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學會方法,吃透例題,掌握高考重點內(nèi)容不等式

 3613館長 2021-04-24

近年來,以高等數(shù)學知識為背景的不等式綜合題,在高考中頻繁出現(xiàn),常常充當壓軸題的角色,經(jīng)研究不難發(fā)現(xiàn),在與高等數(shù)學交匯的前提下,此類問題量現(xiàn)出以下特點:

(1)在知識層面上:或以函數(shù)知識為載體,研究相關函數(shù)的離散性質(zhì);或以數(shù)列知識為依托,研究無窮級數(shù)的斂散性;

(2)在方法層面上:證明題重點考查迭代法,放縮法,數(shù)學歸納法等重要證明方法和技巧;

(3)在新教材層面上:導數(shù)等新增內(nèi)容進入高考。

為利用導數(shù)工具研究函數(shù)問題提供了可能,從而為此類問題注入了活力,今天我們對此類高等數(shù)學背景下的不等式問題進行分類剖析,希望對高考復習有所幫助。

不等關系作為重要的數(shù)學模型,它除了是學習、解決和研究數(shù)學中各種問題的有力工具,更能我們解決生活和工作當中遇到的問題。因此,作為選拔人才的高考更是少不了不等式的存在,主要針對高中數(shù)學不等式高考試題分析與教學策略展開討論與分析。

不等式有關的高考試題分析,典型例題1:

若實數(shù)x,y,z滿足4x+3y+12z=1,求x2+y2+z2的最小值.

解:根據(jù)題意,實數(shù)x,y,z滿足4x+3y+12z=1,

則有(4x+3y+12z)2≤(x2+y2+z2)(42+32+122),

即1≤169(x2+y2+z2),

即有x2+y2+z2≥1/169;

即x2+y2+z2的最小值為1/169;

故答案為:1/169.

考點分析:

二維形式的柯西不等式.

題干分析:

利用條件x+2y+3z=1,構(gòu)造柯西不等式(4x+3y+12z)2≤(x2+y2+z2)(42+32+122),變形即可得答案.

不等式有關的高考試題分析,典型例題2:

已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x﹣3|,g(x)=a﹣|x﹣2|.

(Ⅰ)若關于x的不等式f(x)<g(x)有解,求實數(shù)a的取值范圍;

(Ⅱ)若關于x的不等式f(x)<g(x)的解集為(b,7/2),求a+b的值.

考點分析:

絕對值三角不等式;絕對值不等式的解法.

題干分析:

(Ⅰ)求出g(x)=a﹣|x﹣2|取最大值為a,f(x)的最小值4,利用關于x的不等式f(x)<g(x)有解,求實數(shù)a的取值范圍;

(Ⅱ)若關于x的不等式f(x)<g(x)的解集為(b,7/2),代入相應函數(shù),求出a,b,即可求a+b的值.

不等式有關的高考試題分析,典型例題3:

已知函數(shù)f(x)=√(|2x﹣1|+|x+1|﹣a)的定義域為R.

(Ⅰ)求實數(shù)a的取值范圍;

(Ⅱ)若a的最大值為k,且m+n=2k(m>0,n>0),求證:1/m+4/n≥3.

考點分析:

基本不等式;絕對值三角不等式.

題干分析:

(Ⅰ)利用絕對值的幾何意義,求出表達式的最小值,即可得到a的范圍,

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得m+n=3,則(1/m+4/n)=(1/m+4/n)(m+n)/3=(1+4+n/m+4m/n)/3,根據(jù)基本不等式即可證明.

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