等腰直角三角形因?yàn)槠涮厥庑?，一?duì)直角邊相等，并且有一個(gè)角是直角，因此往往可以通過繞著直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，構(gòu)造全等三角形，以此來證明相等線段。不僅如此，等腰直角三角形中特殊的45°角，不僅僅是其底角的特征， 同時(shí)聯(lián)結(jié)直角頂點(diǎn)和斜邊中點(diǎn)也可得到45°角。利用等腰三角形的這兩個(gè)特征能助力我們解決等腰三角形背景下的線段相等問題。

解法分析：如圖1，通過分析已知條件，除了呈現(xiàn)了等腰直角▲ABC外，還通過兩個(gè)直角，得到一對(duì)等角，即∠DBC=∠DAC。要證明∠ADC=45°，有兩條路徑：路徑1：構(gòu)造等腰直角三角形，說明∠ADC=45°；

路徑2：通過構(gòu)造90°角的平分線，從而得到45°角。本題的兩條路徑都是可行的。思考路徑1：如下圖，通過已知的一組等角和一組等邊，構(gòu)造與▲BCD全等的三角形，由于構(gòu)造的全等三角形與▲BCD共頂點(diǎn)（頂點(diǎn)為C），因此將▲BCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°即可得到▲ACP。添線方法為：①在AD上截取AP=BD；②過點(diǎn)C作CD⊥CP。 解決方法為：證明▲CDP為等腰直角三角形，得∠CDP=45°。

思考路徑2：如下圖，欲證∠ADC=45°，只需要證明CD是∠ADP的平分線即可。通過將▲AOC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得▲BCP，再利用全等三角形的性質(zhì)及角平分線的逆定理證明。添線方法為：延長BD、AC交于點(diǎn)P，過點(diǎn)C作AD和BD的垂線。 解決方法為：證明▲AOC≌▲BCP，再證明垂線段CM=CN，從而得到CD為∠ADP的平分線。

解法分析：如圖2和圖3，雖然D的位置發(fā)生了改變，但是問題解決的思路還是一致的，仍舊利用路徑1和路徑2的方法來解。值得注意的是，若用路徑1解決，則始終圍繞著將▲BDC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再證明▲CDP是等腰直角三角形得到∠ADC的度數(shù)；若用路徑2解決，則始終圍繞著將▲AOC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，利用全等三角形對(duì)應(yīng)高相等，及角平分線的逆定理(路徑2不再贅述）。

解法分析：如圖1，本題的第1問可以通過等腰三角形的三線合一定理得到B點(diǎn)坐標(biāo)。本題的第2問可以用兩種方法得到。路徑1：直接求。通過AC=AO，等邊對(duì)等角求出∠AOC的度數(shù)，再利用∠AOB=45°求出∠COB的度數(shù)。路徑2：構(gòu)造全等三角形。聯(lián)結(jié)AD后，可得一組共頂點(diǎn)的全等三角形▲CBO≌▲ABD，得∠COB=∠ADB。本題的第3問的結(jié)論乍一看讓人無從下手?？梢酝ㄟ^測(cè)量先判斷比值的大小，得到比值為1，因此如何尋找與NE相等的線段？如何轉(zhuǎn)化AN-OE成為問題解決的關(guān)鍵。利用AM=OM，通過旋轉(zhuǎn)▲MOE，得到▲AMP，從而得到OE=AP，即將AN-OE轉(zhuǎn)化為PN的長，再通過證明PN=NE，順利求出比值。

總結(jié)：在等腰直角三角形中，我們往往可以通過旋轉(zhuǎn)，即發(fā)現(xiàn)共頂點(diǎn)的三角形，然后旋轉(zhuǎn)90°，從而構(gòu)造全等三角形，再去證明邊和角的等量關(guān)系。

作業(yè)單：等腰直角三角形中利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形作業(yè)單