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NO.1 【一張圖讀懂初中數(shù)學(xué)幾何模型（精華）】
NO.2 【初中數(shù)學(xué)常用模型最全匯總（精編）】 平移：平行等線段（平行四邊形）。 對稱：角平分線或垂直或半角。 旋轉(zhuǎn)：相鄰等線段繞公共頂點旋轉(zhuǎn)。
以角平分線為軸在角兩邊進(jìn)行截長補短或者作邊的垂線，形成對稱全等。兩邊進(jìn)行邊或者角的等量代換，產(chǎn)生聯(lián)系。垂直也可以做為軸進(jìn)行對稱全等。
上圖依次是45°、30°、22.5°、15°及有一個角是30°直角三角形的對稱（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等邊三角形、對稱全等。 半角：有一個角含1/2角及相鄰線段。 自旋轉(zhuǎn)：有一對相鄰等線段，需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等。 共旋轉(zhuǎn)：有兩對相鄰等線段，直接尋找旋轉(zhuǎn)全等。 中點旋轉(zhuǎn)：倍長中點相關(guān)線段轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)全等問題。
旋轉(zhuǎn)半角的特征是相鄰等線段所成角含一個二分之一角，通過旋轉(zhuǎn)將另外兩個和為二分之一的角拼接在一起，成對稱全等。 構(gòu)造方法： 遇60度旋60度，造等邊三角形； 遇90度旋90度，造等腰直角； 遇等腰旋頂點，造旋轉(zhuǎn)全等； 遇中點旋180度，造中心對稱。
旋轉(zhuǎn)中所成的全等三角形，第三邊所成的角是一個經(jīng)?？疾斓膬?nèi)容。通過“8”字模型可以證明。
模型變形主要是兩個正多邊形或者等腰三角形的夾角的變化，另外是等腰直角三角形與正方形的混用。 當(dāng)遇到復(fù)雜圖形找不到旋轉(zhuǎn)全等時，先找兩個正多邊形或者等腰三角形的公共頂點，圍繞公共頂點找到兩組相鄰等線段，分組組成三角形證全等。
兩個正方形、兩個等腰直角三角形或者一個正方形一個等腰直角三角形及兩個圖形頂點連線的中點，證明另外兩個頂點與中點所成圖形為等腰直角三角形。證明方法是倍長所要證等腰直角三角形的一直角邊，轉(zhuǎn)化成要證明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋轉(zhuǎn)頂點，通過證明旋轉(zhuǎn)全等三角形證明倍長后的大三角形為等腰直角三角形從而得證。
對稱最值(兩點間線段最短)
對稱最值(點到直線垂線段最短)
通過對稱進(jìn)行等量代換，轉(zhuǎn)換成兩點間距離及點到直線距離。 旋轉(zhuǎn)最值(共線有最值)
找到與所要求最值相關(guān)成三角形的兩個定長線段，定長線段的和為最大值，定長線段的差為最小值。 三角形→四邊形
四邊形→四邊形
剪拼主要是通過中點的180度旋轉(zhuǎn)及平移改變圖形的形狀。 矩形→正方形
通過射影定理找到正方形的邊長，通過平移與旋轉(zhuǎn)完成形狀改變 正方形+等腰直角三角形→正方形
面積等分
兩個等腰直角三角形成旋轉(zhuǎn)全等，兩個有一個角是300角的直角三角形成旋轉(zhuǎn)相似。 推廣：兩個任意相似三角形旋轉(zhuǎn)成一定角度，成旋轉(zhuǎn)相似。第三邊所成夾角符合旋轉(zhuǎn)“8”字的規(guī)律。
注意邊和角的對應(yīng)，相等線段或者相等比值在證明相似中起到通過等量代換來構(gòu)造相似三角形的作用。
（1）三垂直到一線三等角的演變，三等角以30度、45度、60度形式出現(xiàn)的居多。 （2）內(nèi)外角平分線定理到射影定理的演變，注意之間的相同與不同之處。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推廣到圓冪定理）之間的比值可以轉(zhuǎn)換成乘積，通過等線段、等比值、等乘積進(jìn)行代換，進(jìn)行證明得到需要的結(jié)論。
相似證明中最常用的輔助線是作平行，根據(jù)題目的條件或者結(jié)論的比值來作相應(yīng)的平行線。
【模型1】倍長 1、 倍長中線；2、倍長類中線；3、中點遇平行延長相交
【模型2】遇多個中點，構(gòu)造中位線 1、 直接連接中點；2、連對角線取中點再相連
【例】在菱形ABCD和正三角形BEF中，∠ABC=60°，G是DF的中點，連接GC、GE． （1）如圖1，當(dāng)點E在BC邊上時，若AB=10，BF=4，求GE的長； （2）如圖2，當(dāng)點F在AB的延長線上時，線段GC、GE有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系，寫出你的猜想；并給予證明； （3）如圖3，當(dāng)點F在CB的延長線上時，(2)問中關(guān)系還成立嗎？寫出你的猜想，并給予證明.
【模型1】構(gòu)造軸對稱 【模型2】角平分線遇平行構(gòu)造等腰三角形
【例】如圖，平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD交BC邊于E，EF⊥AE交CD邊于F，交AD邊于H，延長BA到點G，使AG=CF，連接GF．若BC=7，DF=3，EH=3AE，則GF的長為
1、將軍飲馬【兩點之間線段最短】
2、費馬點【垂線段最短】
3、【兩邊之差小于第三邊】
NO.3 【初中數(shù)學(xué)模型解題法（經(jīng)典）】
NO.4 【最值模型將軍飲馬、將軍遛馬、將軍過河】 白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河?！拼だ铐牎豆艔能娦小?/p> 【問題描述】 如圖，將軍在圖中點A處，現(xiàn)在他要帶馬去河邊喝水，之后返回軍營，問：將軍怎么走能使得路程最短？
【問題簡化】 如圖，在直線上找一點P使得PA+PB最??？
【問題分析】 這個問題的難點在于PA+PB是一段折線段，通過觀察圖形很難得出結(jié)果，關(guān)于最小值，我們知道“兩點之間，線段最短”、“點到直線的連線中，垂線段最短”等，所以此處，需轉(zhuǎn)化問題，將折線段變?yōu)橹本€段． 【問題解決】 作點A關(guān)于直線的對稱點A'，連接PA'，則PA'=PA，所以PA+PB=PA'+PB
當(dāng)A'、P、B三點共線的時候，PA'+PB=A'B，此時為最小值（兩點之間線段最短）
 作端點（點A或點B）關(guān)于折點（上圖P點）所在直線的對稱，化折線段為直線段． 在OA、OB上分別取點M、N，使得△PMN周長最小。
此處M、N均為折點，分別作點P關(guān)于OA（折點M所在直線）、OB（折點N所在直線）的對稱點，化折線段PM+MN+NP為P'M+MN+NP''，當(dāng)P'、M、N、P''共線時，△PMN周長最小。 ························································ 【例題】如圖，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，∠AOB=30°，OP=8，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，則△PMN周長的最小值為________．
【分析】△PMN周長即PM+PN+MN的最小值，此處M、N均為折點，分別作點P關(guān)于OB、OA對稱點P'、P''，化PM+PN+MN為P'N+MN+P''M．
當(dāng)P'、N、M、P''共線時，得△PMN周長的最小值，即線段P'P''長，連接OP'、OP''，可得△OP'P''為等邊三角形，所以P'P''=OP'=OP=8．
“兩定兩動”之點到點 在OA、OB上分別取點M、N使得四邊形PMNQ的周長最小。
考慮PQ是條定線段，故只需考慮PM+MN+NQ最小值即可，分別作點P、Q關(guān)于OA、OB對稱，化折線段PM+MN+NQ為P'M+MN+NQ'，當(dāng)P'、M、N、Q'共線時，四邊形PMNQ的周長最小。 “一定兩動”之點到線 在OA、OB上分別取M、N使得PM+MN最小。
此處M點為折點，作點P關(guān)于OA對稱的點P'，將折線段PM+MN轉(zhuǎn)化為P'M+MN，即過點P'作OB垂線分別交OA、OB于點M、N，得PM+MN最小值（點到直線的連線中，垂線段最短） 尋找?guī)缀螆D形中端點關(guān)于折點所在直線的對稱點位置 【關(guān)于對角線對稱】 如圖，正方形ABCD的邊長是4，M在DC上，且DM=1， N是AC邊上的一動點，則△DMN周長的最小值是________．
【分析】考慮DM為定值，故求△DMN周長最小值即求DN+MN最小值．點N為折點，作點D關(guān)于AC的對稱點，即點B，連接BN交AC于點N，此時△DMN周長最?。?/p>
························································ 【假裝不存在的正方形】 （2019山東聊城）如圖，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），點C在邊AB上，且AC:CB=1:3，點D為OB的中點，點P為邊OA上的動點，當(dāng)點P在OA上移動時，使四邊形PDBC周長最小的點P的坐標(biāo)為（ ）
A．（2，2） B．（5/2，5/2） C．（8/3，8/3） D．（3，3） 【分析】此處點P為折點，可以作點D關(guān)于折點P所在直線OA的對稱：
也可以作點C的對稱：
························································ 【隱身的正方形】 （2017遼寧營口）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D在BC上，BD=3，DC=1，點P是AB上的動點，則PC+PD的最小值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】作點C關(guān)于P點所在直線AB的對稱點C'，當(dāng)C'、P、D共線時，PC+PD最小，最小值為5，故選B．
【等邊系列】 如圖，在等邊△ABC中，AB=6， N為AB上一點且BN=2AN， BC的高線AD交BC于點D，M是AD上的動點，連結(jié)BM，MN，則BM+MN的最小值是___________．
【分析】M點為折點，作B點關(guān)于AD的對稱點，即C點，連接CN，即為所求的最小值．
過點C作AB垂線，利用勾股定理求得CN的長為2倍根號7．
························································ 【隱身的等邊三角形】 如圖，在Rt△ABD中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N為AB上一點且BN=2AN， M是AD上的動點，連結(jié)BM，MN，則BM+MN的最小值是________．
【分析】對稱點并不一定總是在已知圖形上．
························································ 【角分線系列之點到點】 （2018山東濰坊）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠ACB，點F是AC的中點，點E是AD上的動點，則CE+EF的最小值為________．
【分析】此處E點為折點，可作點C關(guān)于AD的對稱，對稱點C'在AB上且在AB中點，化折線段CE+EF為C'E+EF，當(dāng)C'、E、F共線時得最小值，C'E為CB的一半．
························································ 【角分線系列之點到線】 （2018遼寧營口）如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于點D，M、N分別是BD，BC上的動點，則CM+MN的最小值是________．
【分析】此處M點為折點，作點N關(guān)于BD的對稱點，恰好在AB上，化折線CM+MN為CM+MN'．
因為M、N皆為動點，所以過點C作AB的垂線，可得最小值．
【菱形高】 （2018廣西貴港）如圖，在菱形ABCD中，AC為6倍根號2，BD=6，E是BC的中點，P、M分別是AC、AB上的動點，連接PE、PM，則PE+PM的最小值是____________．
【分析】此處P為折點，作點M關(guān)于AC的對稱點M'，恰好在AD上，化折線EP+PM為EP+PM'．
當(dāng)E、P、M'共線時，EP+PM最小，最小值即為菱形的高，可用面積法：AC·BD=BC·EM'.
························································ 【折點在邊上】 （2017山東菏澤）如圖，矩形ABOC的頂點A的坐標(biāo)為（-4,5），D是OB的中點，E是OC上的一點，當(dāng)△ADE的周長最小時，點E的坐標(biāo)是__________．
【分析】點E為折點，E是y軸上一點，作點D關(guān)于y軸的對稱點D'，連接AD，與y軸交點即為所求E點．
························································ 【面積與折點】 （2019西藏）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，動點P滿足△APB的面積是矩形ABCD面積的三分之一，則點P到A、B兩點距離之和PA+PB的最小值為_________．
【分析】由△APB面積是矩形面積三分之一，可作出P點軌跡為直線MN（AM=BN=2），作點B關(guān)于MN的對稱點B'，化折線PA+PB為PA+PB'．
當(dāng)A、P、B'共線時，取到最小值．
························································ 【全等與對稱】 （2017江蘇南通）如圖，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，點E、F、G、H分別在矩形ABCD各邊上，且AE=CG，BF=DH，則四邊形EFGH周長的最小值為________．
【分析】考慮到四邊形EFGH是平行四邊形，即求EH+EF最小值，此處E為折點，作F關(guān)于AB對稱點F'，則BF'=BF=DH=CM，∴MF'=BC=5，MH=DC=10，∴HF'為5倍根號5，周長最小值為10倍根號5．
（2018濱州）如圖，∠AOB=60°，點P是∠AOB內(nèi)的定點且OP為根號3，若點M、N分別是射線OA、OB上異于點O的動點，則△PMN周長的最小值是_________．
【分析】此處M、N均為折點，分別作點P關(guān)于OB、OA的對稱點P'、P''，化△PMN周長為P'N+NM+MP''．
當(dāng)P'、N、M、P''共線時，得最小值，利用60°角翻倍得∠P'OP''=120°，OP'=OP''=OP，可得最小值．
（2017湖北隨州）如圖，∠AOB的邊OB與x軸正半軸重合，點P是OA上的一動點，點N（3,0）是OB上的一定點，點M是ON的中點，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，則點P的坐標(biāo)為_________．
【分析】此處點P為折點，作點M關(guān)于OA的對稱對稱點M'如圖所示，連接PM'，化PM+PN為PM'+PN．
當(dāng)M'、P、N共線時，得最小值，又∠M'ON=60°且ON=2OM'，可得∠OM'N=90°，故P點坐標(biāo)可求．
如圖，已知正比例函數(shù)y=kx（k>0）的圖像與x軸相交所成的銳角為70°，定點A的坐標(biāo)為（0，4），P為y軸上的一個動點，M、N為函數(shù)y=kx（k>0）的圖像上的兩個動點，則AM+MP+PN的最小值為____________．
【分析】先考慮M為折點，作點P關(guān)于OM對稱點P'，化AM+MP+PN為AM+MP'+P'N
此處P'為折點，作點N關(guān)于OP'對稱點N'，化AM+MP'+P'N為AM+MP'+P'N'
當(dāng)A、M、P'、N'共線且AN'⊥ON'時，值最?。?/p>
已知將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？
【分析】考慮MN長度恒定，只要求AM+NB最小值即可．問題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時A點落在A'位置．
問題化為求A'N+NB最小值，顯然，當(dāng)共線時，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置．
通過幾何變換將若干段原本彼此分離線段組合到一起，是解決問題的關(guān)鍵~ 將軍過雙橋 已知將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過兩條河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？
【分析】考慮PQ、MN均為定值，所以路程最短等價于AP+QM+NB最小，對于這彼此分離的三段，可以通過平移使其連接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB為A'Q+QM+MB'．
當(dāng)A'、Q、M、B'共線時，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次確定P、N位置．
去除定量，組合變量 【問題介紹】 如圖，將軍在A點處，現(xiàn)在將軍要帶馬去河邊喝水，并沿著河岸走一段路，再返回軍營，問怎么走路程最短？ 【模型簡化】 已知A、B兩點，MN長度為定值，求確定M、N位置使得AM+MN+NB值最??？
【分析】考慮MN為定值，故只要AM+BN值最小即可．將AM平移使M、N重合，AM=A'N，將AM+BN轉(zhuǎn)化為A'N+NB．
構(gòu)造點A關(guān)于MN的對稱點A''，連接A''B，可依次確定N、M位置，可得路線．
一個例子 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點B在原點，點A、C在坐標(biāo)軸上，點D的坐標(biāo)為（6，4），E為CD的中點，點P、Q為BC邊上兩個動點，且PQ=2，要使四邊形APQE的周長最小，則點P的坐標(biāo)為________．
【分析】考慮PQ、AE為定值，故只要AP+QE最小即可，如圖，將AP平移至A'Q，考慮A'Q+QE最小值．
作點A'關(guān)于x軸的對稱點A''，連接A''E，與x軸交點即為Q點，左移2個單位即得P點．
挖掘定量 如圖，矩形ABCD中，AD=2，AB=4，AC為對角線，E、F分別為邊AB、CD上的動點，且EF⊥AC于點M，連接AF、CE，求AF+CE的最小值．
【分析】此題難點在于要得到AF與CE之間的關(guān)系，方能將這兩條線段聯(lián)系到一起．過點E作EH⊥CD交CD于H點，由相似可得：FH=1．
連接BH，則BH=CE
問題轉(zhuǎn)化為BH+AF最小值．
參考將軍遛馬的作法，作出圖形，得出AF+BH=A'H+B'H=A'B'=5．
NO.5 【動點最值問題19大模型（經(jīng)典）】
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