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一、知識要點： 比是反映數(shù)量關(guān)系的一種常見形式，也是解數(shù)學(xué)題的一種重要工具，有了它，我們處理倍數(shù)關(guān)系、解答分數(shù)應(yīng)用題就方便靈活得多。在這一講，我們探討稍復(fù)雜的比應(yīng)用題。 注：拔高奧數(shù)題適用于五六年級，培養(yǎng)孩子數(shù)學(xué)思維，鍛煉孩子解題能力 二、精講精練： 【例題1】 甲、乙兩個學(xué)生放學(xué)回家，甲要比乙多走1/5的路，而乙走的時間比甲少1/11，求甲、乙兩人速度的比。 【思路導(dǎo)航】因為速度＝路程÷時間，所以，甲、乙速度的比＝甲路程/甲時間：乙路程/乙時間 （1）甲、乙路程的比：（1+1/5）：1＝6：5 （2）甲、乙時間的比：1：（1－1/11）＝11：10 （3）甲、乙速度的比：6/11：5/10=12：11 答：甲、乙速度的比是12：11。 【練習(xí)1】 1、小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多1/5，小芳用的時間比小明多1/8。求小明和小芳速度的比。 2、甲走的路程比乙多1/3，乙用的時間比甲多1/4。求甲、乙的速度比。 3、一個人步行每小時走5千米，如果騎自行車每1千米比步行少用8分鐘。這個人騎自行車的速度和步行速度的比是多少？ 【答案】 1.小明和小芳的速度之比是27:20 2.甲乙的速度之比是5:3 3.騎車與步行的速度之比是3:1 【例題2】 制造一個零件，甲需6分鐘，乙需5分鐘，丙需4.5分鐘?，F(xiàn)在有1590個零件的制造任務(wù)分配給他們?nèi)齻€人，要求在相同的時間內(nèi)完成，每人應(yīng)該分配到多少個零件？ 【思路導(dǎo)航】先求出工作效率的比，然后根據(jù)同一時間內(nèi)，工作總量的比等于工作效率的比進行解答。 甲、乙、丙工作效率的比：1/6：1/5：1/1.5＝15：18：20 總份數(shù)：15+18+20＝53 甲：1590×15/53＝450（個） 乙：1590×18/53＝540（個） 丙：1590×20/53＝600（個） 答：甲、乙、丙分配到的零件分別是450個、540個、600個。 【練習(xí)2】 1、加工一個零件，甲需3分鐘，乙需3.5分鐘，丙需4分鐘?，F(xiàn)在有1825個零件需要甲、乙、丙三人加工。如果規(guī)定用同樣的時間完成任務(wù)，那么各應(yīng)加工多少個？ 2、甲、乙、丙三人在同一時間里共制造940個零件。甲制造一個零件需5分鐘，比乙制造一個零件所用的時間多25％，丙制造一個零件所用的時間比甲少2/5。甲、乙、丙各制造了多少個零件？ 3、加工某種零件要三道工序，專做第一、二、三道工序的工人每小時分別能完成零件48個，32個，28個，現(xiàn)有118名工人，要使每天三道工序完成的零件個數(shù)相同，每道工序應(yīng)安排多少工人？ 【答案】 1.甲應(yīng)加工零件700個，乙應(yīng)加工零件600個，丙應(yīng)加工零件525個。 2.甲制造了零件240個，乙制造零件300個，丙制造零件400個。 3.第一道工序28人，第二道工序42人，第三道工序48人。 【例題3】 兩個服裝廠一個月內(nèi)生產(chǎn)服裝的數(shù)量是6：5，兩廠西服價格的比是11：10。已知兩廠這個月內(nèi)總產(chǎn)值為6960萬元。兩廠的產(chǎn)值各是多少萬元？ 【思路導(dǎo)航】 因為產(chǎn)值＝價格×產(chǎn)量，所以 甲產(chǎn)值：乙產(chǎn)值＝（甲價格×甲產(chǎn)量）：（乙價格×乙產(chǎn)量） 兩廠的產(chǎn)值比為：（11×6）：（10×5）＝66：50 甲廠產(chǎn)值為：6960×66/（66+50）＝3960（元） 乙廠產(chǎn)值為：6960×50（66+50）＝3000（元） 答：兩廠的產(chǎn)值分別是3960萬元和3000萬元。 【練習(xí)3】 1、甲、乙兩個長方形長的比是4：5，寬的比是3：2，面積的和是242平方厘米。求甲、乙兩個長方形的面積分別是多少平方厘米？ 2、蘋果和梨的單價的比是6：5，王大媽買的蘋果和梨的重量的比是2：3，共花去18元。王大媽買蘋果和梨各花了多少元？ 3、大、小兩種蘋果，其單價比是5：4，重量比是2：3。把兩種蘋果混合，成為100千克的混合蘋果，單價為每千克4.40元。大、小兩種蘋果原來每千克各是多少元？ 【答案】 1.甲長方形面積是132平方厘米，乙長方形面積是110平方厘米。 2.王大媽買蘋果花了8元，買梨花了10元。 3.大蘋果每千克5元，小蘋果每千克4元。 【例題4】 A、B兩種商品的價格比是7：3。如果它們的價格分別上漲70元，它們的價格比就是7：4，這兩種商品原來的價格各是多少元？ 【思路導(dǎo)航】 解法一：因為A、B兩種商品漲價的數(shù)值相同，所以漲價后兩種商品價格差不變。由于價格差不變，所以價格差對應(yīng)的份數(shù)也應(yīng)該相同。 原價格比＝7：3＝21：9，現(xiàn)價格比＝7：4＝28：16 【這樣前后項的差都是12，價格漲了（28－21）＝7份，是70元】 70÷（28－21）＝10元 A：10×21＝210（元） B：10×9＝90（元） 解法二：由于兩種商品的價格不變，選兩種商品的價格差做單位“1“進行解答。 （1）原來A商品的幾個是價格差的幾倍7÷（7－3）＝7/4 （2）后來A商品的價格是價格差的幾倍7÷（7－4）＝7/3 （3）A、B兩種商品的價格差是70÷（7/3－7/4）＝120（元） （4）原來A商品的價格是120÷（7－3）×7＝210（元） （5）原來B商品的價格是120÷（7－3）×3＝90（元） 答：A、B兩種商品原來的價格分別是210元和90元。 【練習(xí)4】 用兩種思路解答下列應(yīng)用題： 1、甲、乙兩個建筑隊原有水泥重量的比是4：3。甲隊給乙隊54噸水泥后，甲、乙兩隊水泥重量的比是3：4。原來甲隊有水泥多少噸？ 2、甲書架上的書是乙書架上的4/7，兩書架上各增加154本后，甲書架上的書是乙書架上的，甲、乙兩書架上原來各有多少本書？ 3、兄弟兩人，每年收入的比是4：3，每年支出的比是18：13。從年初到年底，他們都結(jié)余720元。他們每年的收入各是多少元？ 【答案】 1.原來甲隊有水泥216噸。 2.甲書架原有書56本，乙書架原有書98本。 3.哥哥每年的收入是7200元，弟弟每年的收入是5400元。 【例題5】 如圖是甲、乙、丙三地的線路圖，已知甲地到丙地的路程與乙地到丙地的路程比是1：2。王剛以每小時4千米的速度從甲地步行到丙地，李華同時以每小時10千米的速度從乙地騎自行車去丙地，他比王剛早1小時到達丙地。甲、乙兩地相距多少千米？ 【思路導(dǎo)航】 解法一：根據(jù)路程的比和速度的比求出時間的比，從而求出王剛和李華所用的時間，再求出各自所走的路程。 王剛和李華所用時間的比1/4：2/10＝5：4 王剛所用的時間1÷（5－4）×5＝5（小時） 甲地到丙地的路程4×5＝20（千米） 甲、乙兩地的路程20×（1+2）＝60（千米） 解法二：如果李華每小時行4×2＝8千米，他將與王剛同時到達丙地?，F(xiàn)在他每小時多行10－8＝2千米。在王剛從甲地到丙地的這段時間內(nèi)，李華比應(yīng)行的路程多行了10×1＝10千米。據(jù)此，可求出王剛從甲地到丙地的時間。 王剛從甲地到丙地的時間10×1÷（10－4×2）＝5（小時） 甲、乙兩地的路程4×5×（1+2）＝60（千米） 解法三：如果王剛每小時行10÷3＝5千米，就能和李華同時到達。由此可見，王剛走完甲地到丙地的路程，用每小時4千米的速度和每小時5千米的速度相比，所用的時間相差1小時。再根據(jù)1千米的路程，兩種速度所用的時間相差1/4－1/5＝1/20小時。最后求出甲地到丙地的路程。 甲地到丙地的路程1÷（1/4－1/（10÷÷2）＝20（千米） 甲、乙兩地的路程20×（1+2）＝60（千米） 答：甲、乙兩地相距60千米。 【練習(xí)5】 1、一輛汽車在甲、乙兩站間行駛，往返一次共用去4小時（停車時間不算在內(nèi)）。汽車去時每小時行45千米，返回時每小時行30千米。甲、乙兩地相距多少千米？ 2、甲做3000個零件比乙做2400個零件多用1小時，甲、乙工作效率的比是6：5。甲、乙每小時各做多少個？ 3、下圖是甲、乙、丙三地的路線圖。已知甲地到丙地的路程與乙地到丙地的路程的比是2：3。一輛貨車以每小時40千米的速度從甲地開往丙地，一輛客車同時以每小時50千米的速度從乙地開往丙地，客車比火車遲1小時到達丙地。求甲、乙兩地的路程？ 【答案】1.甲乙兩地相距72千米。 2.甲每小時做120個零件，乙每小時做100個零件。 3.甲乙兩地的路程是500千米。 |
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