題目： 如圖1，點F是正方形ABCD的邊CD上一點，以點A為圓心、AB為半徑的弧與BF交于點E，則∠DEF=_________．

一．運用方程思想

解法1 如圖2，連結(jié)AE，則AB=AE=AD．

設(shè)∠AEB=x，∠AED=y，則∠ABE=∠AEB=y， ∠ADE=∠AED=y，

∴∠BAE+∠DAE = 1/2(180°) =90°

可得， 即∠BED=135°， ∴∠DEF=45°．

解法2 如圖3，作AP⊥BE于點P，作A Q⊥ED于點Q．

根據(jù)垂徑定理，BP=PE，EQ=QD，

故可設(shè)∠BAP=∠PAE=m。

∠DA Q=∠QAE=n．

由∠BAD=90°，得m+n=45°，即∠PA Q=45°，

∴∠BED=135°， ∴∠DEF=45°．

點評 兩種解法，都是運用字母表示數(shù)，根據(jù)相關(guān)條件找出等量關(guān)系，體現(xiàn)了方程思相事實上，這里沒有求出相應(yīng)未知數(shù)的值，這又體現(xiàn)了整體思想．

二．運用特殊化思想

解法3 如圖4，連結(jié)AC，交弧BD于點E，連BE并延長交CD于點F，連DE．

∵AB=AE=AD， ∠BAE=∠DAE=45°，

∴∠ BEA=∠DEA=67.5°． 即∠BED=135°， ∴∠DEF=45°．

點評 因為F是CD上的任意一點，當(dāng)然包括某個特殊情形，所以本解法適當(dāng)改變了圖形，采用了點F的特殊位置．解有關(guān)數(shù)學(xué)填空或選擇題，采用特別數(shù)值或特殊位置等，是常見的一些比較好的思想方法．

三．運用圓周角定理

解法4 如圖5，連結(jié)AE、BD，根據(jù)圓周角定理，得

∠BDE=?∠BAE，∠ DBE=?∠DAE，

∴∠DEF=∠DBE+∠BDE =?∠BAD=45o．

解法5 如圖6，補全圓A，則優(yōu)弧BMD所對的圓心角270°，所以圓周角∠BED=

135°，從而∠DEF=45°．

解法6 如圖7，在優(yōu)弧上任取一點M，連接．MD、MB，根據(jù)圓周角定理，AM=45°．四邊形BMDE是圓A的內(nèi)接四邊形，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊性質(zhì)，∠DEF=∠M=45°．

點評 圓周角，是《圓》的核心內(nèi)容之一，所以很自然地想到運用圓周角定理．事實上，在解法5和解法6里，又都體現(xiàn)了補全思想，很巧妙．