從對(duì)分析力學(xué)無(wú)需觀測(cè)的思考，到理解Bessel方程的實(shí)質(zhì)在復(fù)平面，再到反思中國(guó)古代哲學(xué)和康德哲學(xué)，作者闡述了“形而上”對(duì)物理學(xué)的重要意義。在作者看來(lái)，要突破現(xiàn)有理論，向物理學(xué)問(wèn)更深層次的問(wèn)題進(jìn)而突破，需要形而上。

理論力學(xué)經(jīng)典教材中對(duì)分析力學(xué)的一句評(píng)價(jià)是可疑的

我十八、九歲的時(shí)候希望自學(xué)物理，問(wèn)顏家壬先生必修課程并求推薦教材。關(guān)于理論力學(xué)課程，他建議使用周衍柏先生的《理論力學(xué)教程》。周先生于1961年出版《理論力學(xué)》，增刪了一些內(nèi)容之后，1979年易名為《理論力學(xué)教程》繼續(xù)出版，累計(jì)印刷數(shù)量估計(jì)已經(jīng)在百萬(wàn)上下。其中第三版名列高等教育出版社的“物理學(xué)基礎(chǔ)理論課程經(jīng)典教材”系列。

當(dāng)年學(xué)到該書(shū)的分析力學(xué)部分，被一句不輕不重的評(píng)論弄得有點(diǎn)不知所措。這句話，至今還在。不過(guò)，很多老師多年來(lái)使用這本書(shū)作為參考教材，卻沒(méi)有注意到這句話。

要學(xué)習(xí)一個(gè)“引以為戒”的知識(shí)，該有多么的忐忑。可是，把分析力學(xué)中的每一個(gè)字都掰開(kāi)來(lái)，也看不到由于數(shù)學(xué)推理較多而可能發(fā)生不良傾向的痕跡。

拉格朗日（1736-1813）是分析力學(xué)的創(chuàng)始人。1788年，距離牛頓出版《原理》（1687）差不多整整一個(gè)世紀(jì)。在牛頓力學(xué)中，力是一個(gè)關(guān)鍵概念。但是，拉格朗日顛覆性地重塑了牛頓力學(xué)，放棄了力這個(gè)概念。在拉格朗日力學(xué)中，實(shí)空間裝不下這個(gè)理論系統(tǒng)，需要的是相空間。沒(méi)有任何直接觀測(cè)意義的動(dòng)能減勢(shì)能而構(gòu)成的拉格朗日量，L=T-V，它對(duì)時(shí)間的積分即所謂的作用量，反而具有基本的意義。

可以追問(wèn)如下問(wèn)題：（1）既然拉格朗日量不具有觀測(cè)意義，動(dòng)能加勢(shì)能而構(gòu)成的哈密頓量，H=T+V，就有觀測(cè)上的意義嗎？（2）為什么不具有觀測(cè)意義的量，居然是物理學(xué)的一部分？物理學(xué)不是描述客觀規(guī)律的理論嗎？不具有觀測(cè)意義的量也是客觀規(guī)律的一部分?

這些問(wèn)題，不僅僅是物理學(xué)的一部分，而且是物理學(xué)中最有生命力的部分。如果要?jiǎng)?chuàng)造出新的物理學(xué)，只能從這里想辦法。不是每位初學(xué)者都需要挖根，但是每位科學(xué)的學(xué)習(xí)者，都必須知道根何在。

既然人類(lèi)行走在復(fù)空間里，思維必定需要更大的空間

本學(xué)期岳麓講壇的討論環(huán)節(jié)中，有位觀眾從網(wǎng)絡(luò)上發(fā)過(guò)來(lái)一個(gè)問(wèn)題：為什么實(shí)數(shù)域中的數(shù)學(xué)物理方程，需要放到復(fù)數(shù)域中才能理解？參看下面的例子。

Bessel方程是一個(gè)定義在實(shí)數(shù)域中的二階常微分方程，也是最為常見(jiàn)和簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)物理方程，形式如下：

這個(gè)方程有兩個(gè)解。x=0是方程的奇異點(diǎn)，而不是解的奇異點(diǎn)。有一個(gè)解包含了點(diǎn)x=0，另外一個(gè)解不包含這一點(diǎn)。這兩個(gè)解分別稱(chēng)為第一類(lèi)和第二類(lèi)Bessel函數(shù)。它們都不是初等函數(shù)，而是超越函數(shù)，可以用無(wú)窮級(jí)數(shù)表示，也可以用積分形式來(lái)表示。而且它的積分表示，只能定義在復(fù)平面上，

積分回路必須包圍t=0的點(diǎn)。這個(gè)積分，其實(shí)就是Bessel方程的積分形式。

如果建立方程，僅僅從測(cè)量的角度，實(shí)數(shù)域就夠了。但是，如果要認(rèn)識(shí)并理解這個(gè)問(wèn)題，必須深入到復(fù)平面上去。

那么，實(shí)平面和復(fù)平面，到底哪一個(gè)是問(wèn)題的本質(zhì)平面? 這是問(wèn)題的第一層次。問(wèn)題的第二層次是：什么是真實(shí)？什么是實(shí)在？什么是存在？問(wèn)題還有沒(méi)有第三層次? 肯定有，但是我問(wèn)不出來(lái)。

作為理論物理專(zhuān)業(yè)的從業(yè)者，我會(huì)說(shuō)，復(fù)平面是本質(zhì)的！而自然規(guī)律的真實(shí)，是一種理性的真實(shí)。

形而上學(xué)（metaphysics）不同。形而上學(xué)關(guān)心的是，比這些問(wèn)題還要基礎(chǔ)的問(wèn)題。根據(jù)《斯坦福哲學(xué)百科全書(shū)》（Stanford Encyclopedia of Philosophy）的說(shuō)法，形而上學(xué)研究三大問(wèn)題：Being As Such, First Causes, Unchanging Things；中文的含義是：自在，元因和不變。注意，物理學(xué)并不需要形而上學(xué)的全副武裝，這就是我刻意區(qū)分形而上和形而上學(xué)的原因。物理學(xué)的發(fā)展也許需要在形而上學(xué)中吸收營(yíng)養(yǎng)，進(jìn)而運(yùn)用到物理問(wèn)題上，但是形而上學(xué)不是物理學(xué)。物理學(xué)需要的形而上，終究還是物理學(xué)，不過(guò)不是直接聯(lián)系經(jīng)驗(yàn)的那部分物理學(xué)。

因此，盡管人類(lèi)的五官只能直接感受到可觀測(cè)的量，但是這些量的運(yùn)行卻是在復(fù)空間里。不要說(shuō)人類(lèi)的思維僅僅局限在可觀測(cè)量是不夠的，只關(guān)注復(fù)空間里發(fā)生的事情，也是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。人類(lèi)要放眼更廣闊的時(shí)空，才能達(dá)到在實(shí)空間作出顛覆性的創(chuàng)造。

中國(guó)古代哲學(xué)批判

2014年，北京大學(xué)中文系的李零先生有篇重要的文章《<周易>是本什么樣的書(shū)》。他認(rèn)為，“在《易傳》的闡釋下，《易經(jīng)》才成為中國(guó)自然哲學(xué)的源泉之一。陰陽(yáng)講世間萬(wàn)象的二元對(duì)立，五行講世間萬(wàn)象的五位循環(huán)，它們一靜一動(dòng)，構(gòu)成古人解釋世界的兩把鑰匙。我說(shuō)的（中國(guó)古代的）自然哲學(xué)，就是指這兩把鑰匙?！?中國(guó)古代哲學(xué)的這兩點(diǎn)，幾乎能包羅萬(wàn)象，因而具有極其強(qiáng)大的解釋功能。這里給一個(gè)分析力學(xué)的例子——虛功原理。“虛”，說(shuō)明不是“實(shí)“。然而，全部的牛頓力學(xué)理論體系，都可以從這個(gè)”虛“中推導(dǎo)出來(lái)——這是一個(gè)奇跡！在虛功原理的旁邊，我摘抄了《六韜·武韜》中的幾個(gè)字作為感概，“道在不可見(jiàn)，事在不可聞，勝在不可知”。陰陽(yáng)和五行放在這里，作為虛功原理的解說(shuō)，是多么的合適！

但是，這些認(rèn)識(shí)，完全是從人和人之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)中提煉出來(lái)的道理，不是客觀事物和規(guī)律的反映。它僅僅還局限在經(jīng)驗(yàn)的層面，不能進(jìn)行推理和運(yùn)算，也就不能揭示出自然理性真實(shí)的存在。

幾乎所有的科學(xué)家，包含楊振寧、陳省身等等，都覺(jué)得中國(guó)古代哲學(xué)沒(méi)有經(jīng)過(guò)充分的發(fā)展，僅僅是經(jīng)驗(yàn)的一些簡(jiǎn)練描述。這些描述，動(dòng)靜相濟(jì)，畫(huà)面美麗，朗朗上口，任人解說(shuō)，就是沒(méi)有定量上的預(yù)言能力。

分析力學(xué)是康德哲學(xué)的物理實(shí)現(xiàn)

圖片來(lái)自：安徽科技，2002年第9期。高亮為筆者所加

拉格朗日之前，牛頓力學(xué)一統(tǒng)天下。以牛頓的理解，他的力學(xué)是經(jīng)驗(yàn)的直接提煉，連假設(shè)都不需要，因此他鐵口直斷“我不做假設(shè)”。因此，牛頓的思想中，沒(méi)有獨(dú)立于可觀察現(xiàn)象的形而上。

果真如此嗎? 如果沒(méi)有形而上，就沒(méi)有虛數(shù)；沒(méi)有虛數(shù)，就沒(méi)有量子力學(xué)，遑論電腦、互聯(lián)網(wǎng)。在歷史上，科學(xué)上關(guān)鍵的突破來(lái)自于拉格朗日。他發(fā)現(xiàn)牛頓力學(xué)可以用形而上的思想統(tǒng)一起來(lái)。這些思想包括虛功原理、拉氏量、最小作用量原理、變分法、拉氏乘子法等等，這些才是現(xiàn)代科學(xué)的直接基礎(chǔ)。反過(guò)來(lái)，如果直接從牛頓定律出發(fā)，找不到任何通往當(dāng)今世界的直接通道。拉格朗日（1736-1813）和康德（1724–1804）同年代，而且還同在普魯士科學(xué)院工作。以我的能力希望理解康德哲學(xué)，無(wú)異于希望騎自行車(chē)到月亮上去，好在我不需要這樣做，物理能幫我理解康德！

2014年，意大利理論和應(yīng)用力學(xué)聯(lián)合會(huì)主辦的刊物Meccanica（《力學(xué)》），發(fā)表了一篇編者按（Editorial），題目是“Lagrange and his Mecanique Analytique: from Kantian noumenon to present applications” （拉格朗日和他的《分析力學(xué)》：從康德的本體論到現(xiàn)代應(yīng)用）。文章認(rèn)為，拉格朗日是一位最大的形而上學(xué)分析論者。這里的形而上學(xué)，指的就是康德認(rèn)為的“獨(dú)立于經(jīng)驗(yàn)”的意思；而這里的分析論者，指的是當(dāng)年數(shù)學(xué)分析大發(fā)展的時(shí)期，拉格朗日是數(shù)學(xué)分析的大家。馬修（Mathieu，1835-1890）認(rèn)為：假如我們想要找到客觀實(shí)在的特征，就必須不能求助于經(jīng)驗(yàn)這樣一個(gè)概念；而是應(yīng)該求助于先驗(yàn)。拉格朗日就是這樣做的。在他的分析力學(xué)中，虛功原理是一個(gè)公理。物理直接處理自然規(guī)律，但是形而上是物理的前身。分析力學(xué)是理性力學(xué)，也就是，不必求助于經(jīng)驗(yàn)就可以直接建立起來(lái)。

結(jié)  語(yǔ)

理想定律的力學(xué)的世界是經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)象級(jí)別的世界，而理解自然只能進(jìn)入柏拉圖的世界才能完成。康德的本體論反映在拉格朗日分析力學(xué)著作的字里行間，如此完美和自洽，任何一幅示意圖，都會(huì)打破拉格朗日理想中的力學(xué)世界。

很喜歡Hadamard（1865-1963）如下的話：“The shortest path between two truths in the real domain passes through the complex domain.” （在實(shí)數(shù)域中兩個(gè)真切之間的最短的路程經(jīng)過(guò)實(shí)數(shù)域）。希望讀者也喜歡。