一組對(duì)邊相等四邊形，在凸四邊形、凹四邊形、折四邊形中均有美妙的性質(zhì)，這里以凸四邊形為例說(shuō)明。

性質(zhì)1：四邊形ABCD中，AB=CD，M、N是AD、BC中點(diǎn)

直線MN與AB、CD成等角，即∠BEN=∠F

推論：BE=CF

證明：

記G為AC中點(diǎn)

易知GN是△ABC中位線

所以∠BEN=∠GNM

同理GM是△ADC中位線

所以∠F=∠GMN

又GM=GN

所以∠BEN=∠F

推論證明：

作DP//BE交NM于點(diǎn)P

易知△DMP?△AME

所以AE=DP

由1知∠BEN=∠F

所以∠DPM=∠BEN=∠F

所以DP=DF

所以AE=DF

所以BE=CF

性質(zhì)2：四邊形ABCD中，AB=CD，記對(duì)角線AC、BD中點(diǎn)分別為N、M，直線MN與AB、CD成等角，即∠AEF=∠DFE

推論：BE=DF

證明：

記K為BC中點(diǎn)

易知KN為△ABC中位線

所以∠AEF=∠KNM

同理∠DFE=∠KMN

又AB=CD

所以KN=KM

所以∠KNM=∠KMN

所以∠AEF=∠DFE

推論證明：

作DP//AB交EF于點(diǎn)P

易知△BEM?△DPM

所以BE=DP

由1知∠DFE∠AEF=∠DPF

所以DP=DF

所以BE=DF

性質(zhì)3：四邊形ABCD中，AB=CD，M、N是AD、BC中點(diǎn)

記對(duì)角線AC、BD中點(diǎn)分別為F、E，則MN、EF互相垂直平分

證明：

易知ME、MF、NE、NF分別為為△ABD、△ACD、

△BCD、ABC中位線

所以ME=EN=NF=FM

即四邊形NFME是菱形

所以MN、EF互相垂直平分

注：

當(dāng)AB=CD，∠ABC+∠DCB=90°時(shí)，此時(shí)四邊形NFME是正方形，去掉AB=CD這一條件，僅滿(mǎn)足∠ABC+∠DCB=90°時(shí)，此時(shí)四邊形NFME是矩形。

例：已知AF是△ABC的角平分線，在AB、AC邊上截取BD=CE:M、N分別是DE、BC中點(diǎn)，求證：MN//AF

證明：

連接BE，記P為BE中點(diǎn)，延長(zhǎng)PM交AF于點(diǎn)Q

因?yàn)镸Q//AB，PN//AC且∠BAF=∠CAF

所以∠PMN=∠PNM

因?yàn)椤螹PN=∠MPE+∠EPN=∠ABP+∠PBN+∠BNP=∠ABN+∠C

所以∠PMN+∠PNM=2∠BAF

所以∠PMN=∠BAF

因?yàn)椤螾QF=∠BAF

所以∠PMN=∠PQF

所以MN//FA

性質(zhì)4：四邊形ABCD中，AB=CD，DA∩CB=K

則圓(ABK)與圓(DCK)是等圓

證明：

兩弦所對(duì)圓周角相等，由正弦定理易得為等圓

性質(zhì)5：四邊形ABCD中，AB=CD，AB∩CD=P，圓(PBD)∩圓(PCA)=Q，則∠QPC=QPB

證明：

因?yàn)锳、P、C、Q四點(diǎn)共圓

所以∠QAB=∠QCD

同理∠QBA=∠QDC

且AB=CD

所以△QAB?△QCD

所以QA=QC

所以∠QAC=∠QCA

所以∠QPC=∠QAC=∠QCA=QPB

性質(zhì)6：折四邊形相交兩邊相等且不垂直(或凸四邊形對(duì)角線相等且不垂直)的充要條件為，即AB=CD，AB∩CD=G，圓(BCG)∩圓(ADG)=X，以AB、CD為直徑的圓公共弦為PQ，則X在PQ上（PQ為這兩圓的等冪軸）

證明：

記AB、CD中點(diǎn)為M、N

因?yàn)椤蟈AB=∠XDC，∠XBA=∠XCD

所以△XAB～△XDC

又XM、XN為這兩個(gè)三角形中線

所以(XM/AM)=(XN/DN)=k，其中AM、DN為圓M、圓N半徑

顯然k≠1，否則與題設(shè)不符

所以X位于PQ上，即點(diǎn)X對(duì)圓M、圓N的冪相等

所以AM(^2)-XM(^2)=D(N^2)-X(N^2)

所以(1-k(^2))AM=(1-k(^2))DN

所以AM=DN

所以AB=CD

例1：△AGB～△AEC，DB=DC，∠DBC=∠GBA，M、N為BC、GE中點(diǎn)，求證：MN//AD

證明：

旋轉(zhuǎn)△ABD至△GBP，同理旋轉(zhuǎn)△ACD至△ECQ

所以∠(GP，AD)=∠GBA=∠ECA=∠(EQ，AD)

易知MP=MQ，且GP=EQ

由性質(zhì)1知，∠(GP，NM)=∠(EQ，NM)

所以NM//AD

例2：EF=CD，EF∩CD=B，圓(BDF)∩CF=Q，圓(CBE)∩CF=P:，M、N為PB、QB中點(diǎn)

求證：C、N、M、F四點(diǎn)共圓(2010，中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克)

證明：

在凹四邊形CDEF中，應(yīng)用性質(zhì)5知，AB平分∠CBF

因?yàn)镸、N為PB、QB中點(diǎn)

所以CM、FN平分∠BCF、∠BFC

所以AB、CM、FN共點(diǎn)于△BCF內(nèi)心I

由相交弦定理知，CI·IM=AI·IB=NI·IF

所以由相交弦逆定理知C、N、M、F四點(diǎn)共圓

例3：凸四邊形ABCD，BC=AD，且BC不平行于AD，設(shè)點(diǎn)E、F分別在邊BC、AD內(nèi)部，滿(mǎn)足BE=DF，直線AC交BD于點(diǎn)P，EF交BD、AC于點(diǎn)Q、R

證明：當(dāng)點(diǎn)E、F變動(dòng)時(shí)，△PQR的外接圓經(jīng)過(guò)除點(diǎn)P

外的另一個(gè)定點(diǎn).(第46屆IMO)

證明：

因?yàn)锽C不平行于AD，所以△APD、△PBC外接圓除交于點(diǎn)P外，必交于另一點(diǎn)M，則M為定點(diǎn)

由BC=AD，應(yīng)用性質(zhì)4得

△APD、△PBC外接圓為等圓

由∠DAM=∠BPM=∠BCM知DM=BM

同理AM=MC，注意到DF=BE

所以△FDM?△EBM

所以MF=ME且∠FMD=∠EMB

同理∠FMA=∠EMC

所以∠EMF=∠BMD=∠CMA

即等腰△MEF、△MBD、△MAC頂角相等

所以底角也相等

所以∠MEF=∠MBD=∠MCA

所以M、B、E、Q，M、E、C、R分別四點(diǎn)共圓

所以∠MQB=∠MEB=∠MRP

所以Q、P、R、M四點(diǎn)共圓

例4：圓心為O[1]、O[2]的兩個(gè)等圓交于P、Q兩點(diǎn)，O是公共弦PQ中點(diǎn)，過(guò)P任作兩條割線AB、CD(不與PQ重合)，點(diǎn)A、C在圓O[1]上，點(diǎn)B、D在圓O[2]上，M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，已知O[1]、O[2]不在兩圓的公共部分內(nèi)，點(diǎn)M、N不與O重合，求證：M、N、O三點(diǎn)共線

證明：

因?yàn)閳AO[1]、圓O[2]為等圓

所以CO[1]=BO[2]，AO[1]=DO[2]

由性質(zhì)4知AC=DB

分別在四邊形ACBD、四邊形O[1]O[2]BC、四邊形O[1]O[2]DA中應(yīng)用性質(zhì)1知

直線MN與AC、DB成等角，直線ON與O[1]C、O[2]B成等角，直線OM與O[1]A、O[2]D成等角

注意到，同時(shí)與兩相交(或平行)直線成等角的直線是互相平行的，從而MN、ON、OM三直線重合

所以M、N、O三點(diǎn)共線

例5：銳角△ABC的外接圓在點(diǎn)A、B處的切線交于點(diǎn)D，M是AB的中點(diǎn):，求證：∠ACM=∠BCD(2007，IMO中國(guó)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)培訓(xùn)題)

證明：

過(guò)點(diǎn)A作與BC相切的圓O[1]，圓O[1]與CD交于點(diǎn)Q，作BCQ的外接圓圓O[2]，連接AQ并延長(zhǎng)與圓O[2]交于點(diǎn)E，連接BQ并延長(zhǎng)與圓O[1]交于點(diǎn)F

易知∠AQD=∠AFC=∠ACB=∠ABD

所以A、D、B、Q四點(diǎn)共圓

注意到DA=DB，則∠AQD=∠DQB

所以∠AQC=∠BQC

又∠QAC=∠QCB

所以∠ACQ=∠CBQ

所以圓O[2]與AC相切于點(diǎn)C

倍長(zhǎng)CM至點(diǎn)P ，則四邊形CAPB是平行四邊形

因?yàn)椤螩FP=∠ACB=∠APB且CB//AP

所以四邊形CFPB是等腰梯形

所以CF=BP=CA，同理CE=CB

所以∠CBE=∠CEB=∠BCA=180°-∠CBP

所以E、B、P三點(diǎn)共線

同理F、A、P三點(diǎn)共線

又因?yàn)椤螦CF=∠ACB=∠BCE

在等腰梯形CFPB中，∠FCM=∠FBP=∠QCE

所以∠ACM=∠FCM-∠FCA=∠QCE-∠BCE=∠BCD

注：此例應(yīng)用調(diào)和四邊形可簡(jiǎn)潔推證

例6：已知△ABC的∠B旁切圓與AC切于點(diǎn)D，∠C旁切圓與AB切于點(diǎn)E

M、N分別為BC、ED中點(diǎn)

求證：MN平分△ABC周長(zhǎng)，且與∠A平分線平行(第21屆世界城市(冬季)數(shù)學(xué)競(jìng)賽)

證明：

設(shè)MN分別與AC、AB交于點(diǎn)G、F，L為GF中點(diǎn)

由題設(shè)知D、E分別為旁切圓圓I[B]、圓I[C]的切點(diǎn)

所以EB=(1/2)(AB+CA-BC)=DC

由性質(zhì)1知∠BFM=∠MGC

所以AF=AG，且ML與∠A角平分線平行

又由性質(zhì)1知BF=CG

所以BM+BF=CG+MC=AF+AC+MC

從而MN平分△ABC周長(zhǎng)

參考文獻(xiàn)：沈文選《一組對(duì)邊相等四邊形性質(zhì)及應(yīng)用》