阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》確實可以看成是古希臘幾何的登峰造極之作！————

克萊因《古今數(shù)學(xué)思想》

前言

古希臘數(shù)學(xué)的黃金時代曾誕生了著名的“古希臘數(shù)學(xué)三杰”，其中的歐幾里得和阿基米德都是我們比較熟悉的數(shù)學(xué)家，而大多數(shù)人卻都對其中最后一名數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯比較陌生。但出人意料的是，盡管阿基米德是公認的古希臘最杰出的數(shù)學(xué)家，但真正能代表古希臘幾何學(xué)最高成就的著作恰恰來自這位我們不太熟悉的數(shù)學(xué)家。阿波羅尼奧斯的杰出成就在于他系統(tǒng)地建立和發(fā)展了古典的圓錐曲線論，而后完成了集大成之作《圓錐曲線論》。這聽起來似乎像是天方夜譚，圓錐曲線居然是兩千多年前就已經(jīng)出現(xiàn)的？！

圓錐曲線論在我國是高中數(shù)學(xué)最重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容之一，它往往讓不太擅長數(shù)學(xué)的學(xué)生感到非常頭痛。由于其復(fù)雜性，圓錐曲線論比歐式幾何難學(xué)，但事實上，它們卻是差不多同一時代的產(chǎn)物。課本給我們的錯覺是圓錐曲線論應(yīng)該是是笛卡爾時代的數(shù)學(xué)，但它確確實實來自公元前的古希臘。

阿波羅尼奧斯

阿波羅尼奧斯(Apollonius)出生于小亞細亞地區(qū)的佩加(Perga，今屬土耳其)，因此他常常也被稱為Apollonius of Perga，阿波羅尼奧斯的生卒年不詳，大約生活在公元前三世紀中后期。他的青年時期是在當(dāng)時的“智慧之都”亞歷山大城（今埃及的亞歷山大港）度過的，做為強盛的托勒密王朝的首都，亞歷山大城是當(dāng)時的地中海地區(qū)的政治和經(jīng)濟文化中心，也是數(shù)學(xué)發(fā)達之地。阿波羅尼奧斯在這里跟隨歐幾里得的后繼者們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，在托勒密四世時期(前221~前205)，阿波羅尼奧斯已經(jīng)頗具名氣。

后來他又前往帕加馬（Pergamum）王國，并受到國王阿塔羅斯一世的賞識，后來阿波羅尼奧斯所完成的巨著《圓錐曲線論》中的后5卷名義上都是獻給這位國王的。除此之外，阿波羅尼奧斯的其他生平事跡都沒有文獻記載過，因此他的事跡并不廣為人知，這也是他在后世名氣不如歐幾里得和阿基米德的原因之一。

事實上，在阿波羅尼奧斯之前，就有數(shù)學(xué)家考慮過圓錐曲線，例如梅內(nèi)克繆斯和著名的阿基米德，但由于沒有找到合適而統(tǒng)一的數(shù)學(xué)描述方法，他們都沒有將研究推進下去。而阿波羅尼奧斯的創(chuàng)舉正在與他找到了圓錐曲線的統(tǒng)一描述方式，也就是用不同的平面去橫截兩個對頂?shù)膱A錐，從而得到不同的圓錐曲線，也就是橢圓，拋物線和雙曲線(阿波羅尼奧斯是第一個意識到雙曲線有兩個分支的數(shù)學(xué)家)。通過這樣的方法，他成功地系統(tǒng)討論了關(guān)于圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，而后將這些結(jié)果全部總結(jié)進了《圓錐曲線論》一書中。

做為歐幾里得的“門徒”，阿波羅尼奧斯充分繼承了歐幾里得的數(shù)學(xué)精神，這完全提現(xiàn)在了《圓錐曲線論》一書的寫作方法上?！秷A錐曲線論》和《幾何原本》一樣，也是通過盡可能少的定義和公理，進而推導(dǎo)出整個理論體系。但也必須指出，阿波羅尼奧斯在寫作此書時，借鑒和使用了一些前人的結(jié)果，例如《幾何原本》和阿基米德著作中的成果。他在引用這些結(jié)果時，常常不進行證明，而且也不說明出自哪里，這樣的做法受到了不少后世學(xué)者的非議，甚至有人極端地認為阿波羅尼奧斯是在“厚顏無恥”地占據(jù)前輩的成就。但縱觀全書我們可以發(fā)現(xiàn)，《圓錐曲線論》是一本具有高度原創(chuàng)性質(zhì)的著作，它所代表的數(shù)學(xué)思想幾乎已經(jīng)超越了所有的前輩，由此看來，阿波羅尼奧斯確實犯不著去“占據(jù)”前輩的成就。

《圓錐曲線論》

《圓錐曲線論》全書分為八卷，共有487個命題，但非常遺憾的是，只有前七卷流傳至今，這七卷的主要內(nèi)容為：

第一卷描述了如何利用平面截對頂圓錐獲得圓錐曲線，進而討論了諸如弦，(共軛)直徑，切線等的定義和基本性質(zhì)。特別要說明的是，阿波羅尼奧斯的描述方法完全是幾何的，當(dāng)時并沒有坐標(biāo)這種概念。

第二卷討論了圓錐曲線直徑和軸的求法以及雙曲線漸近線的作法與性質(zhì)。

第三卷討論了切線與軸所圍成的面積以及圓錐曲線焦點的性質(zhì)。

第四卷討論了極點和極線的性質(zhì)以及不同的圓錐曲線相交的情況，特別地，阿波羅尼奧斯證明了兩條不同的圓錐曲線至多只有四個交點。

第五卷討論了定點到圓錐曲線的最短和最長線段，此卷也成為了全書最具創(chuàng)造性的一卷。

第六卷討論了圓錐曲線的全等和相似。

第七卷討論了具有中心的圓錐曲線的共軛直徑的性質(zhì)。

可以看出，《圓錐曲線論》的內(nèi)容確實博大精深，所包含的知識遠比我們在高中時所接觸的豐富，其中一些還是大學(xué)解析幾何的內(nèi)容。正如我們前面所說，《圓錐曲線論》定義圓錐曲線所采用的是純幾何的截面方法，但在阿波羅尼奧斯之前，已經(jīng)產(chǎn)生了利用焦點和準線定義圓錐曲線的方法：

圓錐曲線是平面內(nèi)到定點（焦點）和到定直線（準線）的距離之比為常數(shù)（離心率）的點的軌跡，這也就是我們所說的圓錐曲線的第二定義。

關(guān)于第二定義這一知識至遲已被歐幾里得所知，但限于時代的局限，沒有人可以通過第二定義推導(dǎo)出圓錐曲線的系統(tǒng)理論，這也正是為什么阿波羅尼奧斯要采用截面的原因。

看到這里，可能大家都有一個疑問，既然阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》代表了古希臘幾何的最高成就，為什么它的知名度卻遠不如歐幾里得的《幾何原本》呢？其中的原因可能在于：

在阿波羅尼奧斯之后，古希臘數(shù)學(xué)迅速走向衰落，沒有再出現(xiàn)偉大的幾何學(xué)家，也就無人可以充分理解《圓錐曲線論》的光輝數(shù)學(xué)思想。不久之后，羅馬人攻陷希臘本土，焚毀了當(dāng)時規(guī)模最大藏書最豐富的亞歷山大圖書館，然后以嚴酷的宗教思想禁錮人們的科學(xué)思維，這使得《圓錐曲線論》并沒有得到充分的傳播和研究。

由于《圓錐曲線論》思想過于超前，這使得它在自誕生之后的一千多年里基本沒有得到實際應(yīng)用，這與《幾何原本》是很不同的。直到伽利略和開普勒在天文學(xué)和力學(xué)的研究中使用圓錐曲線以后，它的真正作用才開始顯露出來。如果問為什么數(shù)學(xué)往往是超越時代的，那么《圓錐曲線論》可以給出一個完美的解釋。

重生

對于推動幾何學(xué)的發(fā)展而言，《圓錐曲線論》可謂功不可沒，它的作用絕不亞于《幾何原本》。歐洲大陸在經(jīng)歷漫長的中世紀黑暗之后，又興起了研讀古希臘經(jīng)典文獻的熱潮，但當(dāng)他們拿起《圓錐曲線論》之后，卻陷入尷尬境地之中，阿波羅尼奧斯已經(jīng)極盡了研究圓錐曲線的幾何方法，以至于后來者完全無法插足其中。

而且隨著代數(shù)學(xué)的興起，幾乎毫無發(fā)展的幾何學(xué)頗有“夕陽西下”之勢，這一局面在射影幾何誕生之后才有所改觀。射影幾何用更加先進的幾何思想來審視幾何對象之間的關(guān)系，也就重新解釋并升華了《圓錐曲線論》的內(nèi)容和思想。完成這一創(chuàng)舉的數(shù)學(xué)家包括有我們比較熟悉的德薩格和帕斯卡等人，特別地，帕斯卡證明了著名的“帕斯卡六邊形定理”：

對于內(nèi)接于圓錐曲線的六邊形，它的三對對邊的延長線相交所產(chǎn)生的三個點共線。

這樣的命題顯然是阿波羅尼奧斯無法證明的。

但就如今的觀點來看，射影幾何卻已經(jīng)是歷史上純幾何發(fā)展道路上最后的高潮。直到笛卡爾和費馬時代，《圓錐曲線論》仍然是幾何學(xué)家手中最重要的資料。對于解析幾何的創(chuàng)立而言，《圓錐曲線論》這本將近兩千年前的著作同樣也是首屈一指的功臣，實際上，費馬最早就是在研讀這本著作的過程中逐漸產(chǎn)生了解析幾何的數(shù)學(xué)思想。在這里，我們也要多說一句，《圓錐曲線論》中事實上已經(jīng)包含了原始的坐標(biāo)思想，但在復(fù)雜的純幾何觀點下，它始終是無法發(fā)展起來的。

自解析幾何創(chuàng)立之后，圓錐曲線的研究范圍被大大擴展，例如它的理論已經(jīng)被推廣到曲面中去，包括橢球面，雙曲面，橢圓拋物面等等。隨著微積分的橫空出世，微分幾何開始興起，研究圓錐曲線變得更加簡單，自此之后，純幾何愈發(fā)式微，如今已經(jīng)只能懷念了。

圓錐曲線的重要性如今已不言而喻，小到微觀，大至宇宙，它無處不在，例如地球的軌道十分接近橢圓，而太陽正位于其中一個焦點。在實際生產(chǎn)生活中，圓錐曲線也發(fā)現(xiàn)著巨大的作用，例如雷達接受器等都要做成橢圓拋物面的形狀，這正是因為一個良好的性質(zhì)：

平行于軸的光線經(jīng)橢圓拋物面的反射之后，都會經(jīng)過焦點。

實際上，利用這個原理，類似于聚光燈這樣的東西也都會做成橢圓拋物面。除此之外，圓錐曲線還有眾多良好的性質(zhì)為我們所用。

凡此種種都印證了圓錐曲線的重要性，因此在兩千多年后的今天，我們都不應(yīng)該忘記阿波羅尼奧斯的這本古希臘幾何的巔峰之作——《圓錐曲線論》！