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      一、緣起：不同年級(jí)同一道題的思考

      人教版教材四年級(jí)下冊(cè)“三角形”單元的一道習(xí)題（圖1）和六年級(jí)下冊(cè)“整理與復(fù)習(xí)”單元的數(shù)學(xué)思考中的一道習(xí)題（圖2）引起了筆者的思考。

     1. 同一道題在教材上出現(xiàn)兩次，何解？

      知識(shí)點(diǎn)相同：這兩道習(xí)題雖然出現(xiàn)在不同年級(jí)的教材上，但是涉及的知識(shí)點(diǎn)是同一個(gè)，就是求多邊形的內(nèi)角和，用公式計(jì)算：多邊形內(nèi)角和=180°×（邊數(shù)-2）。兩道習(xí)題都是借助統(tǒng)計(jì)表的形式，將圖形、邊數(shù)、內(nèi)角和編排在一起，根據(jù)多邊形與三角形的關(guān)系，算出四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和，繼而擴(kuò)展到其他多邊形的內(nèi)角和。

     要求有差別：四下的習(xí)題要求是“畫(huà)一畫(huà)，算一算，你發(fā)現(xiàn)了什么？”，六下的第三個(gè)問(wèn)題是“一個(gè)n邊形的內(nèi)角和是多少度？”。從中我們可以發(fā)現(xiàn)，前者的要求相對(duì)低一些，對(duì)于大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)只需要推算出六邊形、七邊形的內(nèi)角和，對(duì)于思維程度較高的學(xué)生，還可以擴(kuò)展到八邊形、九邊形……的內(nèi)角和，最后能夠表述出一般規(guī)律。而后者需要學(xué)生把其中的規(guī)律抽象成含有字母的表達(dá)式，即：多邊形的內(nèi)角和=180°×（n-2），這個(gè)從具體到抽象的程度相對(duì)高一些。

       從知識(shí)層面來(lái)說(shuō)，這道習(xí)題雖然在不同的年級(jí)，但是需要理解并掌握的知識(shí)點(diǎn)是同一個(gè)，只是對(duì)學(xué)生的能力要求稍微有所區(qū)別。

      2. 整合在同一年級(jí)進(jìn)行教學(xué)，可否？

     人教版教材是將“探索四邊形內(nèi)角和”與“探索多邊形內(nèi)角和”分開(kāi)安排，而蘇教版教材將“多邊形內(nèi)角和”作為一個(gè)獨(dú)立的、完整的課時(shí)來(lái)安排，這是一節(jié)“探索規(guī)律”的拓展課。這節(jié)課的知識(shí)目標(biāo)：探索并發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和與它的邊數(shù)之間的關(guān)系，并能表示出所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律”，能力目標(biāo)：積累一些探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)動(dòng)手操作能力和合情推理能力”。

       我們可以看到，教材分四個(gè)層次展開(kāi)教學(xué)活動(dòng)：①提出問(wèn)題，明確活動(dòng)的目標(biāo)。由三角形的內(nèi)角和是180°，直接提問(wèn)“四邊形、五邊形、……的內(nèi)角和呢”。②明確方法，引導(dǎo)轉(zhuǎn)化的方法。教材以四邊形分成兩個(gè)三角形，將未知轉(zhuǎn)化成了已知，引導(dǎo)學(xué)生討論，把五邊形、六邊形也分成幾個(gè)三角形，明確了分割多邊形的方法。③觀察表格，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。再任意畫(huà)一些多邊形，計(jì)算它們的內(nèi)角和，并列表整理所獲得的數(shù)據(jù)，觀察表格，發(fā)現(xiàn)計(jì)算多邊形內(nèi)角和的基本方法，獲得一般性的規(guī)律。

      二、重組：選擇教學(xué)內(nèi)容

    （一）基于認(rèn)知起點(diǎn)，揭示學(xué)習(xí)內(nèi)容

      認(rèn)知心理學(xué)的代表人物奧蘇伯爾曾說(shuō)過(guò)：影響學(xué)習(xí)最重要的因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的原有知識(shí)進(jìn)行教學(xué)。通過(guò)前測(cè)，學(xué)生基本都已經(jīng)知道“四邊形的內(nèi)角和是360°”，而且大部分學(xué)生能夠獨(dú)立驗(yàn)證。所以，筆者把這節(jié)課的內(nèi)容確定為“研究多邊形的內(nèi)角和”

      1. 揭示課題，明確研究方向

師：同學(xué)們，今天我們一起來(lái)研究“多邊形的內(nèi)角和”。關(guān)于多邊形，你已經(jīng)知道了哪些知識(shí)？

     生：三角形、四邊形、五邊形、六邊形……都是多邊形。

     生：三角形的內(nèi)角和是180°。

生：長(zhǎng)方形的內(nèi)角和是360°。

     師：對(duì)“多邊形的內(nèi)角和”你還有什么問(wèn)題想問(wèn)的？

      生：五邊形的內(nèi)角和是幾度？

      生：六邊形的內(nèi)角和是幾度？

      生：一百邊形的內(nèi)角和是多少度？

      師：是呀，要解決這么復(fù)雜問(wèn)題，我們可以從簡(jiǎn)單的圖形開(kāi)始研究，慢慢找出規(guī)律。

      2.對(duì)比研究，從特殊到一般

       師：（出示課件）我們之前做過(guò)一個(gè)小調(diào)查，老師選擇了一些同學(xué)的研究成

果。他們的研究過(guò)程有什么相同之處和不同之處？

       生：①和②是長(zhǎng)方形和正方形，它們的四個(gè)角都是90°。③、④、⑤都是普通的四邊形。

師：我們?cè)谘芯俊八倪呅蝺?nèi)角和”時(shí)不能只研究長(zhǎng)方形、正方形這些特殊的四邊形，還要研究其他一般的四邊形。

       開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，揭示本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容是“多邊形的內(nèi)角和”，以談話的方式了解學(xué)生對(duì)多邊形、內(nèi)角和等知識(shí)的認(rèn)知。同時(shí)，讓學(xué)生明確“要想得到一百邊形（復(fù)雜）的內(nèi)角和，要先從簡(jiǎn)單的圖形開(kāi)始研究，滲透“化繁為簡(jiǎn)”的思想。然后，利用學(xué)生的前測(cè)結(jié)果，通過(guò)對(duì)比，讓學(xué)生明白“不能只研究特殊的四邊形，還要研究其他一般的四邊形”。這不僅為后面研究“其他多邊形的內(nèi)角和”指明了研究的方法，而且滲透了“從特殊到一般”的思想——也是貫穿整節(jié)課的數(shù)學(xué)思想。

    （二）設(shè)置認(rèn)知沖突，明確“轉(zhuǎn)化”策略

      學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程是一個(gè)認(rèn)知不斷產(chǎn)生、化解和發(fā)展的過(guò)程?！墩撜Z(yǔ)》里“不憤不啟，不悱不發(fā)”中的“憤”和“悱”就非常精確地刻畫(huà)了認(rèn)知沖突產(chǎn)生時(shí)學(xué)習(xí)者的狀態(tài)。在教學(xué)時(shí)應(yīng)利用學(xué)生的認(rèn)知上的沖突，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考和建構(gòu)，讓學(xué)生體會(huì)到“測(cè)量相加”、“剪拼”的方法，可能存在誤差，從而聚焦到“分成三角形”的方法，明確“轉(zhuǎn)化”的策略。

       1. 利用誤差，體會(huì)嚴(yán)謹(jǐn)

     師：這三位同學(xué)得到的“四邊形內(nèi)角和不是360°”，他們的問(wèn)題可能出在哪？

      生：邊沒(méi)有畫(huà)直。

      生：測(cè)量時(shí)不夠準(zhǔn)確。

     師：也就是說(shuō)，我們用測(cè)量這種方法時(shí)，很可能會(huì)存在誤差，導(dǎo)致我們不能正確得到多邊形的內(nèi)角和。

      2.引導(dǎo)“轉(zhuǎn)化”，明確方法

      師：觀察這四位同學(xué)的研究過(guò)程，他們有什么相同之處？

      生：都是把一個(gè)四邊形分成了兩個(gè)三角形，一個(gè)三角形的內(nèi)角和是180°，

兩個(gè)就是180°×2=360°。

      師：雖然這些四邊形的形狀不同，但都是把“四邊形分成了兩個(gè)三角形”。

      師：有一位同學(xué)分成了4個(gè)三角形，你們覺(jué)得可以嗎？

     生：不可以，分成4個(gè)三角形，內(nèi)角和就變成180°×4=720°了。

      生：可以，因?yàn)橹虚g4個(gè)角不是四邊形的內(nèi)角，所以還要減去一個(gè)周角，也就是180°×4-360°=360°。

      師：把四邊形分成四個(gè)三角形時(shí)，要注意減去中間的周角。

      通過(guò)第一個(gè)認(rèn)知沖突——測(cè)量結(jié)果不相同，使學(xué)生體會(huì)到測(cè)量是有一定局限性的，很難得到準(zhǔn)確結(jié)果，這顯然不是解決問(wèn)題的主要方法，這時(shí)學(xué)生自然而然會(huì)對(duì)既有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行整合與重組，從而想到把四邊形分成兩個(gè)三角形的方法。通過(guò)第二個(gè)認(rèn)知沖突——把四邊形分成兩個(gè)三角形和四個(gè)三角形，讓學(xué)生感受到將四邊形轉(zhuǎn)化成三角形的方法并不是唯一的，還可以分成四個(gè)三角形，但是要減去一個(gè)周角，為后面探究“五邊形、六邊形內(nèi)角和”的活動(dòng)提供經(jīng)驗(yàn)與方法的支撐。

   （三）捕捉思維動(dòng)態(tài)，經(jīng)歷推導(dǎo)過(guò)程

     這節(jié)課主要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、操作、歸納、類(lèi)比等具體的活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的學(xué)習(xí)過(guò)程，發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和與多邊形邊數(shù)之間的關(guān)系，得到一般規(guī)律。本節(jié)課的探究規(guī)律，對(duì)四年級(jí)的學(xué)生而言具有一定的挑戰(zhàn)性。首先，這一知識(shí)點(diǎn)在目前的初中數(shù)學(xué)教材還作為例題教學(xué)，內(nèi)容本身具有一定的難度。其次，四年級(jí)的學(xué)生在發(fā)現(xiàn)規(guī)律、表達(dá)規(guī)律的意識(shí)和能力上還比較欠缺。所以，筆者在接下去的環(huán)節(jié)中，設(shè)計(jì)“合作探索五邊形、六邊形內(nèi)角和”、猜測(cè)并驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)的環(huán)節(jié)，其目的是通過(guò)小步前進(jìn)，搭建促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的“腳手架”，在次過(guò)程中，要注意捕捉學(xué)生的思維動(dòng)態(tài)，經(jīng)歷推導(dǎo)規(guī)律的全過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和挑戰(zhàn)性。

     1. 逐步探索，感悟規(guī)律

     師：我們接著來(lái)研究五邊形、六邊形的內(nèi)角和。同桌合作，完成實(shí)驗(yàn)研究單。

      師：先來(lái)交流五邊形內(nèi)角和的方法。

      生：從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)向其他頂點(diǎn)連線，把五邊形分成了3個(gè)三角形，所以五

邊形的內(nèi)角和是180°×3=540°。

      生：還可以在五邊形里找一個(gè)點(diǎn)，從這個(gè)點(diǎn)出發(fā)連接每個(gè)頂點(diǎn)，將五邊形分

成5個(gè)三角形，用180°×5，還要減去360°，因?yàn)槎嗨懔酥虚g哪個(gè)周角。

      ……

      師：我們已經(jīng)研究了四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和問(wèn)題，比較每次得到的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)多邊形的邊數(shù)越多，它的內(nèi)角和就越大。

生：我們發(fā)現(xiàn)多邊形的劃分出的三角形個(gè)數(shù)比邊數(shù)少2。

       師：這個(gè)規(guī)律你怎么觀察到的？

      生：上下看的，四邊形分成了2個(gè)三角形，4-2=2；五邊形分成了3個(gè)三角形，5-2=3；六邊形分成了4個(gè)三角形，6-2=4，……以此類(lèi)推，邊數(shù)-2=三角形的個(gè)數(shù)。所以多邊形的內(nèi)角和=（邊數(shù)-2）×180°。

       生：我們來(lái)觀察第二種計(jì)算方法，就可以發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和=邊數(shù)×180°-360°。

       2.溝通方法，驗(yàn)證規(guī)律

      師：這兩種方法之間有什么聯(lián)系嗎？

      生：這兩種方法其實(shí)一樣的，我們可以用乘法分配律來(lái)說(shuō)明：

（邊數(shù)-2）×180°=邊數(shù)×180°-360°

       師：這個(gè)規(guī)律是否適用所有的多邊形呢？我們還需要來(lái)驗(yàn)證。每位同學(xué)舉一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。

 生：七邊形的內(nèi)角和=（7-2）×180°=900°。

 生：八邊形的內(nèi)角和=（8-2）×180°=1080°。

       ……

  生：一百邊形的內(nèi)角和=（100-2）×180°=17640°。

       本環(huán)節(jié)通過(guò)學(xué)生自主探究，將五邊形、六邊形轉(zhuǎn)化為多個(gè)三角形，逐步發(fā)現(xiàn)邊數(shù)與三角形個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，積累了豐富的數(shù)學(xué)獲得經(jīng)驗(yàn)。然后，利用乘法分配律溝通兩種分法得到的計(jì)算方法，引導(dǎo)學(xué)生盡可能多而全面的舉例，這樣得到的結(jié)論可靠性就強(qiáng)一些。同時(shí)重視學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表述，重視板書(shū)規(guī)范嚴(yán)密的推導(dǎo)過(guò)程，有利于學(xué)生觀察、歸納，讓學(xué)生理解和明晰計(jì)算方法的由來(lái)。這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，不僅能鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納概括能力，同時(shí)幫助學(xué)生積累了如何研究問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。

    （四）引導(dǎo)深度思考，培養(yǎng)推理能力

      學(xué)生的推理能力主要表現(xiàn)在能通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比等活動(dòng)獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)，給出證明或舉出反例，能清晰、條理地表達(dá)思考過(guò)程，做到言之有理、落筆有據(jù)?！罢n標(biāo)2011版”指出：推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中。

      1. “發(fā)現(xiàn)怎么算”，歸納推理

在探究“五邊形、六邊形內(nèi)角和”之后，學(xué)生能初步感知多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法，通過(guò)舉例驗(yàn)證得到一般規(guī)律，這是一個(gè)從特殊到一般的歸納推理過(guò)程。推理的過(guò)程如上，不再贅述。

       2. “知道為什么這么算”，演繹推理一般情況下，歸納推理能夠得到一個(gè)大家都公認(rèn)的結(jié)論，在我們小學(xué)階段更多的是歸納推理占據(jù)主導(dǎo)地位，如小學(xué)數(shù)學(xué)的各種概念、計(jì)算法則、公式等，絕大多數(shù)都是通過(guò)豐富的具體實(shí)例，逐步抽象、概括出來(lái)的。但是如果能挖掘結(jié)果的本質(zhì)，揭示其內(nèi)在原因，不僅可以使學(xué)生知其然，還能知其所以然。多邊形內(nèi)角和為什么是“（邊數(shù)-2）×180°”，這的確是一個(gè)具有高階思維含量的問(wèn)題，教師該如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度思考呢？

       師：為什么劃分成的三角形個(gè)數(shù)比邊數(shù)少2？

生：當(dāng)我從A點(diǎn)出發(fā)來(lái)劃分三角形的時(shí)候，A點(diǎn)只能和C、D相連，不能和A旁邊的B、E兩個(gè)點(diǎn)相連。所以連線的條數(shù)應(yīng)該是“邊數(shù)-3”，但是三角形的個(gè)數(shù)又比分割線多1，比如五邊形的分割線是2條，分成了3個(gè)三角形。所以三角形的個(gè)數(shù)應(yīng)該是“邊數(shù)-2”。

       生：比如五邊形分出的三角形,從A點(diǎn)出發(fā)，除了A點(diǎn)兩側(cè)的兩條邊組成的三角形是重復(fù)的，還剩下3條邊，各對(duì)應(yīng)一個(gè)三角形，所以能分成（邊數(shù)-2）個(gè)三角形。

想一想