算名家之一。

筆者已有文名為〈李善蘭《十三種》之尖錐說與對數(shù) (1)〉、〈李善蘭《十三種》之尖錐全積與殘積說 (2)〉、〈李善蘭《十三種》之尖錐比例四率截積說 (3)〉、〈李善蘭《十三種》之尖錐比例五率截積說(4)〉及〈李善蘭之尖錐與收斂級數(shù)公式證明法(5)〉，本文乃以上五文之延續(xù)及補充。

第 2 節(jié)  尖錐圖與截積高度及長度之比例與曲線方程式

注意以下之李善蘭尖錐圖：

《十三種》曰：

如圖任作子卯、丑辰兩截線，成子寅已卯及丑寅巳辰兩殘積，則子寅殘積之高與丑寅殘積之高之比必同于丑辰截線與子卯截線之比也。

以上引文表示子寅已卯﹝ACFD﹞及丑寅巳辰﹝BCFE﹞兩殘積中，則以下之等式成立：= 。并非全部面積PFCO是為“殘積”。以下為其證明：

今先將上圖化成直角坐標如下圖：

上圖之 PFCO 是為全積，ABED 與 BCFE 是為殘積。

今設(shè)曲線之方程式為 y = ，A 點之坐標為 x₁，B 點之坐標為 x₂，

AC = a – x₁，BC = a – x₂，AD = y₁ = ，BE = y₂ = ，于是：

=  = ，

=  = ÷= ，

比較兩式可知相等，所以= 。

其實曲線不獨PDEF，其實很多曲線均在 PQF 之范圍內(nèi)，PDEF 乃極限之曲線，今證明之如下：

曲線 1 ﹝見前文之〈五尖錐縱橫比例圖〉﹞方程為 y = 1 + ，

曲線 2 方程為 y = 1 +  + ，

曲線 3 方程為 y = 1 +  +  + ，

曲線 4 方程為 y = 1 +  +  +  + ，

曲線 5 方程為 y = 1 +  +  +  +  + ，

……

曲線n 方程為 y = 1 +  +  +  …+ 。

上式可寫成 y = 1 + = ，因為 1 >，

所以當lim n → ∞ ()^{n + 1} = 0 ，

 lim n→ ∞y = =  = ，見上圖。

換言之，lim n → ∞ y = 1 +  +  +  …+  可寫成：

y = 。

以上結(jié)果重要，因為可導(dǎo)出以下之自然對數(shù)之無窮級數(shù)。

《十三種》曰：

此尖錐合積無論截為幾段，逐段之積皆可求，而最下段其積不可求，故其總積亦不可求。

其意指以截線分截以下之尖錐圖，不論分成多少段，每一段之面積均可算出，但最下一段則不能。若一尖錐圖分成n 份如下圖所示，則 1 至 n – 1 份之面積皆可算出，唯最下之第 n 份則不能。

《十三種》舉出以下之例：

如圖截為三段，則甲、乙二段其積可求，而丙段之積不可求。

其意指將尖錐圖分成三份成甲、乙及丙如上圖，則甲與乙之面積可算出，但最下一段之丙則不能，以下為證明。先將上圖化成直角坐標如下圖：

今設(shè) A 與 B 坐標分別為 x₁ 及 x₂。

甲面積 即OADP

= =  = –a ln (a– x₁) + a ln (a – 0)

= a [ln a – ln (a – x₁) = a ln。因  非0 故有數(shù)值，下同。

乙面積 即ABED

= = = –a ln (a– x₂) + a ln (a – x₁)

= a [ln (a – x₁) – ln (a – x₂)] = aln。

丙面積 即BCFE

= = = –a ln (a– a) + a ln (a– x₂)

= a [ln (a – x₂) – ln 0] = a ln。等號右方無限大，即無值，故丙面積不能算。因丙面積不能算，故全面積亦不能算。

《十三種》又舉出以下之例：

或截為四段，則子、丑、寅三段，其積可求，而卯段之積不可求，蓋諸段皆以截線為界，截線有盡界，故其積可求，丙卯二段以底為界，底無盡界，故其積不可求，總積必連最下一段，故亦不可求也。

﹝南匯賈步緯校﹞

本卷由賈步緯所校。

其意指將尖錐圖分成四份即子、丑、寅及卯如上圖，子、丑與寅之面積可算出，但最下一段卯之面積則不能，其情形如上例。

先將上圖化成直角坐標如下圖：

今設(shè) A 、 B與 C 坐標分別為 x₁、x₂ 及 x₃。

子面積 即OAHP

= = a [ln a – ln (a– x₁)] = a ln。

丑面積 即ABGH

= = a [ln (a – x₁) – ln (a – x₂)] = aln。

寅面積 即BCFG

= = a [ln (a – x₂) – ln (a – x₃)] = aln。

卯面積 即CDEF

= = a [ln (a – x₂) – ln 0] = a ln。等號右方無限大，即無值，故卯面積不能算。故算尖錐圖之面積其橫坐標必小于 a。

其他情形類推。

第3 節(jié)  以無窮級數(shù)表一自然對數(shù)

自然對數(shù)（Natural logarithm）為以數(shù)學(xué)常數(shù)e為底數(shù)之對數(shù)函數(shù)，記為 ln x 或 log_e x。本文記作 ln x。

本節(jié)依李善蘭尖錐法求出 ln 2 至 ln 10 之無窮項級數(shù)。

上節(jié)曾提及 = a [ln a – ln (a– x₁)] = a ln。此乃重要之結(jié)果。

(1)    今設(shè) a = 1，x₁ = ，則 a ln = ln = ln 2。

 =

= [1 +  + ()² + ()³ + ()⁴ ……]dx ﹝依無限尖錐形展開﹞

= [x +  + + + ……] |﹝依逐項積分﹞

= x +  + + + ……﹝取 a = 1﹞

= + ()² + ()³ + ()⁴+ ()⁵……﹝以 x = x₁ =代入﹞。

所以，ln 2 = + ()² + ()³ + ()⁴+ ()⁵ + … + ()ⁿ + …

                    = 0.69314718。

(2)   今設(shè) a = 1，x₁ = ，則 a ln = ln = ln 3。

 =

= [1 +  + ()² + ()³ + ()⁴ ……]dx

= [x +  + + + ……] |

= x +  + + + ……﹝取 a = 1﹞

= + ()² + ()³ + ()⁴+ ()⁵……﹝以 x = x₁ =代入﹞。

所以，ln 3 = + ()² + ()³ + ()⁴+ ()⁵ + … + ()ⁿ + …

                    = 1.098612289。

(3)   今設(shè) a = 1，x₁ = ，則 a ln = ln = ln 4。

 =

= [1 +  + ()² + ()³ + ()⁴ ……]dx

= [x +  + + + ……] |

= x +  + + + ……﹝取 a = 1﹞

= + ()² + ()³ + ()⁴+ ()⁵……﹝以 x = x₁ =代入﹞。

所以，ln 4 = + ()² + ()³ + ()⁴+ ()⁵ + … + ()ⁿ + …

  = 1.386294361。

(4)   今設(shè) a = 1，x₁ = ，則 a ln = ln = ln 5。

 =

= [1 +  + ()² + ()³ + ()⁴ ……]dx

= [x +  + + + ……] |

= x +  + + + ……﹝取 a = 1﹞

= + ()² + ()³ + ()⁴+ ()⁵……﹝以 x = x₁ =代入﹞。

所以，ln 5 = + ()² + ()³ + ()⁴+ ()⁵ + … + ()ⁿ + …

= 1.609437912。

(5)   今設(shè) a = 1，x₁ = ，則 a ln = ln = ln 6。

 =

= [1 +  + ()² + ()³ + ()⁴ ……]dx

= [x +  + + + ……] |

= x +  + + + ……﹝取 a = 1﹞

= + ()² + ()³ + ()⁴+ ()⁵……﹝以 x = x₁ =代入﹞。

所以，ln 6 = + ()² + ()³ + ()⁴+ ()⁵ + … + ()ⁿ + …

= 1.791759469。

(6)   今設(shè) a = 1，x₁ = ，則 a ln = ln = ln 7。

 =

= [1 +  + ()² + ()³ + ()⁴ ……]dx

= [x +  + + + ……] |

= x +  + + + ……﹝取 a = 1﹞

= + ()² + ()³ + ()⁴+ ()⁵……﹝以 x = x₁ =代入﹞。

所以，ln 7 = + ()² + ()³ + ()⁴+ ()⁵ + … + ()ⁿ + …

= 1.945910149。

(7)   今設(shè) a = 1，x₁ = ，則 a ln = ln = ln 8。

 =

= [1 +  + ()² + ()³ + ()⁴ ……]dx

= [x +  + + + ……] |

= x +  + + + ……﹝取 a = 1﹞

= + ()² + ()³ + ()⁴+ ()⁵……﹝以 x = x₁ =代入﹞。

所以，ln 8 = + ()² + ()³ + ()⁴+ ()⁵ + … + ()ⁿ + …

= 2.079441542。

(8)   今設(shè) a = 1，x₁ = ，則 a ln = ln = ln 9。

 =

= [1 +  + ()² + ()³ + ()⁴ ……]dx

= [x +  + + + ……] |

= x +  + + + ……﹝取 a = 1﹞

= + ()² + ()³ + ()⁴+ ()⁵……﹝以 x = x₁ =代入﹞。

所以，ln 9 = + ()² + ()³ + ()⁴+ ()⁵ + … + ()ⁿ + …

= 2.197224577。

(9)   今設(shè) a = 1，x₁ = ，則 a ln = ln = ln 10。

 =

= [1 +  + ()² + ()³ + ()⁴ ……]dx

= [x +  + + + ……] |

= x +  + + + ……﹝取 a = 1﹞

= + ()² + ()³ + ()⁴+ ()⁵……

﹝以 x = x₁ =代入﹞。

所以，ln 10 = + ()² + ()³ + ()⁴+ ()⁵ + … + ()ⁿ + …

= 2.302585093。

由此類推，ln k 之算法如下：

今設(shè) a = 1，x₁ = ，則 a ln = ln = ln k。

 =

= [1 +  + ()² + ()³ + ()⁴ ……]dx

= [x +  + + + ……] |

= x +  + + + ……﹝取 a = 1﹞

= + ()² + ()³ + ()⁴+ ()⁵……

﹝以 x = x₁ =代入﹞。

所以，ln k = + ()² + ()³ + ()⁴+ ()⁵ + … + ()ⁿ + …。

以下為原文：