如圖所示，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），且此拋物線頂點(diǎn)為D（1，9/2）．

（1）求拋物線的解析式（化為一般形式）

（2）連接BD，點(diǎn)P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、D重合），過(guò)點(diǎn)P作PE⊥y軸，垂足是點(diǎn)E，連接BE．設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），△PBE的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取最大值時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸，垂足是點(diǎn)F，連接EF，把△PEF沿直線EF折疊

，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P′，請(qǐng)直接寫出P′點(diǎn)的坐標(biāo)（不必畫圖），并直接判斷點(diǎn)P′是否在該拋物線上．

考點(diǎn)分析：

二次函數(shù)綜合題．

題干分析：

（1）由拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，9/2），設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+9/2，再把C（0，4）代入，得出關(guān)于a的方程，解方程求出a=﹣1/2，即可得出拋物線的解析式；

（2）根據(jù)拋物線的解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式為y=﹣3x/2+6，由點(diǎn)P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)P（x，﹣3x/2+6）．得出PE=x，OE=﹣3x/2+6，再根據(jù)三角形的面積公式列式得出S=PE·OE/2=xy/2=x/2（﹣3x/2+6）=﹣3x2/4+3x（1＜x＜4），利用配方法化為頂點(diǎn)式求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取最大值時(shí)，P（2，3），則E（0，3），F(xiàn)（2，0）．畫出圖形．利用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式為y=﹣3x/2+3．根據(jù)折疊的性質(zhì)得出P′E=PE=2，PP′⊥EF，由互相垂直的兩直線斜率之積為﹣1，得出直線PP′的斜率為2/3，再求出直線PP′的解析式為y=2x/3+5/3，設(shè)P′（x，2x/3+5/3），根據(jù)P′E=2列出方程x2+（2x/3+5/3﹣3）2=4，解方程求出x的值，進(jìn)而求解即可．