所需的前置知識(shí)：

1）函數(shù)的概念
2）實(shí)數(shù)理論

§1.序列及其極限

—1.序列

想必你小學(xué)時(shí)做過(guò)不少找序列規(guī)律的題目，比如下面這些：

\[\begin{align*} & x_n:\quad 0,3,8,15,24,\dotsm,n^2-1,\dotsm \& y_n:\quad \sqrt{2},\sqrt{2 \sqrt{2}},\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}, \dotsm,\underbrace{\sqrt{2 \sqrt{2 \dotsm\sqrt{2 \sqrt{2}}}}}_{n層根號(hào)},\& z_n:\quad 3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159,3.141592,3.1415926,\dotsm \end{align*} \]

對(duì)于 \(x_n\) ，相信你能十分輕易的寫出通項(xiàng)公式；但對(duì)于更復(fù)雜的 \(y_n\) ，它的通項(xiàng)公式就很難以初等方法寫出；更變態(tài)的是 \(z_n\) ，它的第 \(n\) 項(xiàng)就是 \(\pi\) 的前 \(n\) 位小數(shù)，通項(xiàng)公式不存在（ \(\pi\) 是無(wú)理數(shù)）。那么到底什么是序列呢？是不是所有序列都要求有一個(gè)通項(xiàng)公式呢？且看序列的定義：

對(duì)于正整數(shù)：

\[1,2,3,\dotsi,n,\dotsi,n',\dotsi \qquad \qquad (1) \]

存在對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)：

\[x_1,x_2,x_3,\dotsi,x_n,\dotsi,x_{n'},\dotsi \qquad \qquad (2) \]

滿足當(dāng) \(n'>n\) 時(shí) \(x_{n'}\) 在 \(x_n\) 后面，就稱 \((2)\) 為序列 \(x_n\) 。

這里的“序列”其實(shí)是一種正整數(shù)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，也可以說(shuō)是一種實(shí)數(shù)的位次，并不要求有通項(xiàng)公式或者確定的規(guī)律。

—2.其極限

對(duì)于像序列 \(x_n\) ：

\[x_1=1,x_2=\frac{1}{2},x_3=\frac{1}{3},\dotsi,x_n=\frac{1}{n},\dotsi \]

我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，隨 \(n\) 的增大，\(x_n-0\) 會(huì)越來(lái)越小，比任意的正數(shù)都要小，但又大于 \(0\) 。一個(gè)任意的正數(shù)都要小但又大于 \(0\) 的數(shù)，難道就是無(wú)窮小嗎？通過(guò)簡(jiǎn)單的反證法^[1]，我們證明不存在可以稱為“無(wú)窮小”的實(shí)數(shù)（即這個(gè)差不是所謂“無(wú)窮小”），那么怎么用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言去描述這個(gè)現(xiàn)象呢？這就引出序列的極限的定義：

對(duì)于任意正數(shù) \(\epsilon\) ，存在一個(gè)正整數(shù) \(N\) ，使在 \(n>N\) 時(shí)，一切 \(x_n\) 的值滿足

\[\lvert x_n-a \rvert < \epsilon \quad 或 \quad a-\epsilon < x_n < a \epsilon \quad \qquad (3) \]

則常數(shù) \(a\) 稱為序列 \(x=x_n\) 的極限，也稱變量 \(x\) 趨于 \(a\)，記作

\[\lim{x_n}=a \quad 或 \quad x_n \to a \]

這就巧妙的利用了實(shí)數(shù)的完備性，繞過(guò)了攔路的“已死量的幽靈^[2]”。這樣一個(gè)十分巧妙的定義格式被稱為“ \(\epsilon-N\) 語(yǔ)言”。

如果把序列 \(x_n\) 的一切取值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)表示在數(shù)軸上，那么常數(shù) \(a\) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就是這些點(diǎn)的凝聚中心：

特別的，把序列的極限的定義中的 \((3)\) 換成以下的式子：

\((4)\quad \lvert x_n \rvert < \epsilon\) ，即 \(\lim{x_n}=0\) ，就稱 \(x_n\) 為無(wú)窮小
\((5)\quad x_n > \Epsilon\) ，就稱 \(x_n\) 為正無(wú)窮，記作 \(\lim{x_n}= \infin\) 或 \(x_n \to \infin\)
（" "常省略）
\((6)\quad x_n < -\Epsilon\) ，就稱 \(x_n\) 為負(fù)無(wú)窮，記作 \(\lim{x_n}=-\infin\) 或 \(x_n \to -\infin\)

§2.極限的定理

—1.定理

由極限的定義，能十分輕易地推得下面的定理：

對(duì)于序列 \(x_n\) ，\(y_n\) ，\(z_n\) ：

\((Ⅰ)\quad\) 若總有 \(x_n=y_n\) ，則 \(\lim{x_n}=\lim{y_n}\)
\((Ⅱ)\quad\) 若總有 \(x_n>y_n \ (或 \geqslant)\) ，則 \(\lim{x_n} \geqslant \lim{y_n}\) （反之亦然）
\((Ⅲ)\quad\) 夾逼定理^[3]：若總有 \(x_n > y_n > z_n \ (或 \geqslant)\) ，且 \(\lim{x_n}=\lim{z_n}=a\) ，則 \(\lim{y_n}=a\)

以及下面的運(yùn)算法則：

對(duì)于序列 \(x_n\) ，\(y_n\) ，若 \(\lim{x_n}=a\) ， \(\lim{y_n}=b\) ， 則：

\((ⅰ)\quad\) \(\lim{(x_n \pm y_n)}=a \pm b\)
\((ⅱ)\quad\) \(\lim{k \cdot x_n}=ka\) （ \(k\) 為常數(shù)，本定理可以看作定理\((ⅰ)\)的推論）
\((ⅲ)\quad\) \(\lim{(x_ny_n)}=ab\)
\((ⅳ)\quad\) \(\lim{\frac{x_n}{y_n}}=\frac{a}\) （此時(shí) \(b \neq 0\) ）

這些定理能很好地幫助我們解決有關(guān)極限的諸多問(wèn)題。

但是，上述定理對(duì)兩個(gè)無(wú)窮大的差、兩個(gè)無(wú)窮大的比、兩個(gè)無(wú)窮小的比以及無(wú)窮大和無(wú)窮小的積，即：

\[\infin-\infin \ ,\ \frac{\infin}{\infin} \ ,\ \frac{0}{0} \ ,\ 0 \cdot \infin \]

的值如何計(jì)算，這些定理并沒(méi)有給出答案。它們被稱為不定式，對(duì)它們的研究被稱為不定式的定值法。

—2.例題

下面是一些求極限的例題：

1. 一個(gè)非常簡(jiǎn)單的極限

   對(duì)于序列 \(x_n=\frac{n-1}{n 1}\) ，求 \(\lim{x_n}\) 的值

   \[x_n=\frac{n-1}{n 1}=1 \frac{2}{n 1} \]

   令 \(x^{'}_n=\frac{1}{n 1}\) 。對(duì)于任意正數(shù) \(\epsilon\) ，取正整數(shù) \(N > \frac{1}{\epsilon} -1\) ，則對(duì)于任意 \(n>N\) ，有：

   \[\lvert x^{'}_n - 0 \rvert = x^{'}_n = \frac{1}{n 1}<\frac{1}{N 1} < \frac{1}{\frac{1}{\epsilon}} = \epsilon \]

   即 \(\lim{x^{'}_n}=0\) ，那么：

   \[\lim{x_n}=\lim\left(1 \frac{2}{n 1}\right)=1 \lim{\frac{2}{n 1}}=1 2\cdot \lim{x^{'}_n}=1 \]

   這就得到答案 \(\lim{x_n}=1\) 。這里用到了極限的定義和定理 \((ⅰ)(ⅱ)\) 。

2. 錐體體積的求法

   求如圖的三角錐體 \(S-ABC\) 的體積 \(V\)，其底面積 \(S_{\triangle{ABC}}=S\) ，高為 \(H\) 。

   

   將錐體的高 \(H\) 進(jìn)行 \(n\) 等分，過(guò)各等分點(diǎn)作平行于底面的平面，它們會(huì)在錐體上截出一系列與底面相似的三角形，其面積 \(S_k=\frac{k^2}{n^2}S\quad(k=1,2,\dotsi,n-1)\) 。以這些三角形（包括底面）作一系列內(nèi)含與外包的柱體，則外包的柱體的體積之和 \(V_n\) 與內(nèi)含的柱體的體積之和 \(V_{n}^{'}\) 滿足：

   \[V_n=\sum_{k=1}^{n}{\frac{k^2H}{n^3}S} > V > V_{n}^{'}=\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{k^2H}{n^3}S} \]

   但當(dāng) \(n\) 增大時(shí)，有：

   \[V_n-V_{n}^{'}=\frac{H}{n}S \to 0 \ , \quad 即\ \lim{V_n}=\lim{V_{n}^{'}} \quad (根據(jù)上面的定理(ⅰ)) \]

   所以根據(jù)上面的定理 \((Ⅲ)\) ，有：

   \[V=\lim{V_n}=\lim{V_{n}^{'}} \]

   因此可通過(guò)求 \(\lim{V_n}\) 求得 \(V\) ：

   \[\begin{align*} V=\lim{V_n} & =\lim{\sum_{k=1}^{n}{\frac{k^2H}{n^3}S}} \& =\lim{\frac{HS}{n^3}\sum_{k=1}^{n}{k^2}}\& =HS\cdot\lim{\frac{n(n 1)(2n 1)}{6n^3}}\& =HS\cdot\lim{\left(\frac{1}{3} \frac{1}{2n} \frac{1}{6n^2}\right)}=\frac{HS}{3} \end{align*} \]

   這里用到了定理 \((ⅰ)(ⅱ)\) ，以及前 \(n\) 個(gè)自然數(shù)的平方和公式。以上的證明過(guò)程可以推廣到任意底面形狀的錐體。

3. 一個(gè)簡(jiǎn)單但著名的問(wèn)題

   證明： \(0.\dot{9}=1\)

   構(gòu)造序列

   \[x_n = 0.\underbrace{999 \dotsm 9}_{n個(gè)9} = 1-\frac{1}{10^n}\\]

   并定義 \(0.\dot{9}=\lim{x_n}\) 。對(duì)于任意正數(shù) \(\epsilon\) ，取正整數(shù) \(N > \log_{10}{\frac{1}{\epsilon}}\) ，則對(duì)于任意 \(n>N\) ，有：

   \[\lvert x_n -1 \rvert=\frac{1}{10^n}<\frac{1}{10^N} <\frac{1}{10^{\log_{10}{\frac{1}{\epsilon}}}} =\frac{1}{\frac{1}{\epsilon}}=\epsilon \]

   即 \(\lim{x_n}=1\) ，所以：

   \[0.\dot{9}=\lim{x_n}=1 \]

   命題證明完畢。

§3.函數(shù)的極限

—1.定義及定理

函數(shù)，描述了兩個(gè)變量——自變量 \(x\) 和因變量 \(y\) ——之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。我們既然定義了序列（可以視作一個(gè)變量）的極限，便很自然引出函數(shù)的的極限的定義：

對(duì)于任意正數(shù) \(\epsilon\) ，存在一個(gè)正數(shù) \(\delta\) ，使得

\[若 \ \lvert x-a \rvert < \delta \則 \ \lvert f(x)-A \rvert < \epsilon \]

則稱當(dāng) \(x\) 趨于 \(a\) 時(shí)函數(shù) \(f(x)\) 的極限為 \(A\) ，記作

\[\lim_{x \to a}{f(x)}=A \]

由于這定義的格式太過(guò)于經(jīng)典，也被稱為“ \(\epsilon-\delta\) 語(yǔ)言”。這兩個(gè)希臘字母 \(\epsilon(epsilon)\) 和 \(\delta(delta)\) ^[4]在以后的章節(jié)還會(huì)是我們的?？?。

其實(shí)，序列 \(x_n\) 可以看作是以 \(n\) 為自變量，定義域?yàn)檎麛?shù)集合（ \(n \in \mathbb{N}\) ）的函數(shù) \(x(n)\) ；序列 \(x_n\) 的極限 \(\lim{x_n}\) 就相當(dāng)于函數(shù) \(x(n)\) 的極限 \(\lim_{n \to \infin}{x(n)}\) 。函數(shù)的極限源于（至少在思想源頭上相同）序列的極限，反過(guò)來(lái)又包含了序列的極限，是數(shù)學(xué)上極其典型的“父子關(guān)系”。

這里并沒(méi)有給出如同序列的極限中的 \((4)(5)(6)\) 的式子的定義，即當(dāng) \(x>\Delta\) （或 \(<-\Delta\) ），以及 \(f(x)>\Epsilon\) （或 \(<-\Epsilon\) ）時(shí)，函數(shù)極限的定義。我們可以仿照序列的定義寫作 \(\lim_{x \to a}{f(x)}=\infin\) （當(dāng) \(\lvert x-a \rvert < \delta\) 時(shí)，滿足 \(f(x) > \Epsilon\) ）。其余情況請(qǐng)?jiān)囍约簩懗觥?/p>

十分自然的，函數(shù)的極限”繼承“了序列的極限的所有性質(zhì)（如果要嚴(yán)格證明的話，其方法也與序列的極限的性質(zhì)的證明方法類似），只不過(guò)多了一個(gè)前提條件：

對(duì)于函數(shù) \(f(x)\) ，\(g(x)\) ，\(h(x)\) ，在充分小的鄰域^[5] \((a-\epsilon,a \epsilon)\) 中（這里實(shí)際上默認(rèn)了函數(shù)在這一區(qū)間里的每一點(diǎn)都有定義）：

\((Ⅰ)\quad\) 若總有 \(f(x)=g(x)\) ，則 \(\lim_{x \to a}{f(x)}=\lim_{x \to a}{g(x)}\)
\((Ⅱ)\quad\) 若總有 \(f(x)>g(x) \ (或 \geqslant)\) ，則 \(\lim_{x \to a}{f(x)} \geqslant \lim_{x \to a}{g(x)}\) （反之亦然）
\((Ⅲ)\quad\) 夾逼定理：若總有 \(f(x) > g(x) > h(x) \ (或 \geqslant)\) ，且 \(\lim_{x \to a}{f(x)}=\lim_{x \to a}{h(x)}=A\)
，則 \(\lim_{x \to a}{g(x)}=A\)

若 \(\lim_{x \to a}{f(x)}=A\) , \(\lim_{x \to a}{g(x)}=B\) ，則：

\((ⅰ)\quad\) \(\lim_{x \to a}{(f(x) \pm g(x))}=A \pm B\)
\((ⅱ)\quad\) \(\lim_{x \to a}{k \cdot f(x)}=kA\) （ \(k\) 為常數(shù)）
\((ⅲ)\quad\) \(\lim_{x \to a}{(f(x)g(x))}=A \cdot B\)
\((ⅳ)\quad\) \(\lim_{x \to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{A}{B}\) （此時(shí) \(B \neq 0\) ）

—2.一些簡(jiǎn)單的函數(shù)極限

1. 有理整函數(shù)

   證明：對(duì)于關(guān)于 \(x\) 的整式 \(f(x)=a_0 a_1x^1 a_2x^2\dotsm a_nx^n\) （其中 \(n\) 為自然數(shù)，\(a_0,a_1,a_2,\dotsm,a_n\) 為常數(shù) ），函數(shù) \(y=f(x)\) 的極限滿足 \(\lim_{x \to k}{f(x)}=f(k)\) 。

   我們將 \(f(x)\) 分拆成如下 \(n\) 個(gè)函數(shù)的和：

   \[\begin{align*} & f_0(x)=x^0=1,f_1(x)=x^1=x,f_2(x)=x^2,\dotsm,f_n(x)=x^n \& f(x)=a_0 \cdot f_0(x) a_1 \cdot f_1(x) a_2 \cdot f_2(x) \dotsm a_n \cdot f_n(x) \end{align*} \]

   考慮其中任意一個(gè)函數(shù) \(f_i(x)=x^i\) ，對(duì)于任意正數(shù) \(\epsilon\) ，存在一個(gè)正數(shù) \(\delta=\sqrt[i]{\epsilon k^i}-k\) ，使得當(dāng) \(0<x-k<\delta\) 時(shí)，有 \(k<x<\delta k=\sqrt[i]{\epsilon k^i}\) ，且：

   \[\begin{align*} f_i(x)-f_i(k) & =x^i-k^i\& <\left(\sqrt[i]{\epsilon k^i}\right)^i-k^i\& =\epsilon k^i-k^i\\ & =\epsilon \end{align*} \]

   即 \(\lim_{x \to k}{f_i(x)}=f_i(k)\) ，那么：

   \[\begin{align*} \lim_{x \to k}{f(x)} & =\lim_{x \to k}{(a_0 \cdot f_0(x) a_1 \cdot f_1(x) a_2 \cdot f_2(x) \dotsm a_n \cdot f_n(x))}\& =\lim_{x \to k}{a_0 \cdot f_0(x)} \lim_{x \to k}{a_1 \cdot f_1(x)} \lim_{x \to k}{a_2 \cdot f_2(x)} \dotsm \lim_{x \to k}{a_n \cdot f_n(x)} \& =a_0 \cdot \lim_{x \to k}{f_0(x)} a_1 \cdot \lim_{x \to k}{f_1(x)} a_2 \cdot \lim_{x \to k}{f_2(x)} \cdots a_n \cdot \lim_{x \to k}{f_n(x)} \& =a_0 \cdot f_0(k) a_1 \cdot f_1(k) a_2 \cdot f_2(k) \dotsm a_n \cdot f_n(k)\& =f(k) \end{align*} \]

   即 \(\lim_{x \to k}{f(x)}=f(k)\) ，命題證明完畢。這里用到了極限的定義和定理 \((ⅰ)(ⅱ)\) 。

   附注：
   我們把滿足 \(\lim_{x \to a}{f(x)}=f(a)\) 的函數(shù) \(f(x)\) 稱為在點(diǎn) \(a\) 處連續(xù)。連續(xù)的函數(shù)會(huì)有一些很好的性質(zhì)。所有的初等函數(shù)在它有定義的點(diǎn)都是連續(xù)的。

2. 有理分式函數(shù)^[6]

   對(duì)于上文中的 \(f(x)\) 以及關(guān)于 \(x\) 的整式 \(g(x)=b_0 b_1x^1 b_2x^2\dotsm b_mx^m\) （其中 \(m\) 為自然數(shù)，\(b_0,b_1,b_2,\dotsm,b_m\) 為常數(shù) ），函數(shù) \(y=\frac{f(x)}{g(x)}\) 在 \(0\) 與 \(\pm \infin\) 處的極限有：

   \[\lim_{x \to 0}y=\left\{ \begin{align*} & 0 && (a_0=0) \& \frac{a_0}{b_0} && (a_0\neq0,b_0\neq0) \& DNE && (b_0=0) \end{align*} \right. \quad,\quad \lim_{x \to \pm \infin}y=\left\{ \begin{aligned} & 0 && (m>n) \& \frac{a_0}{b_0} && (m=n) \& \pm \infin && (m<n) \end{aligned} \right. \]

   而在 \(g(x)\) 的零點(diǎn) \(a\) 處的極限有：

   \[\lim_{x \to a}y=\left\{ \begin{align*} & \lim_{x \to a}{\frac{\phi(a)}{\psi(a)}} && (f(x)=(x-a)\phi(x),g(x)=(x-a)\psi(x)) \& DNE && (f(a)\neq0) \end{align*} \right. \]

   讀者不妨用極限的定理 \((ⅳ)\) 加以證明。

3. 三角函數(shù)^[7]的極限

   其余的三角函數(shù)皆可用上面的兩個(gè)三角函數(shù)表示。

1. $ \cos x $

   證明： \(\displaystyle{\lim_{x \to 0}{\cos x}=1}\)

   對(duì)于任意正數(shù) \(\epsilon\) ，存在一正數(shù) \(\delta\) 滿足 \(0<\sin\frac{\delta}{2}<\frac{\epsilon}{2}\) ，使得當(dāng) \(\lvert x \rvert < \delta\) 時(shí)：

   \[1-\cos x=\cos0-\cos x = 2\sin^2\frac{x}{2} < 2\sin^2\frac{\delta}{2} < 2\sin\frac{\delta}{2} < \epsilon \]

   即 \(\lim_{x \to 0}{\cos x}=1\) ，命題證明完畢。這里用到了和差化積^[8]和極限的定義。

2. \(\sin x\)

   比起 \(\sin x\) 本身的極限（根據(jù)誘導(dǎo)公式 \(\sin x=\cos(x-\frac{\pi}{2})\) 可以簡(jiǎn)單地導(dǎo)出），我們更關(guān)心的是以下這個(gè)十分重要的極限：
   證明： \(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\frac{\sin}{x}}=1}\)

   首先證明如下的重要關(guān)系式：

   \[\sin x<x<\tan x \qquad (0<x<\frac{\pi}{2}) \]

   取半徑為 \(R\) 的 \(\odot O\) 中的 \(\angle AOB =x\) ，作 \(\odot O\) 在 \(A\) 點(diǎn)的切線 \(AC\) 交 \(OB\) 于點(diǎn) \(C\) ，如下圖：

   

   那么由圖可知：

   \[S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}R^2\sin x < S_{\text{扇形}AOB}=\frac{1}{2}R^2x < S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}R^2\tan x \]

   各式同時(shí)除以 \(\frac{1}{2}R^2\) 就得到關(guān)系式 \(\sin x<x<\tan x\) 。

   兩邊同時(shí)除以 \(\sin x\) 再取倒數(shù)，就得到：

   \[1>\frac{\sin x}{x}>\cos x \]

   又 \(\displaystyle{\lim_{x \to 0}{\cos x}=1}\) ，所以 \(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\frac{\sin}{x}}=1}\) ，命題證明完畢。這里用到了 \(\cos x\) 的極限和定理 \((Ⅲ)\) 。

   附注：
   我們把滿足 \(\lim_{x \to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=1\) 的兩函數(shù) \(f(x)\) 、 \(g(x)\) 稱為“當(dāng) \(x \to a\) 時(shí) \(f(x) \sim g(x)\) ”。滿足這樣關(guān)系的函數(shù)可以在當(dāng) \(x \to a\) 時(shí)相互替換而不改變式子的值。這樣的關(guān)系能在很多時(shí)候把復(fù)雜的函數(shù)替換成簡(jiǎn)單的函數(shù)。

§4.極限的實(shí)操

—1.數(shù) \(e\) 的定義

考察這樣一個(gè)序列：

\[x_n=\left( 1 \frac{1}{n} \right)^n \]

使用二項(xiàng)式定理，我們發(fā)現(xiàn)：

\[\begin{align*} x_n & =\left( 1 \frac{1}{n} \right)^n \& =\sum^{n}_{k=0}{\left( C^k_n\cdot\left(\frac{1}{n} \right)^k\cdot1^{n-k} \right)} \& =\sum^{n}_{k=0}{\left( \frac{n(n-1)(n-2)\dotsm(n-k 1)}{k!}\cdot\frac{1}{n^k} \right)} \& =\sum^{n}_{k=0}{\left( \frac{1}{k!}\prod_{i=1}^{k-1}{\left( 1 - \frac{i}{n} \right)} \right)} \end{align*} \\]

比較 \(x_n\) 與 \(x_{n 1}\) 的大小，有：

\[\begin{align*} x_{n 1}-x_n & = \sum^{n 1}_{k=0}{\left( \frac{1}{k!}\prod_{i=1}^{k-1}{\left( 1 - \frac{i}{n 1} \right)} \right)} - \sum^{n}_{k=0}{\left( \frac{1}{k!}\prod_{i=1}^{k-1}{\left( 1 - \frac{i}{n} \right)} \right)} \& = \sum^{n}_{k=0}{\left( \frac{1}{k!}\prod_{i=1}^{k-1}{\left( 1 - \frac{i}{n 1} \right)} - \frac{1}{k!}\prod_{i=1}^{k-1}{\left( 1 - \frac{i}{n} \right)} \right)} \frac{1}{(n 1)!}\prod_{i=1}^{n}{\left( 1 - \frac{i}{n 1} \right)}>0 \end{align*} \]

即 \(x_n<x_{n 1}\) ，這個(gè)序列單調(diào)遞增。將所有的 \(\left( 1 - \frac{i}{n} \right)\) 換成 \(1\) ，又有：

\[x_n<\sum^{n}_{k=0}{\frac{1}{k!}}=2 \sum^{n}_{k=2}{\frac{1}{k!}} <2 \sum^{n}_{k=2}{\frac{1}{2^k}}<3 \]

這個(gè)序列有上界。一個(gè)單調(diào)遞增又有上界的序列，顯然有一有限極限^[9]。我們把這一極限極限記作：

\[e=\lim{x_n}=\lim{\left( 1 \frac{1}{n} \right)^n} \]

數(shù) \(e\) 本身應(yīng)用廣泛，以它為底的對(duì)數(shù)函數(shù)（ \(y=\log_{e}x=\ln x\) ，這被稱為自然對(duì)數(shù)）和指數(shù)函數(shù)（ \(y=e^x\) ）有很多優(yōu)美的性質(zhì)，我們?cè)谝院蟮恼鹿?jié)會(huì)常常見(jiàn)到它們。

那么從序列拓展到函數(shù)，我們有如下的命題：

證明： \(\displaystyle{\lim_{x \to \pm \infin}{\left( 1 \frac{1}{x} \right)^x}=e}\)

首先考慮 \(x \to \infin\) 的情況。對(duì)于任意大的 \(x\) ，取正整數(shù) \(n\) 滿足 \(n_x \leqslant x < n_x 1\) ，則當(dāng) \(x \to \infin\) 時(shí)，有 \(n_x \to \infin\) 。這時(shí)：

\[\frac{1}{n_x 1} < \frac{1}{x} \leqslant \frac{1}{n_x} \1 \frac{1}{n_x 1} < 1 \frac{1}{x} \leqslant 1 \frac{1}{n_x} \{\left( 1 \frac{1}{n_x 1} \right)}^{n_x} < {\left( 1 \frac{1}{x} \right)}^x \leqslant {\left( 1 \frac{1}{n_x} \right)}^{n_x 1} \\]

兩邊的式子的極限為：

\[\begin{align*} & \lim{{\left( 1 \frac{1}{n_x 1} \right)}^{n_x}} = \cfrac{\lim{{\left( 1 \cfrac{1}{n_x 1} \right)}^{n_x 1}}}{\lim{\left( 1 \cfrac{1}{n_x 1} \right)}} = e \& \lim{{\left( 1 \frac{1}{n_x} \right)}^{n_x 1}} = \lim{{\left( 1 \cfrac{1}{n_x} \right)}^{n_x}}\cdot\lim{\left( 1 \cfrac{1}{n_x} \right)} = e \end{align*} \]

所以有 \(\displaystyle{\lim_{x \to \infin}{\left( 1 \frac{1}{x} \right)^x}=e}\) 。 \(x \to -\infin\) 的情況只需換元 \(t=-x\) ，就有：

\[\begin{align*} \lim_{x \to -\infin}{\left( 1 \frac{1}{x} \right)^x} & = \lim_{t \to \infin}{\left( 1 - \frac{1}{t} \right)^{-t}} \& = \lim_{t \to \infin}{\left( \frac{t}{t-1} \right)^t} \& = \lim_{t \to \infin}{\left( 1 \frac{1}{t-1} \right)^{t-1}} \cdot \lim_{t \to \infin}{\left( 1 \frac{1}{t-1} \right)} \& = e \end{align*} \]

命題證明完畢。這里用到了 \(e\) 的定義和定理 \((Ⅲ)\) 。定理的等價(jià)表述是 \(\lim_{x \to 0}{( 1 x )^{\frac{1}{x}}}=e\) 。

—2.圓的周長(zhǎng)面積公式的驗(yàn)證

相信你早在小學(xué)就學(xué)過(guò)圓的周長(zhǎng)面積公式，但并沒(méi)有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明（或者說(shuō)驗(yàn)證）它們。我們不妨從極限論的角度驗(yàn)證這個(gè)公式，順便練習(xí)三角函數(shù)的極限。

我們知道對(duì)于頂角為 \(\theta\) 、腰長(zhǎng)為 \(r\) 的等腰三角形，其底邊長(zhǎng)度為 \(2r\cdot\sin{\frac{\theta}{2}}\) ，其面積為 \(\frac{1}{2}r^2\cdot\sin{\theta}\) ；不妨用正 \(n\) 邊形去逼近圓（相當(dāng)于把圓視作正 \(\infin\) 邊形，動(dòng)態(tài)演示見(jiàn)文件 §4-2.ggb ），那么有：

\[\begin{align*} & C_n=n \cdot 2r \cdot \sin{\frac{\pi}{n}} \& C_{\odot}=\lim{C_n}=2nr \cdot \lim{\sin{\frac{\pi}{n}}} =2nr \cdot \frac{\pi}{n}=2 \pi r \& S_n=n \cdot \frac{1}{2}r^2 \cdot \sin{\frac{2\pi}{n}} \& S_{\odot}=\lim S_n=\frac{1}{2}nr^2 \cdot \lim{\sin{\frac{2\pi}{n}}} =\frac{1}{2}nr^2 \cdot \frac{2\pi}{n}=\pi r^2 \end{align*} \]

就得到圓的周長(zhǎng)與面積公式。這里用到了 \(\sin x\) 的極限（只需注意到 \(\frac{\pi}{n} \to 0\) ， \(\sin{\frac{\pi}{n}} \sim \frac{\pi}{n}\) 即可）。

—3.一個(gè)偽證：\(\pi=4\)

這個(gè)偽證盡管看起來(lái)十分“合理”，但顯然是不正確的。那它錯(cuò)在哪里呢？

若要證 \(\pi=4\) ，不妨從證 \(4-\pi=0\) 下手。從極限論的角度，我們便要構(gòu)造一個(gè)序列 \(x_n\) 逼近（幾何意義上） \(4-\pi\) ，并嘗試證明 \(\lim{x_n}=0\) 。

根據(jù)上圖中的“證明”，第 \(n\) 次把角折進(jìn)去前，每一個(gè)角和這一個(gè)角所“夾住”的圓弧從差為 \(\delta_n=\frac{4-\pi}{4n}\) ，顯然有 \(\lim{\delta_n}=0\) ，每一份的差的確趨于 \(0\) 。但總體的差 \(x_n=4n\cdot\delta_n=4-\pi\) 為常數(shù)，并不能說(shuō)明 \(4-\pi=\lim{x_n}\) （這一個(gè)極限是由幾何圖形得來(lái)的）等于 \(0\) 。這里的 \(x_n\) 其實(shí)是一個(gè) \(0\cdot\infin\) 型不等式，僅僅針對(duì)其中趨于 \(0\) 的一部分，就說(shuō)整體趨于 \(0\) ，是錯(cuò)誤的。

華羅庚老先生說(shuō)過(guò)“形少數(shù)時(shí)難入微”。在面對(duì)無(wú)窮小、無(wú)窮大這樣的對(duì)象時(shí)，圖形的表現(xiàn)往往差強(qiáng)人意。從極限論（乃至微積分學(xué)）的角度看，圖形的作用僅在于啟發(fā)思路或直觀定性，真正的結(jié)論還是要從計(jì)算中得出。

—4.正方形上的蝸牛

下面一道趣題，可以看作本篇的結(jié)束。

在一個(gè)邊長(zhǎng)為 \(l\) 的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上有四只蝸牛，每只蝸牛以相同速度勻速向它順時(shí)針?lè)较虻哪且恢晃伵Ｅ廊ィ伵Ｔ谂绖?dòng)過(guò)程中會(huì)不斷調(diào)整爬動(dòng)方向，使之正對(duì)著它要爬向的蝸牛。求四只蝸牛相遇于正方形中心所要經(jīng)過(guò)的距離。

為了方便處理“連續(xù)的”轉(zhuǎn)向，我們不妨假設(shè)，每只蝸牛爬了與目標(biāo)蝸牛當(dāng)前距離的 \(\frac{1}{k} \ (k>2)\) 時(shí)才意識(shí)到自己要轉(zhuǎn)向； 注意到蝸牛在相遇于正方形中心前需要無(wú)數(shù)次轉(zhuǎn)向（這也是我們無(wú)法處理的），不妨假設(shè)蝸牛轉(zhuǎn)向了 \(n\) 次之后就停止；如下圖（紫色的曲線是蝸牛的實(shí)際路徑，紫紅色點(diǎn)是假設(shè)中蝸牛的轉(zhuǎn)向處，粉紅色的折線是假設(shè)中蝸牛走過(guò)的路徑。動(dòng)態(tài)演示見(jiàn)文件 §4-4.ggb ）：

用式子把假設(shè)中路徑的長(zhǎng)度 \(L_n(k)\) 表示出來(lái)，并對(duì) \(n\) 作序列 \(L_n(k)\) 的極限，得到無(wú)數(shù)次旋轉(zhuǎn)后的路徑長(zhǎng)度關(guān)于 \(k\) 的函數(shù) \(L(k)=\lim{L_n(k)}\) ；要使蝸牛的“延時(shí)” \(\frac{1}{k} \to 0\) ，就要再對(duì) \(k\to\infin\) 作函數(shù) \(L(k)\) 的極限，即可求出答案 \(L=\lim_{k\to\infin}{L(k)}\) 。

注意到四只蝸牛同批次轉(zhuǎn)向點(diǎn)構(gòu)成的正方形等比相似，相鄰兩次的相似比為 \(\cfrac{\sqrt{(k-1)^2 1}}{k}\) （由勾股定理得出，相似比 \(<1\) ）；則第 \(i\) 個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為 \(l \cdot \left( \cfrac{\sqrt{(k-1)^2 1}}{k} \right)^i\) ，而第 \(i\) 段線段的長(zhǎng)度是邊長(zhǎng)的 \(\cfrac{1}{k}\) ，即 \(\cfrac{l}{k} \cdot \left( \cfrac{\sqrt{(k-1)^2 1}}{k} \right)^i\) ；對(duì)這些線段求和，得到：

\[\begin{align*} L_{n}(k) & =\sum_{i=0}^{n}{\left( \frac{l}{k} \cdot \left( \frac{\sqrt{(k-1)^2 1}}{k} \right)^i \right)} \& =\frac{l}{k} \cdot \frac{1 - \left( \cfrac{\sqrt{(k-1)^2 1}}{k} \right)^{n 1}}{1-\cfrac{\sqrt{(k-1)^2 1}}{k}} \& =\frac{l}{k} \cdot \left( 1 - \left( \frac{\sqrt{(k-1)^2 1}}{k} \right)^{n 1} \right) \cdot \frac{k}{k-\sqrt{(k-1)^2 1}} \end{align*} \]

這里用到了等比數(shù)列的計(jì)算公式^[10]。對(duì)以上式子對(duì) \(n\) 作序列的極限（把 \(k\) 視作常數(shù)），得到：

\[\begin{align*} L(k) & =\lim{L_{n}(k)} \& =\frac{l}{k} \cdot \frac{k}{k-\sqrt{(k-1)^2 1}} \cdot \lim{\left( 1 - \left( \frac{\sqrt{(k-1)^2 1}}{k} \right)^{n 1} \right)} \& =\frac{l}{k-\sqrt{(k-1)^2 1}} \end{align*} \]

后一項(xiàng)的極限 \(0\) 是容易得到的。對(duì)以上式子對(duì) \(k\to\infin\) 作函數(shù)的極限，得到：

\[L=\lim_{k\to\infin}{L(k)}=l \cdot \lim_{k\to\infin}{\frac{1}{k-\sqrt{(k-1)^2 1}}} \]

注意到當(dāng) \(k\to\infin\) 時(shí)，有 \(\sqrt{(k-1)^2 1} \sim (k-1)\) （感性地理解： \( 1\) 面對(duì) \((k-1)^2 \to \infin\) 是可以忽略的），把這帶入以上式子，得到一個(gè)及其美妙的結(jié)果：

\[L=\lim_{k\to\infin}{L(k)}=l \]

附注1：
蝸牛爬過(guò)的曲線其實(shí)是對(duì)數(shù)螺線 \(r=A \cdot e^{\theta}\) （其中 \(A\) 為常數(shù)，作用為縮放函數(shù)圖像，它與正方形邊長(zhǎng) \(l\) 的具體關(guān)系是 \(l=\sqrt{2}e^{\pi/2} \cdot A\) ），這條螺線的一些性質(zhì)會(huì)在后面的章節(jié)加以研究。

附注2：
此題其實(shí)另有一個(gè)取巧的思路：考慮到蝸牛兩兩之間垂直方向上的初始距離為正方形邊長(zhǎng) \(l\) ；由于連續(xù)的轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)，蝸牛的運(yùn)動(dòng)方向始終兩兩垂直，即垂直方向上的相對(duì)速度差為 \(0\) ，就可以視目標(biāo)蝸牛在垂直方向上靜止；那么要爬向距離為 \(l\) 的靜止物體要經(jīng)過(guò)的距離就是 \(l\) 。

極限論的內(nèi)容就是這么多。它不僅是整個(gè)微積分（標(biāo)準(zhǔn)分析）的理論基礎(chǔ)，也是思想基礎(chǔ)。這種近乎暴力的“用有限逼近無(wú)窮，用離散逼近連續(xù)”的方法，就是微積分這種“數(shù)學(xué)方法”的本質(zhì)所在。微積分的大門已在你面前敞開(kāi)，我們即將跟隨牛老爵爺?shù)牟椒プ哌M(jìn)微分的世界。欲知后事如何，且看下章。

\[\ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \mathtt{Square-Circle} : 2020.11.1 \sim 2021.2.11 \ \\]