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數(shù)的整除

 鵬城豫人 2021-07-18
一、整數(shù)和整除
1、自然數(shù)和整數(shù)的定義
(1)零和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù).
(2)正整數(shù)、零、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù).
2、整除的意義
整數(shù)a除以整數(shù)b,如果除得的商是整數(shù)而余數(shù)為零,我們就說a能被b整除,或者說b能整除a.(如12÷3=4,則12能被3整除,3能整除12)
整除的條件(1)除數(shù)、被除數(shù)是整數(shù);(2)被除數(shù)除以除數(shù),商是整數(shù)且余數(shù)為0.
整除和除盡的區(qū)別整除必須滿足被除數(shù)、除數(shù)、商為整數(shù)且余數(shù)為0;除盡只要滿足余數(shù)為0即可.(如12÷3=4是整除,而1.2÷0.3=4是除盡).
二、因數(shù)和倍數(shù)
1、因數(shù)和倍數(shù)的意義
整數(shù)a能被整數(shù)b整除,a就叫做b的倍數(shù),b就叫做a的因數(shù).(如54是9的倍數(shù),9是54的因數(shù)).
注意:(1)一個整數(shù)的因數(shù)中最小的因數(shù)是1,最大的因數(shù)是它本身;1的因數(shù)只有1,最大的因數(shù)和最小的因數(shù)都是它本身;除1以外,其他非零自然數(shù)至少有2個因數(shù),即1和它本身;任何非零自然數(shù)都有因數(shù)1.
(2)一個整數(shù)沒有最大的 倍數(shù),而最小的倍數(shù)是它本身.
2、如何找一個整數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)
若a能整除12,則a是12的因數(shù);若a能被12整除,則a為12的倍數(shù).
則12的因數(shù)為1、12;2、6;3、4;(即找到哪兩個整數(shù)的積為12,成對寫)
則12的倍數(shù)為12、24、36...(即將12乘以1、2、3...)
三、能被2、5整除的數(shù)
1、能被2,5整除的數(shù)的特征
(1)個位上是0,2,4,6,8的整數(shù)都能被2整除;
(2)個位上時0或5的整數(shù)都能被5整除.
2、奇數(shù)和偶數(shù)的意義
能被2整除的整數(shù)叫做偶數(shù),不能被2整除的整數(shù)叫做奇數(shù).(如38、44、80為偶數(shù),47、63、51為奇數(shù)).
3、能被3整除的數(shù)的特征
各個數(shù)位上的和是3的倍數(shù)的整數(shù)都能被3整除.(如33、123、456).
四、分解素因數(shù)
1、素數(shù)和合數(shù)的定義
一個正整數(shù),如果只有1和它本身兩個因數(shù),這樣的數(shù)叫做素數(shù);如果除了1和它本身以外還有別的因數(shù),這樣的數(shù)叫做合數(shù).
注意:(1)1既不是素數(shù)也不是合數(shù);
(2)20以內(nèi)的素數(shù):2、3、5、7、11、13、17、19.唯一的是偶數(shù)的素數(shù)是2.
2、素因數(shù)和分解素因數(shù)的意義
每個合數(shù)都可以寫成幾個素數(shù)相乘的形式,其中每個素數(shù)都是這個合適的因數(shù),叫做這個合數(shù)的素因數(shù).把一個合數(shù)用素因數(shù)相乘的形式表示出來,叫做分解素因數(shù).(如:44=2×2×11,這樣的形式叫做將44分解素因數(shù),44有3個素因數(shù),分別是2、2、11).
3、用短除法分解素因數(shù)的步驟

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注意分解素因數(shù)后別忘檢查一下每個因數(shù)是否為素數(shù).
五、公因數(shù)與最大公因數(shù)
1、公因數(shù)和最大公因數(shù)的意義
(1)幾個數(shù)公有的因數(shù),叫做這幾個數(shù)的公因數(shù),其中最大的一個叫做這幾個數(shù)的最大公因數(shù).每個數(shù)的因數(shù)是有限個的,所以兩個數(shù)或多個數(shù)的公因數(shù)的個數(shù)也是有限的.

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     (2)如果兩個整數(shù)只有公因數(shù)1,那么稱這兩個數(shù)互素.(如17和14就是互素的)

注意:(1)1和任何數(shù)互素;(2)連續(xù)的兩個整數(shù)互素(如2和3,4和5);(3)所有的素數(shù)都是互素的.

2、求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的方法
(1)如果兩個數(shù)互素,那么它們的最大公因數(shù)為1;
(13和19的最大公因數(shù)為1)
(2)如果a是b的因數(shù),那么a和b的最大公因數(shù)是a;
(如18和36的最大公因數(shù)為18)
       (3)利用短除法求兩個數(shù)的最大公因數(shù):

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五、公倍數(shù)與最小公倍數(shù)

1、公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的意義

幾個整數(shù)的共有的倍數(shù)叫它們的公倍數(shù),其中最小一個叫做它們的最小公倍數(shù).

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2、求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法
(1)如果兩個數(shù)互素,那么它們的最小公倍數(shù)為這個數(shù)的乘積;
(13和19的小公倍數(shù)為247)
(2)如果a是b的因數(shù),那么a和b的小公倍數(shù)是b;
(如18和36的小公倍數(shù)為36)
       (3)利用短除法求兩個數(shù)的小公倍數(shù)

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