1.“數(shù)學(xué)欣賞”教學(xué)研究的現(xiàn)狀

       在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行“數(shù)學(xué)欣賞”的已有研究成果具有以下特點(diǎn)：

（1）研究大多集中于欣賞數(shù)學(xué)的外在美感，較少欣賞數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯和理性精神。

（2）欣賞的具體案例大多集中于數(shù)學(xué)發(fā)展史上的經(jīng)典模型、趣味問(wèn)題等，較少針對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行提煉、欣賞。

（3）研究?jī)?nèi)容大多是在日常課堂教學(xué)中滲透“數(shù)學(xué)欣賞”，專門(mén)研究“數(shù)學(xué)欣賞”校本課程開(kāi)發(fā)的成果不多。

總體而言，在課堂教學(xué)中對(duì)高中數(shù)學(xué)進(jìn)行欣賞的相關(guān)研究，目前還處于初步探索階段。

2．基于核心概念的數(shù)學(xué)欣賞的基本認(rèn)識(shí)

2.1  核心概念

在一個(gè)概念體系中，有些概念處于核心位置，其他概念或由它生成，或與它有密切的聯(lián)系，我們稱這些概念為核心概念。由核心概念生長(zhǎng)出來(lái)的概念稱為子概念。把握住數(shù)學(xué)的核心概念（包括重要的子概念），就抓住了數(shù)學(xué)知識(shí)的根本，掌握了知識(shí)增長(zhǎng)的源泉。概念教學(xué)的核心是“概括”，而“數(shù)學(xué)能力就是以數(shù)學(xué)概括為基礎(chǔ)的能力”，核心概念的概括和梳理對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力具有重要的作用。鑒于數(shù)學(xué)核心概念在增長(zhǎng)數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)展數(shù)學(xué)能力上的中心地位，筆者在數(shù)學(xué)欣賞課堂教學(xué)中，堅(jiān)持每個(gè)課例都緊緊圍繞某個(gè)核心概念（或重要的子概念），數(shù)學(xué)欣賞也就成了欣賞數(shù)學(xué)概念。

2.2  內(nèi)容選擇

首先，對(duì)于構(gòu)造性強(qiáng)、思維跨度大、方法創(chuàng)新程度高的教學(xué)內(nèi)容，可以讓學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)的探索發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，通過(guò)概念發(fā)生發(fā)展歷史中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，了解數(shù)學(xué)概念經(jīng)歷的由“火熱的思考”到“冰冷的美麗”的演變過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，發(fā)展數(shù)學(xué)能力。比如，在“欣賞對(duì)數(shù)”中可以介紹對(duì)數(shù)發(fā)展史的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)[8]。

其次，數(shù)學(xué)欣賞要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題，充分挖掘數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量。一方面是對(duì)選取的概念進(jìn)行系統(tǒng)的剖析（內(nèi)涵、外延、各種表征），一方面是選取與概念對(duì)應(yīng)的“好題”，通過(guò)解題幫助領(lǐng)悟核心概念所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。

最后，如何看待中國(guó)傳統(tǒng)文化的現(xiàn)實(shí)意義，是當(dāng)前的一個(gè)理論熱點(diǎn)。我國(guó)當(dāng)前基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)課程，并非中國(guó)古代數(shù)學(xué)的延伸，而是全盤(pán)從西方引入的。因此，將西方數(shù)學(xué)與中華文明進(jìn)行適度整合，從中華文化的角度來(lái)詮釋西方數(shù)學(xué)，是一項(xiàng)值得思考的課題。比如，在“欣賞無(wú)限”中，筆者列舉了與數(shù)學(xué)中研究“無(wú)限”的方法有意境相通之處的若干名句。

2.3  結(jié)構(gòu)化教學(xué)

我們討論的數(shù)學(xué)欣賞，都是把學(xué)習(xí)過(guò)的教學(xué)素材按照研究的主題集中在一起讓學(xué)生重新欣賞，為了在這種復(fù)習(xí)中提升對(duì)相關(guān)主題的認(rèn)識(shí)層次，避免簡(jiǎn)單地炒冷飯，就需要對(duì)選擇的教學(xué)素材進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕M織。筆者在數(shù)學(xué)欣賞課堂上，都是按照結(jié)構(gòu)化教學(xué)的原則來(lái)組織欣賞素材。

每節(jié)課都圍繞一個(gè)中心論題（核心概念或重要子概念）展開(kāi)教學(xué)，經(jīng)歷“從表面到本質(zhì)——理解概念的內(nèi)涵與外延”“從抽象到具體——對(duì)概念的不同表現(xiàn)形式的具體把握”“從孤立到系統(tǒng)——對(duì)概念之間的關(guān)系、聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，將概念組織為具有層次性、立體化的結(jié)構(gòu)體系”的過(guò)程，精心組織相關(guān)的數(shù)學(xué)素材，使相應(yīng)的核心概念（及其反映的重要思想）成為一個(gè)有機(jī)整體，使學(xué)生形成邏輯關(guān)系清晰、聯(lián)系緊密的概念序列，從而形成功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，切實(shí)發(fā)展數(shù)學(xué)能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。比如，在“欣賞角”中，通過(guò)對(duì)空間中“線面角”“面面角”的兩種理解(可以看成是“線線角”的最值、通過(guò)平面的法線可以轉(zhuǎn)化為“線線角”)來(lái)闡述角概念的內(nèi)涵，通過(guò)“有向角”來(lái)說(shuō)明角概念的外延，通過(guò)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系、向量夾角與數(shù)量積的關(guān)系來(lái)認(rèn)識(shí)角概念的多元表征。

2.4  校本教材

在數(shù)學(xué)欣賞校本教材的編寫(xiě)上，主要是以專題案例的形式進(jìn)行組織。數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)特的結(jié)構(gòu)性決定了難以就單一知識(shí)點(diǎn)開(kāi)發(fā)出豐富的數(shù)學(xué)欣賞的素材，而需要整合知識(shí)內(nèi)容，將零散的學(xué)習(xí)內(nèi)容集中起來(lái)進(jìn)行專題開(kāi)發(fā)，放大某個(gè)數(shù)學(xué)本質(zhì)，凸顯某種數(shù)學(xué)價(jià)值。需要特別強(qiáng)調(diào)的是，校本教材中各專題緊緊圍繞高中數(shù)學(xué)教材中的核心內(nèi)容，大部分素材都取自教材、高考題等，只在數(shù)學(xué)發(fā)展史、人文意境等方面補(bǔ)充適當(dāng)?shù)钠渌牧稀?/p>

在校本教材的課程體系建構(gòu)中，不要求知識(shí)的系統(tǒng)性，而在學(xué)生可接受的范圍內(nèi)以點(diǎn)帶面地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的工具理性和價(jià)值理性，引導(dǎo)學(xué)生在領(lǐng)悟數(shù)學(xué)理性精神的前提下，感悟數(shù)學(xué)的人文意境?！陡咧袛?shù)學(xué)欣賞》校本教材的編寫(xiě)，最重要的指向是挖掘隱藏在高中數(shù)學(xué)教材的概念、結(jié)論背后的數(shù)學(xué)思想方法，欣賞數(shù)學(xué)的理性精神。

 3. 高中數(shù)學(xué)欣賞選修課的教學(xué)實(shí)踐

3.1  課程開(kāi)設(shè)時(shí)間

許多數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想，剛開(kāi)始接觸時(shí)沒(méi)有辦法說(shuō)透，真正的欣賞是在基本的理解和掌握的基礎(chǔ)上才會(huì)產(chǎn)生的。從這個(gè)意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)欣賞，是在基本理解的基礎(chǔ)上做進(jìn)一步的深入理解。所以，數(shù)學(xué)欣賞選修課應(yīng)在大部分高中數(shù)學(xué)內(nèi)容已經(jīng)學(xué)完的條件下開(kāi)設(shè)，考慮到一線教學(xué)的實(shí)際，筆者決定在高二第二學(xué)期開(kāi)設(shè)選修課，以一種全新的復(fù)習(xí)形式，挖掘教材中隱含的數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)的理解。

3.2  課程案例開(kāi)發(fā)

案例（專題）的開(kāi)發(fā)是設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)欣賞的根本。筆者梳理了上海高中數(shù)學(xué)教材中的所有內(nèi)容（主要是代數(shù)和幾何），選取了背后蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)欣賞素材的若干概念，依次開(kāi)發(fā)了數(shù)學(xué)欣賞十二講。涉及高二第二學(xué)期知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容盡量放在課程的后面幾講，大致配合日常必修課教學(xué)的進(jìn)度。

3.3 學(xué)生學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

因?yàn)椴煌膶W(xué)生處于不同的欣賞層次，所以需要對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)欣賞選修課上的學(xué)習(xí)進(jìn)行開(kāi)放的評(píng)價(jià)，重點(diǎn)體現(xiàn)在考核方式上。筆者要求學(xué)生在學(xué)期末交一份作業(yè)（任選一種形式）：寫(xiě)一篇數(shù)學(xué)欣賞的小文（可以是讀書(shū)筆記、上課感受等）、編一道值得欣賞的數(shù)學(xué)題（可以是改編做過(guò)的一道好題）、做一個(gè)數(shù)學(xué)小課題（可以是通過(guò)數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題）。

4. 高中數(shù)學(xué)欣賞課程的教學(xué)思考

4.1  數(shù)學(xué)欣賞與數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)

        數(shù)學(xué)欣賞教學(xué)立足于核心概念（或重要子概念），通過(guò)結(jié)構(gòu)化教學(xué)，整合體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的素材，幫助學(xué)生構(gòu)建結(jié)構(gòu)功能良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。而學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是具有開(kāi)闊視野、靈活思維并善于多角度思考問(wèn)題的前提，是學(xué)生數(shù)學(xué)能力強(qiáng)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)高的重要表現(xiàn)和保證。通過(guò)數(shù)學(xué)欣賞課程的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、人文價(jià)值、美學(xué)價(jià)值，激發(fā)對(duì)于數(shù)學(xué)創(chuàng)新原動(dòng)力的認(rèn)識(shí)，受到優(yōu)秀文化的熏陶，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

4.2  數(shù)學(xué)欣賞與教師專業(yè)發(fā)展

        數(shù)學(xué)欣賞的前提是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)必須有一個(gè)真正的認(rèn)識(shí)，融會(huì)貫通之后，才能在一定層次上進(jìn)行欣賞。開(kāi)展數(shù)學(xué)欣賞教學(xué)，對(duì)教師的專業(yè)素養(yǎng)提出了更高的要求，除了具有豐富的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底外，還應(yīng)具備一定的文史功底(包括數(shù)學(xué)史)，惟有教師多讀多思多悟，才能在案例開(kāi)發(fā)時(shí)對(duì)貼切的素材信手拈來(lái)，在課堂教學(xué)中能游刃有余。尤其需要指出的是，數(shù)學(xué)欣賞的教學(xué)素材，課本中沒(méi)有現(xiàn)成的設(shè)計(jì)，現(xiàn)有文獻(xiàn)成果雖然可以提供部分借鑒，但立足于高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的優(yōu)秀案例仍需要研究者通過(guò)學(xué)習(xí)和鉆研，自己去發(fā)現(xiàn)和提煉，這需要教師對(duì)數(shù)學(xué)的獨(dú)到理解，也需要教師教學(xué)智慧的迸發(fā)，更需要教師教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積淀。在數(shù)學(xué)欣賞案例開(kāi)發(fā)中，做到“于無(wú)聲處聽(tīng)驚雷，于無(wú)色處見(jiàn)繁花”，對(duì)教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和教學(xué)業(yè)務(wù)功底提出了極大的挑戰(zhàn)。

        筆者一邊學(xué)習(xí)張奠宙先生的有關(guān)數(shù)學(xué)欣賞的理論論述，一邊積極開(kāi)發(fā)一些選修課的教學(xué)案例、課例，嘗試如何將“數(shù)學(xué)欣賞”落實(shí)到校本選修課中，幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。希望有更多的老師加入到數(shù)學(xué)欣賞的教學(xué)實(shí)踐中來(lái)，并在教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上進(jìn)行理論構(gòu)建上的思考，從實(shí)踐到理論，開(kāi)展一些實(shí)證研究工作。

*本文是上海市青年教師教育教學(xué)研究課題“高中‘?dāng)?shù)學(xué)欣賞’校本課程的開(kāi)發(fā)研究”（Y2015A13S122V2075）的階段性成果.

1.   章建躍.數(shù)學(xué)課程改革與教師專業(yè)化發(fā)展[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬)，2007（12）：3-7

2.   張奠宙，柴俊.欣賞數(shù)學(xué)的真善美[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2010（1-2）：3-7

3.   張奠宙.談?wù)n堂教學(xué)中如何進(jìn)行數(shù)學(xué)欣賞[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2010（10）：1-2

4.   張奠宙.數(shù)學(xué)欣賞：一片等待開(kāi)發(fā)的沃土[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬)，2014（1-2）：3-6

5.   李邦河.數(shù)的概念的發(fā)展[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2009（8）：1-3,9

6.   邵光華，章建躍.數(shù)學(xué)概念的分類(lèi)、特征及其教學(xué)探討[J].課程﹒教材﹒教法，2009（7）:47-51

7.   林崇德. 我的心理學(xué)觀[M].北京：商務(wù)印書(shū)館，2008:401

8.   任念兵.基于核心概念的高中“數(shù)學(xué)欣賞”教學(xué)三探[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2017（8）：26-30

9.   任念兵，汪健.基于核心概念的高中“數(shù)學(xué)欣賞”教學(xué)初探[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)版），2016（7）：28-32

10.  章建躍. 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)研究[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2006（7）:20-26

11.  任念兵，汪健.再議在高三復(fù)習(xí)課上“玩概念”[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2016（4）：7-11

12.  張奠宙.萬(wàn)變不離其宗——數(shù)學(xué)欣賞：欣賞數(shù)學(xué)中的不變量與不變性質(zhì)[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2012（1）：1-3

13.  任念兵，汪健.立足教材理解數(shù)學(xué)優(yōu)化教學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2016（8）：21-25

14.  章建躍等.美國(guó)高中數(shù)學(xué)核心概念圖[J].課程﹒教材﹒教法，2013（11）:115-121

15.  任念兵.基于核心概念的高中“數(shù)學(xué)欣賞”教學(xué)再探[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2016（12）:27-31