長久以來，數(shù)學都是精密、嚴格、準確的象征。

人類非理性的行為主導了社會、政治、經(jīng)濟、文化等領域的蓬勃發(fā)展，而在理性統(tǒng)治的時代，現(xiàn)代科學也在不斷用實驗和數(shù)據(jù)支撐或者反駁前人的論斷，從而引領人們走向一條自我進化之路。路的遠方只能無限接近真理，卻永遠無法抵達那里。于是，在世間萬物變化無窮的表象之下，數(shù)學成了人們最后確定性的倚靠。

如果數(shù)學的根基被動搖，人類認識世界的邏輯基礎就可能被顛覆。當一加一不再等于二，人類文明構建的宏偉大廈即可能在頃刻之間坍塌，所有固若金湯、堅不可摧的真理信條也會在瞬間失去存在的理由。世間一切文明亦會在一夜之間灰飛煙滅。宇宙最終只能沉寂于混沌的深淵。從某種角度來說，數(shù)學不能出現(xiàn)矛盾，也不能出現(xiàn)危機。數(shù)學，就是人類文明最后的避風港。

不幸的是，在兩千多年的歷史進程里，堅如磐石的數(shù)學大廈仍然出現(xiàn)了裂痕。人們在無意之間鑿開的罅隙卻很快激發(fā)連鎖反應，最終引起科學界的大地震。無數(shù)歷史上最杰出的科學大家加入了修補大廈的工作，為挽救數(shù)學的完美與精確而殫精竭慮。等到危機過去，人們才發(fā)現(xiàn)，數(shù)學并不是無瑕的美玉，也并非無所不能的利器。數(shù)學理論即便可以幫助人們邁入天翻地覆的文明，但是在認識宇宙終極真理的道路上，它一樣無能為力。甚至連數(shù)學本身，也并非無懈可擊。人們總能在構建數(shù)學王國的磚石中，找到那些無可避免的殘缺。

曾幾何時，在人類匍匐在真理的道路探尋未來時，數(shù)學帶來過光明。在科學尚在蒙昧的襁褓階段時，數(shù)學也曾哺乳過文明。歷史上，數(shù)學就是人類文明最忠實可靠的朋友。然而這位朋友，卻經(jīng)歷過人們?nèi)窝c火的洗禮。幸運的是，每一次，它都將自己一部分最深邃的秘密展現(xiàn)給信仰追隨它的人們。每一次的危機都帶來人們觀念上的革命，每一次革命都讓后人更加了解數(shù)學——人類文明的守護者，更真實的內(nèi)心。

讓我們重回歷史上那三次危機的現(xiàn)場。危機的導火索，卻是那樣的漫不經(jīng)心。一切仿佛都在印證，真理給予人類的恩賜，同樣都是有心栽花花不開，無意插柳柳成蔭。

（一）無理數(shù)的覺醒-畢達哥拉斯的怒火

數(shù)與形，是人類最早認識世界的基礎。因此，作為數(shù)的代表-整數(shù)與事物形狀的代表-幾何，就這樣進入人們理性思辨的世界。

第一次數(shù)學危機，就誕生在人們對整數(shù)和幾何的認識之中。“根號2是否是有理數(shù)”這樣一個問題，引起了古希臘先賢們的爭論，并逐漸演變成一場巨大的風波，最終竟然引導古希臘的數(shù)學走向了一條截然不同的發(fā)展道路。

事件的起因，卻要從勾股定理說起。

公元前5世紀，古希臘的天才人物畢達哥拉斯（Pythagoras）創(chuàng)建了宗教、政治、學術合一的畢達哥拉斯學派。其主要的研究涵蓋幾何、算術、天文和音樂，并在其中追求宇宙和諧統(tǒng)一的規(guī)律。

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畢達哥拉斯學派（圖片來源：http://www./）

彼時，畢達哥拉斯學派對整數(shù)有著異乎尋常的信仰。他們發(fā)現(xiàn)，大自然很多事物都可以通過數(shù)量的大小和關系進行解釋和說明。這種對整數(shù)的癡迷就來源于音樂的啟迪。

一次偶然的經(jīng)歷，畢達哥拉斯意識到音樂中音調(diào)的和諧完全由整數(shù)之比決定。音樂和數(shù)這看起來毫無關聯(lián)的事物居然通過整數(shù)連接在了一起，這讓畢達哥拉斯受到很大啟發(fā)，并由此斷言宇宙萬物都可歸結于整數(shù)或者整數(shù)之比（注：畢達哥拉斯時代的整數(shù)指代自然數(shù)）。這成了后來畢達哥拉斯學派的信條之一：一切事物都按照數(shù)來安排。具體而言，萬物都是整數(shù)或者整數(shù)之比的和諧產(chǎn)物。進一步，宇宙的本質就在于整數(shù)的和諧。

與此同時，數(shù)學歷史上最偉大的定理之一——勾股定理——也誕生在畢達哥拉斯學派對幾何學孜孜不倦的追求之中。所謂“勾股定理”，就是一個直角三角形三邊長必須滿足的數(shù)量關系，即斜邊長的平方等于長與寬各自的平方之和。這與古代中國獨立發(fā)現(xiàn)的“勾三股四弦五”的特例有異曲同工之妙。意外的是，這一成就畢達哥拉斯千古英名的定理卻也成了該學派信仰的“掘墓人”。

勾股定理示意圖（圖片來源：搜狐網(wǎng)）

由于相信萬物都是整數(shù)或者整數(shù)之比，那么兩條幾何線段長度之間的比值，其結果也必然是整數(shù)之比。這也意味著存在第三條線段，能同時量盡事先給定的兩條線段。這種性質被畢達哥拉斯學派稱為“可通約”。基于對整數(shù)的信條，他們認為任何兩條線段都是可通約的。直到“不可通約量”的發(fā)現(xiàn)，終于引起了該學派巨大的信仰危機。這一“離經(jīng)叛道”的結果，卻是由畢達哥拉斯的學生希帕索斯（Hippasus）做出的。

希帕索斯考慮一個邊長為1的等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理，其斜邊長應該是“2的平方根”。如果畢達哥拉斯學派的斷言是正確的，那么直邊和斜邊應該是可通約的，因此存在一個有理數(shù)（即整數(shù)之比），恰好等于“根號2”。希帕索斯很快就證明，這是一個矛盾的結論。他興高采烈地將自己的非凡發(fā)現(xiàn)告訴老師畢達哥拉斯。在經(jīng)過仔細的檢查之后，畢達哥拉斯進入了“兩難”的境地。要么承認希帕索斯顛覆性的結論，從而推翻他的數(shù)學與哲學的信條；要么違背理性的原則，堅決反對這一發(fā)現(xiàn)。左右為難之下，畢達哥拉斯將其視為學派的秘密，下令禁止傳播這一結論。事情的發(fā)展還是超乎畢達哥拉斯的預料，希帕索斯最終將發(fā)現(xiàn)泄露出去，從而激怒了畢達哥拉斯。畢達哥拉斯隨后下令處死他的學生。希帕索斯最終為此付出生命的代價，將一腔熱血獻祭給了第一次數(shù)學危機。

這一認識上的危機給古希臘的數(shù)學帶來巨大的地震。為了維護學派的信仰，畢達哥拉斯認定類似于“根號2”這樣的數(shù)是不可說、也無定形的數(shù)，其秘密屬于眾神的范疇，凡人不應該接觸和認識到這些數(shù)的存在。這些數(shù)被稱為“沒有理性的數(shù)”，它們的存在即宣告了無理數(shù)的誕生。

第一次數(shù)學危機持續(xù)了2000多年。公元前3世紀，畢達哥拉斯學派的歐多克斯(Eudoxus)試圖通過在幾何學中引進不可通約量的概念來解決它的矛盾。他認為，幾何線段先天就存在著“可通約”和“不可通約”的限制，這在某種程度上大大拓展了人們對數(shù)的認識，也為無理數(shù)找到了存在的基礎。直到1872年，德國數(shù)學家戴德金(Dedekind）從連續(xù)性的要求出發(fā)，通過有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)，并把實數(shù)理論建立在嚴格的分析基礎上，才揭開了無理數(shù)的神秘面紗，從而結束了無理數(shù)被認為“無 理”的時代，也結束了自古希臘時代就延續(xù)至今的數(shù)學史上的第一次大危機。

第一次數(shù)學危機誕生于幾何學。萬物皆依賴于整數(shù)的思想被瓦解，幾何學的地位開始擢升。古希臘人開始明白知覺和經(jīng)驗的局限性，一切真理只有通過推理和證明才能確?？煽俊４撕?，演繹和推理的方式逐漸登上古希臘科學的舞臺，在此基礎上建立的幾何公理體系讓希臘民族走向了以歐幾里得（Euclid）和亞里士多德（Aristotle）為代表的邏輯論證之路。古希臘也因此成為現(xiàn)代科學國家的先驅者。

相比之下，四大文明古國的中國、印度、埃及和巴比倫卻一直停留在實驗科學的階段，以經(jīng)驗作為檢驗真理的唯一標準，而忽視了推理和證明的重要性，從而與現(xiàn)代科學的誕生擦肩而過。

（二）無窮小量的謎蹤：追隨牛頓的幽靈

微積分，無疑是人類歷史上最偉大的思維成果之一。

牛頓與萊布尼茨（圖片來源：維基百科）

它由牛頓（Newton）和萊布尼茨（Leibniz）于17世紀創(chuàng)立。然而，伴隨著它的誕生，一個全新的概念——無窮小量即如影隨形。它在微積分的規(guī)則里，時而顯露參與運算，時而隱形全身而去。沒有人知道它確切的行蹤，但在一行行嚴密的數(shù)學證明中，它的身影卻如幽靈般始終揮之不去。無窮小量，成了牛頓終身的夢魘，也成為后人詬病微積分最大的缺陷。直到19世紀，分析的嚴格化開始展露曙光，無窮小量的迷思終于在困擾世人一個半世紀之后得到澄清。

古希臘哲學家芝諾（圖片來源：維基百科）

事實上，早在公元前500年，古希臘就已經(jīng)萌發(fā)了微積分的核心思想——極限逼近。著名的哲學家芝諾（Zeno）曾經(jīng)提出四個芝諾悖論，它們可以看做是極限思想最早的萌芽。在第一個悖論中，芝諾認為“運動不可能”。比如一個物體要從A點運動到B點，則首先需要運動到A和B的中間點C；而如果物體要運動到C點，則需要首先運動到A和C點之間的中點D。以此類推，這個二分法可以無限進行下去。這樣的中點有無窮多個，所以物體永遠也到達不了B點。因此，物體根本不可能運動，因為它被道路的無限細分所阻隔。

基于同樣的道理，芝諾遂提出更多的悖論，諸如“落后的兔子永遠追不上烏龜”、“飛矢不動悖論”、“運動場悖論”等等?，F(xiàn)實生活中，人們顯然可以把物體從A點移動到B點，落后的兔子也會很快追上烏龜。所有這些，都指向了芝諾悖論的謬誤。然而，芝諾悖論里所體現(xiàn)出對空間、時間、無限、連續(xù)和運動的看法，給古希臘造成了深深的困惑。這樣的困惑，一直延伸到了微積分的誕生。

不僅如此，古希臘科學家阿基米德（Archimedes）使用“窮竭法”來計算圓的周長和面積，其核心方法已經(jīng)非常接近17世紀微積分的思想。除了古希臘，古代中國的科學家也在探索微積分的道路上取得了驚人的進展。魏晉時期最偉大的數(shù)學家劉徽發(fā)明了割圓術來計算圓周的精確數(shù)值。隨后，割圓術被南北朝時期的數(shù)學家祖沖之發(fā)揮到了極致。他計算出圓周率介于3.1415926至3.1415927之間這一驚人的成就。這一成果甚至領先外國1000多年。

阿基米德與歐幾里得（圖片來源：維基百科）

古希臘的數(shù)學在歷史上留下了無數(shù)絢麗的瑰寶，但隨著希臘文明的衰落，也一起進入了長達千年的沉寂期。歐洲數(shù)學從此停滯不前，只有歐幾里得（Elucid）的《幾何原本》和阿基米德（Archimedes）的思想隨著數(shù)學中心的轉移來到了阿拉伯世界。從公元9世紀到16世紀，阿拉伯的數(shù)學進入了鼎盛時期。阿拉伯的數(shù)學家不僅繼承了源自希臘的幾何思想，還獨自創(chuàng)立了代數(shù)學科。直到歐洲文藝復興過后，東西方的交流通道再度打開。曾經(jīng)失傳的古希臘先賢們的思想結合阿拉伯數(shù)學家600多年的數(shù)學結晶再次回到了它的故鄉(xiāng)-歐洲。

開普勒與伽利略（圖片來源：維基百科）

14世紀后，歐洲各國皇室出于航海歷的需要，開始出錢資助科學家研究天地星辰的規(guī)律。德國天文學家開普勒（Kepler）通過幾十年的觀星數(shù)據(jù)，最終發(fā)現(xiàn)太陽系的行星沿橢圓軌道運行；意大利科學家伽利略（Galileo）也發(fā)現(xiàn)投擲物體會沿著拋物線運動。對天文和力學的研究成果，進一步激發(fā)了人們對曲線研究的熱情，代數(shù)學在這一階段得到了極大發(fā)展。通過代數(shù)方法尋求幾何問題的解決方案，成為研究曲線運動新的途徑。這一切，都為解析幾何的發(fā)現(xiàn)奠定了基礎。

笛卡爾（圖片來源：維基百科）

17世紀中葉，法國數(shù)學家笛卡爾（Descartes）創(chuàng)立了解析幾何。解析幾何的橫空出世邁出了從常量數(shù)學到變量數(shù)學的第一步，把自古希臘時代就被割裂的代數(shù)與幾何、數(shù)與形都重新粘合在一起。有了極限思想的啟發(fā)，結合解析幾何的變量思維，微積分作為一門初生的全新學科，呼之欲出。它的誕生需要有人站在更高的角度，聚合無數(shù)前人的成就。而讓這一理論成真、并煥發(fā)無窮生命力的人，就是17世紀的科學巨匠——牛頓（Issac Newton）。

微積分的出現(xiàn)很快在生產(chǎn)和實踐上發(fā)揮了巨大的作用。通過微積分的預測，人們在草紙上的演算意外地發(fā)現(xiàn)了海王星的蹤跡，海王星的存在也在后來通過天文望遠鏡的實測觀察予以證實。這件曠古爍今的科學成就讓微積分成為無可非議的杰作，更是賦予牛頓前人無可比擬的榮譽和地位。和牛頓同時代的德國數(shù)學家萊布尼茨也獨立發(fā)明了微積分。萊布尼茨還為微積分引入了現(xiàn)代的符號系統(tǒng)，并一直延續(xù)至今。后世為了紀念兩位科學天才的杰出貢獻，遂將微積分的基本公式命名為牛頓-萊布尼茨公式。

（圖片來源：長尾科技）

不過，在微積分創(chuàng)立之初，牛頓和萊布尼茨的工作還遠遠不夠完善。牛頓為了計算微積分所引入的流數(shù)法因為模糊不清的表述而遭遇了最廣泛的批評。1734年，英國哲學家、大主教貝克萊（Berkeley）直接提出尖銳的問題，將矛頭指向微積分的基礎--無窮小的問題。

他指出，牛頓為了求出多項式x的n次方的導數(shù)，首先假定無窮小量dx的存在，應用二項式(x+dx)的n次方，然后減去x的n次方，得到的增量再除以dx，最后又讓dx消失為0。這個假設的關鍵在于最初無窮小量dx不為零，最后卻又讓它等于零。這種隨心所欲的操作，讓dx召之即來、揮之即去，成為幽靈般的存在。這個dx遂被稱為“逝去量的靈魂”，成為牛頓一生的夢魘。牛頓無法回答這個問題，只好避而不談。無窮小量的迷蹤不定，從而引起了數(shù)學界長達一個半世紀的爭論，并最終導致了數(shù)學史上的第二次危機。

微積分在最初的發(fā)展階段，更多的強調(diào)形式的計算結果而忽視了其原理的可靠性。由于無窮小量的概念沒有得到澄清，與此相關的導數(shù)、微分、積分，并由此衍生的發(fā)散級數(shù)的求和等等都成了棘手的問題。

達朗貝爾與拉格朗日（圖片來源：維基百科）

18世紀中葉，法國數(shù)學家達朗貝爾（D’Alembert）提出把極限理論作為分析嚴格化的基礎。他獨辟蹊徑地把微分看做是函數(shù)的極限，特別指出了一個量是另一個量的極限定義。但他沒有逃脫傳統(tǒng)的幾何方法的影響，沒能把極限用嚴格的形式表述出來。

幾乎同時代，另一位法國數(shù)學家拉格朗日（Lagrange）則試圖擺脫無窮小量和極限的概念，將任何函數(shù)展開為無窮的級數(shù)之和來定義各階導數(shù)。這類泰勒（Taylor）級數(shù)雖然取得了一定的成效，但是同時也有很強的局限性。不僅在應用上無比繁瑣，而且因為能表達為泰勒級數(shù)的函數(shù)自身需要很強的約束條件，這極大地限制了可微分函數(shù)的范圍。拉格朗日的努力也在一定程度上宣告失敗。

直到19世紀20年代，數(shù)學家們才開始普遍關注微積分的嚴格化問題。一系列閃亮的名字即將登場，他們開啟了一場持續(xù)近半個世紀的接力賽，終于在19世紀末期為數(shù)學分析奠定了嚴格的基礎，也將微積分置于前所未有的堅固基石之上，從而順利結束了第二次數(shù)學危機。

挪威數(shù)學家阿貝爾（Abel）最早開始積極倡導和推動分析的嚴格化。作為對阿貝爾呼吁的回應，捷克的數(shù)學家波爾查諾（Bolzano）在1816年清楚地提出了級數(shù)收斂的概念，并給出了導數(shù)等概念的合適定義。事情的偉大轉折則要歸功于法國的數(shù)學家柯西（Cauchy）。

法國數(shù)學家柯西（圖片來源：維基百科）

柯西于1821-1823年在其著作《分析教程》和《無窮小計算講義》里給出了數(shù)學分析一系列基礎概念的清晰定義。例如，他給出了精確的極限定義，并由此建立了現(xiàn)代意義下的連續(xù)性、導數(shù)、微分、積分、無窮級數(shù)等等的概念。特別的，無窮小量，并不是逝去量的靈魂，也不是一個常量，而是一個以零為極限的變量。自此，柯西一舉回答了自牛頓時代就困擾世人的無窮小量的行蹤問題。

及至魏爾斯特拉斯（Weierstrass）創(chuàng)立了極限理論、戴德金（Dedekind）建立了實數(shù)理論以及后來康托（Cantor）集合論的竣工，無窮小量終于現(xiàn)出真身，再也無法隱藏在數(shù)學王國的角落里。它是牛頓放出來的幽靈，歷經(jīng)一百五十多年才被后人收服。追逐它謎一樣的蹤跡則直接促進了現(xiàn)代數(shù)學許多分支的誕生，也終于讓第二次數(shù)學危機落下了帷幕。

（圖片來源：長尾科技）

危機過后，一切歸于平靜,數(shù)學重又回到了安寧和諧的軌道。遺憾的是，美好的日子并沒有持續(xù)多久，第二次數(shù)學危機的結束很快就引爆了第三次數(shù)學危機。這一次的危機比以往的任何風暴都要猛烈，它無疑是數(shù)學史上最為深刻的思想交鋒，其核心的爭論一直延續(xù)至今。從某種程度上來說，第三次數(shù)學危機塑造了現(xiàn)代文明。眾多石破天驚的思想橫空出世，它們不僅結出了現(xiàn)代數(shù)學的豐碩成果，更深刻地改變了人類的歷史。人類文明從此進入了夢寐以求的快車道，向著更加璀璨的未來一路飛馳。

（三）無窮世界的封?。嚎低械谋Q

一個云的集合

人們很早以前就明白：如果把一堆具有某種特定性質的元素放在一起，就能組成一個集合。研究集合的理論在數(shù)學上被稱為集合論。它是眾多數(shù)學理論的分支之一。然而，它在數(shù)學中卻具有最為特殊的地位，它的基本概念已經(jīng)滲透到幾乎所有的數(shù)學領域之中。

經(jīng)過兩千多年的發(fā)展，數(shù)學已經(jīng)構建出一座無比富麗堂皇的宏偉大廈。集合論，卻始終是這座大廈最底層的根基。如果集合論出現(xiàn)了裂痕，整個數(shù)學大廈都可能搖搖欲墜。令人唏噓的是，第三次數(shù)學危機就發(fā)生在數(shù)學的基石之上。一個關于集合的悖論很快以摧枯拉朽之勢席卷了數(shù)學界，不僅讓集合論風雨飄搖，更是差點將現(xiàn)代數(shù)學毀于一旦。

兩千多年以來，數(shù)學家研究的實體都是基于有限的集合，沒有人試圖踏入無窮的世界?！盁o窮”的概念顯然超越了所有人的認知，它讓一切敢于接近的人都膽戰(zhàn)心驚。

17世紀的數(shù)學終于迎來了新生。牛頓和萊布尼茨獨自發(fā)明了微積分，卻引發(fā)了數(shù)學的第二次危機。微積分計算的嚴格性常常被人詬病，迫切地需要數(shù)學理論的澄清。到了19世紀，由于分析的嚴格化和函數(shù)論的發(fā)展，數(shù)學家們對無理數(shù)理論、不連續(xù)函數(shù)理論的研究更是需要理解無窮集合的性質。了解“無窮”并深入“無窮”成了迫在眉睫的需求。

時代呼喚著天才。此時，德國數(shù)學家康托則獨自扛起了挑戰(zhàn)無窮的大旗。他以一己之力創(chuàng)造了集合論和超窮數(shù)理論，打開了被上帝塵封的智慧大門。數(shù)千年以來，無數(shù)科學家只能在大門外遠遠地徘徊，對大門充滿了敬畏之心。唯有康托徑自一人，孤獨地行走在驚心動魄的探險之路上，試圖找到開啟大門的鑰匙。他以卓絕的智慧成就完成了這一宏圖偉業(yè)，讓人們得以一窺連接著無窮世界的大門內(nèi)無比輝煌的寶藏。

為了把握和認知無窮的集合，康托創(chuàng)造性地將一一對應和對角線方法運用到集合論的奠基性研究當中?？低袠O其深刻地意識到：如果兩個無窮集合的元素能建立一一對應，那么這兩個無窮集合的個數(shù)就應該被視為同樣多。在這種思想下，康托很快就發(fā)現(xiàn)偶數(shù)的個數(shù)和自然數(shù)的個數(shù)一樣多，甚至和整數(shù)的個數(shù)也一樣多。換句話說，偶數(shù)的個數(shù)所組成的無窮和整數(shù)的個數(shù)所組成的無窮是一樣大！

更為神奇的是，康托發(fā)現(xiàn)，實數(shù)的全體集合組成的無窮比整數(shù)的全體集合組成的無窮要大得多。歷史上第一次，康托為兩個無窮大建立了大小關系。正是因為康托的努力，數(shù)學中無限的面紗終于被揭開，圍繞著無窮的迷霧終于得以散去。他對無窮的新見解讓人們對無窮的認識上升到了一個前所未有的層次。

奧爾格·康托（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6）德國數(shù)學家，集合論的創(chuàng)始人（圖片來源：維基百科）

第二次數(shù)學危機因為康托的工作而終于塵埃落定。自康托起，集合論成為數(shù)學里最基礎和重要的理論分支之一。

意想不到的是，表面上看起來，康托的集合論為數(shù)學建立了牢不可破的公理體系大廈。當這座大廈快要完工的時候，事情再次出現(xiàn)了轉折。第三次數(shù)學危機不期而至。

英國數(shù)學家羅素徹底粉碎了數(shù)學家的夢想。1902年，他在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)了一個關于集合論的悖論。羅素悖論有多個通俗版本，其中最著名的是羅素在1919年提出的理發(fā)師悖論：“村子里有一個理發(fā)師，他給自己定了一條規(guī)矩：‘他給所有那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)，并且只給這樣的人理發(fā)’。那么，這個理發(fā)師該不該給自己理發(fā)？”不管如何回答這個問題，都會導致自相矛盾。這個問題本身似乎就具有不可調(diào)和的矛盾。

正是因為這種奇怪的邏輯，羅素顛覆了整個數(shù)學大廈的基礎。一時間，絕對嚴密、天衣無縫的數(shù)學出現(xiàn)了似乎無法修補的漏洞。一如當年非歐幾何的驚人發(fā)現(xiàn)一樣，延續(xù)兩千多年的歐幾里得公理都可能在一夜之間被顛覆，人們再次陷入了極大的恐慌之中。

伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素（Bertrand Arthur William Russell，1872年—1970年）

此后，數(shù)學家們就開始積極尋找解決這場危機的辦法。數(shù)學是最為嚴格的科學，然而集合論中居然存在著這樣明顯而根本的矛盾。人們開始通過細心地選擇數(shù)學公理來避免產(chǎn)生羅素悖論的思維怪物，從而重新構建精確唯美的數(shù)學體系。

德國數(shù)學家策梅洛（Zermelo）率先提出七條公理，建立了一種沒有悖論的集合論。另一位德國數(shù)學家弗倫克爾（Fraenkel）在策梅洛的基礎上進行改進，最終形成了一個無矛盾的集合論公理系統(tǒng)（即所謂ZF公理系統(tǒng)）。通過這七條公理建立起來的集合論終于成功地避開了羅素悖論，從而極大地緩解了第三次數(shù)學危機。

1917年，希爾伯特提出來一整套數(shù)學綱領。他希望找到一套公理體系能夠排除悖論，并且能夠證明，在任一個無矛盾的形式系統(tǒng)中所能表達的所有陳述都要么能夠證明要么能夠證偽。在這個系統(tǒng)里不會再出現(xiàn)類似羅素悖論這樣的思維怪圈。

然而希爾伯特的宏偉計劃很快被顛覆。1931年，奧地利裔數(shù)學家哥德爾指出：在任何一個相容的形式化數(shù)學理論中,只要它可以在其中定義自然數(shù)的概念,就可以在其中找出一個命題，在該系統(tǒng)中既不能證明它為真，也不能證明它為假。

通俗地說，就是任何一個數(shù)學的公理化體系都不是“完美的”。任何數(shù)學公理化系統(tǒng)都需要人為地從外界注入新的公理進去才能讓它日趨完善，而它自己并不能完全自動避免矛盾產(chǎn)生。哥德爾證明不完備定理的主要思想以及羅素悖論的方法和康托的對角線法則是一脈相承的。

庫爾特·哥德爾（Kurt G?del）（1906年4月28日—1978年1月14日）

盡管集合論中存在矛盾，但這些矛盾大部分均可回避。然而哥德爾不完備定理則表明：數(shù)學的真理性不是絕對可證的，如果我們要證明數(shù)學理論的相容性或完備性，必須要依靠該數(shù)學理論以外的論據(jù)，也就是說我們需要更大的系統(tǒng)來說明理論本身是真的。盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，數(shù)學的確定性卻在一步一步地喪失。第三次數(shù)學危機則伴隨著這種不確定性，以更深刻的形式延續(xù)至今。

無窮的世界，一直被視為上帝塵封的大門?？低袆t打開了潘多拉的盒子，他也為此付出了極其慘重的代價。他的成果遭到同時代數(shù)學大師無情地嘲諷。以康托的導師克羅內(nèi)克為首的數(shù)學家組成反康托的聯(lián)盟，對他進行科學和精神上的雙重羞辱。備受打擊的康托終于精神崩潰，一度患精神分裂癥，最終于1918在德國一家精神病院郁郁而終。

讓康托意想不到的是，他所創(chuàng)立的無窮集合論成了第三次數(shù)學危機的導火索，也從根本上改造了數(shù)學的結構，促進了數(shù)學許多新的分支的建立和發(fā)展，成為實變函數(shù)論、代數(shù)拓撲、群論和泛函分析等理論的基礎，還給邏輯學和哲學也帶來了深遠的影響。他在研究無窮集合時所發(fā)明的對角線方法，則為后世科學家提供了極為本質的靈感源泉。20世紀無數(shù)重大的理論成果都受益于此，數(shù)學和哲學也因此而煥然一新，比如圖靈停機問題、哥德爾不完備定理都是該方法的不同延伸。在這些思想成果的匯聚下，最終造就了今日的信息文明，特別是計算機的發(fā)明。

結語

時至今日，我們已經(jīng)知道，數(shù)學的王國里有無窮無盡的寶藏和果實可供后世的勇士去挖掘和摘取。完美的數(shù)學并不存在，人們不必為它的瑕疵而傷心，反而應該為它無限的可能性而歡欣。歷史的車輪總能一直向前，數(shù)學的未來也一片光明。同時，世界上還有很多永遠不能被數(shù)學解決的問題，這樣的問題甚至比能被數(shù)學解決的問題要多得多。世界，在最理性的層面，展示出它迷人而無窮的魅力。人們終將認識到自身的渺小，認識到真理星空的浩瀚，從而永遠保持謙卑和謹慎。

（圖片來源：NASA）

本文于2018年8月27日首發(fā)于科學大院

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