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“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩(shī)人李頎《古從軍行》里的一句詩(shī)。而由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問題，通常稱為“將軍飲馬”。 【問題描述】 如圖，將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)在他要帶馬去河邊喝水，之后返回軍營(yíng)，問：將軍怎么走能使得路程最短？ 【問題簡(jiǎn)化】 如圖，在直線上找一點(diǎn)P使得PA+PB最??？ 【問題分析】 這個(gè)問題的難點(diǎn)在于PA+PB是一段折線段，通過(guò)觀察圖形很難得出結(jié)果，關(guān)于最小值，我們知道“兩點(diǎn)之間，線段最短”、“點(diǎn)到直線的連線中，垂線段最短”等，所以此處，需轉(zhuǎn)化問題，將折線段變?yōu)橹本€段． 【問題解決】 作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接PA'，則PA'=PA，所以PA+PB=PA'+PB 當(dāng)A'、P、B三點(diǎn)共線的時(shí)候，PA'+PB=A'B，此時(shí)為最小值（兩點(diǎn)之間線段最短）  作端點(diǎn)（點(diǎn)A或點(diǎn)B）關(guān)于折點(diǎn)（上圖P點(diǎn)）所在直線的對(duì)稱，化折線段為直線段． “一定兩動(dòng)”之點(diǎn)到點(diǎn) 在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，使得△PMN周長(zhǎng)最小。 【此處昨日推文配圖錯(cuò)誤，正確圖如下】 此處M、N均為折點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于OA（折點(diǎn)M所在直線）、OB（折點(diǎn)N所在直線）的對(duì)稱點(diǎn)，化折線段PM+MN+NP為P'M+MN+NP''，當(dāng)P'、M、N、P''共線時(shí)，△PMN周長(zhǎng)最小。  【例題】如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，∠AOB=30°，OP=8，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，則△PMN周長(zhǎng)的最小值為________． 【分析】△PMN周長(zhǎng)即PM+PN+MN的最小值，此處M、N均為折點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于OB、OA對(duì)稱點(diǎn)P'、P''，化PM+PN+MN為P'N+MN+P''M． 當(dāng)P'、N、M、P''共線時(shí)，得△PMN周長(zhǎng)的最小值，即線段P'P''長(zhǎng)，連接OP'、OP''，可得△OP'P''為等邊三角形，所以P'P''=OP'=OP=8．
“兩定兩動(dòng)”之點(diǎn)到點(diǎn) 在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N使得四邊形PMNQ的周長(zhǎng)最小。
考慮PQ是條定線段，故只需考慮PM+MN+NQ最小值即可，分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于OA、OB對(duì)稱，化折線段PM+MN+NQ為P'M+MN+NQ'，當(dāng)P'、M、N、Q'共線時(shí)，四邊形PMNQ的周長(zhǎng)最小。 “一定兩動(dòng)”之點(diǎn)到線 在OA、OB上分別取M、N使得PM+MN最小。
此處M點(diǎn)為折點(diǎn)，作點(diǎn)P關(guān)于OA對(duì)稱的點(diǎn)P'，將折線段PM+MN轉(zhuǎn)化為P'M+MN，即過(guò)點(diǎn)P'作OB垂線分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，得PM+MN最小值（點(diǎn)到直線的連線中，垂線段最短）  尋找?guī)缀螆D形中端點(diǎn)關(guān)于折點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)位置 【關(guān)于對(duì)角線對(duì)稱】 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，M在DC上，且DM=1， N是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則△DMN周長(zhǎng)的最小值是________．
【分析】考慮DM為定值，故求△DMN周長(zhǎng)最小值即求DN+MN最小值．點(diǎn)N為折點(diǎn)，作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，即點(diǎn)B，連接BN交AC于點(diǎn)N，此時(shí)△DMN周長(zhǎng)最?。?/span>
························································ 【假裝不存在的正方形】 （2019山東聊城）如圖，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），點(diǎn)C在邊AB上，且AC:CB=1:3，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊OA上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在OA上移動(dòng)時(shí)，使四邊形PDBC周長(zhǎng)最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）
A．（2，2） B．（5/2，5/2） C．（8/3，8/3） D．（3，3） 【分析】此處點(diǎn)P為折點(diǎn)，可以作點(diǎn)D關(guān)于折點(diǎn)P所在直線OA的對(duì)稱：
也可以作點(diǎn)C的對(duì)稱：
························································ 【隱身的正方形】 （2017遼寧營(yíng)口）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D在BC上，BD=3，DC=1，點(diǎn)P是AB上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PD的最小值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】作點(diǎn)C關(guān)于P點(diǎn)所在直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C'，當(dāng)C'、P、D共線時(shí)，PC+PD最小，最小值為5，故選B．
【等邊系列】 如圖，在等邊△ABC中，AB=6， N為AB上一點(diǎn)且BN=2AN， BC的高線AD交BC于點(diǎn)D，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BM，MN，則BM+MN的最小值是___________．
【分析】M點(diǎn)為折點(diǎn)，作B點(diǎn)關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，即C點(diǎn)，連接CN，即為所求的最小值．
過(guò)點(diǎn)C作AB垂線，利用勾股定理求得CN的長(zhǎng)為2倍根號(hào)7．
························································ 【隱身的等邊三角形】 如圖，在Rt△ABD中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N為AB上一點(diǎn)且BN=2AN， M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BM，MN，則BM+MN的最小值是________．
【分析】對(duì)稱點(diǎn)并不一定總是在已知圖形上．
························································ 【角分線系列之點(diǎn)到點(diǎn)】 （2018山東濰坊）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠ACB，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AD上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EF的最小值為________．
【分析】此處E點(diǎn)為折點(diǎn)，可作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱，對(duì)稱點(diǎn)C'在AB上且在AB中點(diǎn)，化折線段CE+EF為C'E+EF，當(dāng)C'、E、F共線時(shí)得最小值，C'E為CB的一半．
························································ 【角分線系列之點(diǎn)到線】 （2018遼寧營(yíng)口）如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，M、N分別是BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是________．
【分析】此處M點(diǎn)為折點(diǎn)，作點(diǎn)N關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)，恰好在AB上，化折線CM+MN為CM+MN'．
因?yàn)镸、N皆為動(dòng)點(diǎn)，所以過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，可得最小值．
【菱形高】 （2018廣西貴港）如圖，在菱形ABCD中，AC為6倍根號(hào)2，BD=6，E是BC的中點(diǎn)，P、M分別是AC、AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接PE、PM，則PE+PM的最小值是____________．
【分析】此處P為折點(diǎn)，作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M'，恰好在AD上，化折線EP+PM為EP+PM'．
當(dāng)E、P、M'共線時(shí)，EP+PM最小，最小值即為菱形的高，可用面積法：AC·BD=BC·EM'.
························································ 【折點(diǎn)在邊上】 （2017山東菏澤）如圖，矩形ABOC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4,5），D是OB的中點(diǎn)，E是OC上的一點(diǎn)，當(dāng)△ADE的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)是__________．
【分析】點(diǎn)E為折點(diǎn)，E是y軸上一點(diǎn)，作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接AD，與y軸交點(diǎn)即為所求E點(diǎn)．
························································ 【面積與折點(diǎn)】 （2019西藏）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，動(dòng)點(diǎn)P滿足△APB的面積是矩形ABCD面積的三分之一，則點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和PA+PB的最小值為_________．
【分析】由△APB面積是矩形面積三分之一，可作出P點(diǎn)軌跡為直線MN（AM=BN=2），作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B'，化折線PA+PB為PA+PB'．
當(dāng)A、P、B'共線時(shí)，取到最小值．
························································ 【全等與對(duì)稱】 （2017江蘇南通）如圖，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，點(diǎn)E、F、G、H分別在矩形ABCD各邊上，且AE=CG，BF=DH，則四邊形EFGH周長(zhǎng)的最小值為________．
【分析】考慮到四邊形EFGH是平行四邊形，即求EH+EF最小值，此處E為折點(diǎn)，作F關(guān)于AB對(duì)稱點(diǎn)F'，則BF'=BF=DH=CM，∴MF'=BC=5，MH=DC=10，∴HF'為5倍根號(hào)5，周長(zhǎng)最小值為10倍根號(hào)5．
（2018濱州）如圖，∠AOB=60°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的定點(diǎn)且OP為根號(hào)3，若點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，則△PMN周長(zhǎng)的最小值是_________．
【分析】此處M、N均為折點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于OB、OA的對(duì)稱點(diǎn)P'、P''，化△PMN周長(zhǎng)為P'N+NM+MP''．
當(dāng)P'、N、M、P''共線時(shí)，得最小值，利用60°角翻倍得∠P'OP''=120°，OP'=OP''=OP，可得最小值．
（2017湖北隨州）如圖，∠AOB的邊OB與x軸正半軸重合，點(diǎn)P是OA上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N（3,0）是OB上的一定點(diǎn)，點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_________．
【分析】此處點(diǎn)P為折點(diǎn)，作點(diǎn)M關(guān)于OA的對(duì)稱對(duì)稱點(diǎn)M'如圖所示，連接PM'，化PM+PN為PM'+PN．
當(dāng)M'、P、N共線時(shí)，得最小值，又∠M'ON=60°且ON=2OM'，可得∠OM'N=90°，故P點(diǎn)坐標(biāo)可求．
如圖，已知正比例函數(shù)y=kx（k>0）的圖像與x軸相交所成的銳角為70°，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N為函數(shù)y=kx（k>0）的圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM+MP+PN的最小值為____________．
【分析】先考慮M為折點(diǎn)，作點(diǎn)P關(guān)于OM對(duì)稱點(diǎn)P'，化AM+MP+PN為AM+MP'+P'N
此處P'為折點(diǎn)，作點(diǎn)N關(guān)于OP'對(duì)稱點(diǎn)N'，化AM+MP'+P'N為AM+MP'+P'N'
當(dāng)A、M、P'、N'共線且AN'⊥ON'時(shí)，值最?。?/span>
聲明：以上本文授權(quán)轉(zhuǎn)自公眾號(hào)“有一點(diǎn)數(shù)學(xué)”。
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來(lái)自： 長(zhǎng)沙7喜 > 《數(shù)理化生》
